精品解析：浙江省四校联考2025-2026学年高一学军班下学期4月期中数学试题

2025学年第二学期四校期中联考 高一年级学军班数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 化简 (    ) A. B. C. D. 3. 如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（ ） A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 5. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题： ①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ②若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面； ③若a∥b，b∥c，则a∥c． 其中正确命题的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 设为复数，若，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则当移动时，下列结论中错误的是（　　） A. 平面 B. 四面体的体积为定值 C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线所成的角为定值 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（ ） A. OM∥PD B. OM∥平面PAC C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA 10. 如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 直三棱柱的侧面积是 B. 直三棱柱的外接球表面积是 C. 三棱锥的体积与点的位置有关 D. 的最小值为 11. 如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 平面平面 D. 二面角的正切值为 非选择题部分 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 13. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则该几何体的表面积为_______． 14. 如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 16. 已知向量，，． （1）分别求出，的值； （2）若，求实数的值． 17. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 18. 伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体.某个伊丽莎白圈的母线长为3分米，所缺失的上、下底面的半径分别为2分米、4分米，（结果均用含的最简式表示） （1）若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表而全部涂层（不含外侧表面），每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料？ （2）若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积. 19. 如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期四校期中联考 高一年级学军班数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由题设. 2. 化简 (    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图画出原图，求出相关线段的长度，由此计算出的面积. 【详解】在直观图中，，，，则， 所以，， 所以平面图形的面积为. 故选：D 4. 若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（ ） A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 【答案】D 【解析】 【分析】我们可以分圆柱的底面周长为4，高为2和圆柱的底面周长为2，高为4，两种情况进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案． 【详解】若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积， 若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积 ∴圆柱的最大体积为cm3. 故选：D． 5. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，不妨设正方体的棱长为1. 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 在中，， 所以为等边三角形，则， 因此，异面直线与所成的角为. 6. 设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题： ①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ②若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面； ③若a∥b，b∥c，则a∥c． 其中正确命题的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由线线的垂直的性质判①断；由线线的位置关系判断②；③若，则，由平行的传递性判断. 【详解】①若，则，垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确. ②若和共面和共面，则和也共面，线线间共面关系不具有传递性，与相交，则，可以是异面关系，故命题不正确. ③若，则，此时空间两直线平行公理，是正确命题，故选B. 【点睛】空间直线、平面等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 7. 设为复数，若，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据题意求出的关系，再根据复数的模的公式即可得解. 【详解】设， 由，得，所以， 由，解得， 则， 所以当时，. 故选：A. 8. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则当移动时，下列结论中错误的是（　　） A. 平面 B. 四面体的体积为定值 C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线所成的角为定值 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用面面平行的判定定理先证得面面，从而得到平面； 对于BC，通过计算四面体的体积、三棱锥的体积，即可判断； 对于D，作出两个特殊情况的图形，由图形易知异面直线所成的角不为定值. 【详解】对于A，如图1，因为在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，故， 又因为面，面，所以面， 同理：面，又面， 所以面面， 因为面，因此平面，所以A中结论正确； 对于B，如图1，连结，则 因为在正方体中，面，故， 在底面正方形中，，又面， 所以面，即面， 所以为定值，所以B中结论正确； 对于C，利用B中的结论得为定值，所以C中结论正确； 对于D，如图2，当与重合时，过作，则为异面直线所成角， 如图3，当与重合时，过作，易证，则为异面直线所成角， 由图形易知，故异面直线所成的角不是定值，因此D中结论错误. 故选：D. 【点睛】立体几何中定值或定位置问题，其基本思想方法是以算代证，或以证代证，即从条件出发，计算所求体积或证线面平行与垂直关系，得到结果为定值或位置关系为平行或垂直. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（ ） A. OM∥PD B. OM∥平面PAC C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，利用三角形中位线定理判定A正确；利用线面平行的判定定理判定C正确；根据线面平行的定义——没有公共点，判定BD错误. 【详解】因为矩形对角线的交点为O，所以O是BD的中点， 又M为PB的中点，为△的中位线， , 又平面,平面, 所以OM∥平面PDA， 故正确； 与平面有公共点,与平面有公共点,故BD错误. 故选：. 10. 如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 直三棱柱的侧面积是 B. 直三棱柱的外接球表面积是 C. 三棱锥的体积与点的位置有关 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B；由棱锥底面积与高为定值判断C；将侧面展开即可求出最小值判断D． 【详解】在直三棱柱中，，，, 则，底面和是等腰三角形，侧面全是矩形， 所以其侧面积为1×2×2+，故A正确； 设底面外接圆半径为，即，即， 所以直棱柱的外接球半径， 直三棱柱的外接球表面积为，故B正确； 由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定值， ××2＝，××＝，故C错误； 把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时， 取最小值，，故D正确． 故选：ABD． 11. 如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 平面平面 D. 二面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质定理易证平面，从而可知，可判断A；利用勾股定理可求得，从而可判断B；作出平面与平面的二面角的平面角，利用平面，可知为直角，因此不是直角，从而可判断C；作出二面角的平面角，设为，可求得，从而可判断D. 【详解】设等腰直角三角形的腰为，则斜边， 为的中点，， 又平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面，，故A正确； 由A知，平面，平面，， 又，由勾股定理得：， 又，是等边三角形，故B正确； 为等腰直角三角形，取斜边的中点，则， 又为等边三角形，连接，则, 为平面与平面的二面角的平面角， 由平面可知，为直角，因此不是直角， 故平面与平面不垂直，故C错误； 由题意知，平面，过点作于点，连接，则， 为二面角的平面角，设为， 则，故D正确; 故选：ABD. 非选择题部分 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且， 所以  13. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则该几何体的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 故答案为： 14. 如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先取中点得到过的一个平面平行平面，即知. 【详解】取中点，连接， 故，，又在平面外，平面 所以平面，平面，又相交在平面内，故平面平面，即平面，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了面面平行的判定定理，属于基础题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 若是纯虚数，则实部为且虚部不为，即， 由得或， 由得且， 故. 【小问2详解】 若对应点在第四象限，则实部且虚部，即， 由得或， 由得， 综上所述，实数取值范围是. 16. 已知向量，，． （1）分别求出，的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平面向量模长的坐标公式分别计算和； （2）先根据平面向量的线性运算坐标法则，将等式右边的向量用、表示出来，再根据两个向量相等则对应坐标相等，得到关于、的方程组，最后解方程组求出、的值. 【小问1详解】 因为，， 所以，． 【小问2详解】 因为，，， 所以由， 所以，故， 所以，． 17. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 18. 伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体.某个伊丽莎白圈的母线长为3分米，所缺失的上、下底面的半径分别为2分米、4分米，（结果均用含的最简式表示） （1）若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表而全部涂层（不含外侧表面），每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料？ （2）若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积. 【答案】（1）克 （2）（立方分米） 【解析】 【分析】（1）求出圆台的侧面积即可得解； （2）求出圆台的高，代入圆台体积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，该伊丽莎白圈需要涂层的面积等价于圆台的侧面积， 圆台的侧面积（平方分米）， 因为每平方分米需要消耗5克涂层材料，所以， 即该伊丽莎白圈需要消耗克涂层材料； 【小问2详解】 该伊丽莎白圈的高为（分米）， 则， 所以所形成的圆台的体积为（立方分米）. 19. 如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接，可证，从而得到要求证的平面； （2）取的中点，连接，可证为二面角的平面角，利用解直角三角形可求该角大小为. 【详解】 （1）证明：连接，如图所示. ∵、分别为、的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. （2）取的中点，连接. ∵为的中点， ∴为的中位线，∴. 又∵平面， ∴平面，而平面，∴，同理. ∵，，∴平面，而平面， ∴，∴为二面角的平面角， 在直角三角形中，，而， 故，因为锐角，故. 【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $