山东泰安市望岳中学2026年中考数学训练卷

泰安望岳中学2026年中考训练卷 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 2．（本题4分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）桃花的花粉直径约为0.000036m，将数据0.000036用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 5．（本题4分）龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，在中，为上一点，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧所在圆的半径相等．在的内部相交于点；③画射线，与相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，点A，B，C在上，点是劣弧的中点，若，则 的度数是（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，在矩形中，，，E是边的中点．连接，过点E作交于点F，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为； ④； 其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（本题4分）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系． 时间天 3 5 6 9 硫化物的浓度 4.5 2.7 2.25 1.5 则下列说法错误的是（    ） A．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 B．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 C．该企业所排污水中硫化物的浓度可在第10天降为 D．该企业所排污水中硫化物的浓度不可能在15天以内实现不超过最高允许的的要求 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 12．（本题4分）某社区为庆祝马年新春，开展围绕马年讲成语故事活动．小明从“龙马精神”“马到成功”“一马当先”“万马奔腾”四个成语中，随机抽取一个成语讲故事，抽到“龙马精神”的概率是______． 13．（本题4分）如图，反比例函数与一次函数交于点，点，若，，当时，的取值范围是______． 14．（本题4分）如图，正六边形的顶点、分别在正方形的边、上.若正方形的边长为6，则正六边形的周长为______． 15．（本题4分）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则______，_______． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）计算：． 17．（本题8分）解不等式组： 18．（本题9分）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 19．（本题9分）无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为． (1)求无人机的高度（结果保留根号）； (2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 20．（本题10分）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； (2)D为x轴正半轴上一点，连接，若四边形的面积为14，请直接写出点D的坐标． 21．（本题11分）《算经十书》是汉唐十部算经的总集，是为中国传统数学奠基时期的总结，对中国和东方数学影响深远．某校开展了《算经十书》知识竞赛，每个学生作答10道题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分．为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图（不完整）和扇形统计图如下： 所抽取的学生成绩条形统计图                所抽取的学生成绩扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取的学生总数为______名，所抽取学生竞赛成绩的众数为______分； (2)求所抽取学生竞赛成绩的平均数； (3)已知该校共有800名学生，请估计该校竞赛成绩不低于90分的学生有多少名？ 22．（本题11分）如图1，独轮车俗称“手推车”又名辇，鹿车等，在西汉时已在一些田间隘道上出现，在北宋时正式出现独轮车名称，图2是从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点D，且，垂足为E，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 23．（本题12分）已知抛物线y＝ (b，c为常数)． (1)当，时，求抛物线的顶点M的坐标； (2)若抛物线的顶点M的坐标为，当c的值最大时，求抛物线的解析式； (3)当时，若在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，此时b和c的值． 24．（本题12分）在中，是内一点，且满足，，延长交于点． (1)如图，证明：；若平分，求证：； (2)如图，若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A A A C A B D 1．B 【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义，逐步计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴， 则的相反数为，的倒数为． 因此所求结果为． 2．D 【分析】本题考查幂运算的基本法则，根据同类项合并、积的乘方、同底数幂的乘除法规则，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误． 选项B：∵ ，∴B错误． 选项C：∵ ，∴C错误． 选项D：∵ ，符合同底数幂乘法法则，∴D正确． 3．C 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示的形式为，a需满足，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数，包含小数点前的零． 【详解】解：． 4．A 【详解】解：从正面看和从上面看，看到的轮廓形状相同， ∴主视图与俯视图相同， 从左面看，看到的图形为圆，与主视图与俯视图不同． 5．A 【分析】根据题干中的相等关系列方程组即可． 【详解】解：设杯身高为，底座高为， 根据杯身高与底座高之和是，可得：， 杯身高占总高的， 总高为， 杯顶高与杯身高之和是， 又杯顶高与杯身高之和是， ， 可列方程组为． 6．A 【分析】对于选项A，因为题目给出了作图步骤，所以先根据作图步骤判断出是的角平分线，得到．因为，所以可得，结合角平分线的结论，可得到．然后利用三角形外角的性质，分别表示出和，再分析两者的数量关系，以此判断选项A； 对于选项B，若，需结合已知条件推导是否一定成立； 对于选项C，通过三角形内角和或外角性质，分析和的关系是否一定相等； 对于选项D，通过构造全等或利用线段关系，分析和是否一定相等． 【详解】A．， , 由作图可知， 平分， , ， ， ， 故A选项正确； B．∵是的平分线，不一定与垂直， 故B选项错误； C．与不一定相等， 无法说明， 故C选项错误； D．无法说明， 故D选项错误． 7．C 【分析】本题考查了等弧对等角，圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据点是劣弧的中点即可求解． 【详解】解：连接， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．A 【分析】证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出，的长，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∴， ∴． 9．B 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断③④． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故②正确， ∴， ∴，故①正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故③正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 10．D 【分析】待定系数法求出直线和反比例函数的解析式，再根据选项逐一进行判断即可. 【详解】解：当时，设函数关系式为， 把代入，得，解得， ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；故A正确； 当时，由表格可知的值保持不变，设，把代入，得； ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为，故B正确； 当时，， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度可在第10天降为；故C正确； 当时，， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内实现不超过最高允许的的要求；故D错误； 11． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可知，解得． 12． 【详解】解：由题意可知，随机抽取成语时，所有等可能的结果共有种，抽到“龙马精神”的结果有种， 则抽到“龙马精神”的概率． 13．或 【分析】由图像可知，反比例函数 与一次函数 交于 、 两点； 即一次函数图像在反比例函数图像下方，结合图像直接读出 的取值范围． 【详解】解：由图像，反比例函数 （，）与一次函数 交于点 ， 观察图像，当 时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即 ； 当 时，一次函数图像在反比例函数图像上方，即 ； 当 时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即 ； 当 时，的取值范围是 或 ． 14．24 【分析】根据正六边形的性质得出内角度数及边长相等，利用平角定义求出的度数，在中利用含角的直角三角形性质得出与的数量关系，结合正方形边长列方程求出正六边形边长，进而求得周长． 【详解】解：六边形是正六边形， 、， 点A在正方形的边上 ， 点B、A、H在同一直线上 ， ， 四边形是正方形， 、， 在中，， ， ， ， ， 解得， 正六边形的周长为． 15． 5 / 【分析】过点E作于点H，由折叠的性质可得，，由菱形的性质可得，，，结合，易得，进而可得，利用勾股定理解得；再证明；然后利用三角函数，，可得，，易得，求解即可获得答案． 【详解】解：过点E作于点H，如图， 则， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 16． 【分析】原式分别计算特殊角三角函数，零指数幂，负整数指数幂以及绝对值，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 17． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步即可得到结论； （2）根据线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∵，， ∴． 19．(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再解直角三角形求出的长即可； （2）求出的长，进而求出的长；过点作于点，则四边形为矩形，可得，，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得， 在中，，， ∴， 答：无人机的高度为； （2）解：根据题意得：， ∴， 如图，过点作于点，则四边形为矩形， ，， 在中，，， ， ． 答：的长度约为． 20．(1)；m的值为6 (2)点D的坐标为 【分析】（1）把代入可求出，把代入可求m的值； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，连接，设点D的坐标为，根据列式求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ，                     ∴反比例函数的表达式为；                 将代入，得． （2）解：由（1）可知点B的坐标为， 设直线的函数表达式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，得， ∴点C的坐标为， ， 如图，连接， 设点D的坐标为， ， ， 解得， ∴点D的坐标为． 21．(1)见解析；50；80 (2)分 (3)272名 【分析】（1）用成绩为70分的学生人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，则可求出成绩为80分的人数，再补全统计图，最后根据众数的定义求出众数即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用800乘以样本中该校竞赛成绩不低于90分的学生人数占比即可． 【详解】（1）解：名， ∴所抽取的学生总数为50名， ∴成绩为80分的有名， 补全统计图如下： ∵成绩为80分的人数最多， ∴所抽取学生竞赛成绩的众数为80分； （2）解：分， 答：所抽取学生竞赛成绩的平均数为分； （3）解：名， 答：估计该校竞赛成绩不低于90分的学生有272名． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过证明得到即可； （2）连接，由圆周角定理得到，然后求出，则，据此列方程求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． ∴． 23．(1)，见详解 (2)，见详解 (3)b的值为6，c的值为15，见详解 【分析】（1）先把 ，代入，然后把得到的抛物线一般式配成顶点式即可求解； （2）由顶点 的坐标可得c与b的二次函数解析式，根据二次函数的性质可得b，c的值，进而求出抛物线的解析式； （3）首先把 代入得到只含有系数b的解析式，然后根据对称轴的位置分类讨论即可． 【详解】（1）解：当，时，抛物线为， 所以抛物线的顶点M的坐标为； （2）解：∵， ∴顶点M的坐标为． ∵顶点M的坐标为， ∴　， ∴， ∴当时，c的值最大，最大值为 ，此时抛物线的解析式为； （3）解：∵， ∴． 由题意得，抛物线的对称轴为直线． 当 ，即时，对应的图象在对称轴的左侧， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧，y随着x的增大而增大， ∴当时，函数值y最大，最大值为，解得， ∴，； 当 ，即时，对称轴在之间， ∴当时，y有最大值，为 ， ∴ ，解得或，均不符合，故舍去； 当 ，即时，对应的图象在对称轴的右侧． ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，函数值最大，最大值为， 解得(不合题意，舍去)； 综上所述，b的值为6，c的值为15． 24．(1)见解析；见解析 (2) 【分析】（1）根据同角（等角）的余角相等得出，，再由等角对等边得出，，等量代换即可得证；由角平分线的性质结合等量代换证明，得到，结合，即可得证； （2）作，垂足为，设，，证明，根据相似三角形的对应边成比例列式，结合解一元二次方程得到的值，证明，再次根据相似三角形的性质得到的值，最后在中，利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 平分， ， ， ， ， ， ， ， 由知，， ， ， ； （2）解：如图，作，垂足为，设，， 在中，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ，解得或（负值舍去）， 即， ，， ， ， ， ， 在中，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $