精品解析：2025年山东省泰安市岱岳区英雄山双语学校中考数学模拟试题

2025年山东省中考数学模拟试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列与1互为相反数的是（    ） A. 1 B. C. D. 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B.   C. D. 3. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．其中，电影《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）重磅归来，掀起“哪吒”热潮．《哪吒2》上映以来，创下多项纪录，包括亚洲首部票房破百亿元（人民币）电影、亚洲首部票房破20亿美元电影、全球动画电影票房榜冠军等．截至3月5日18时25分，电影《哪吒2》观影人次破3亿，成为中国影史首部观影人次破3亿电影．将3亿元用科学记数法表示应为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 郎窑红釉穿带直口瓶是清康熙年间的文物，属于国家级文物，是故宫博物馆十大镇馆之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，从不同方向看物体的形状，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图、俯视图都相同 5. 小虎学习了“整式乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 7. 如图，在正方形中，截去后，则（ ） A. B. C. D. 8. 人的单双眼皮在遗传学上被称为一对相对性状，具体形态主要和遗传因素有关，双眼皮为显性基因控制，单眼皮为隐形基因控制，决定双眼皮的基因R是显性的，单眼皮的基因r是隐性的，因此决定眼皮为单双的基因有，，三种，其中基因为和的人为双眼皮，基因为的人为单眼皮，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女.若父母的基因都是，则他们的子女是双眼皮的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10. 某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（ ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：______． 12. 不等式组的所有整数解的和为 _______． 13. 请写出一个正整数的值，使得关于的方程有实数根，那么的值可以是_____．（写出一个即可） 14. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．量角器上点A，B处的读数分别为，．则的度数是__________． 15. 先画出钝角（为钝角，），再运用尺规作图完成图1-图3的步骤．若， ， ，则__________． （1）以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边于点，．再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于一点，过该点作射线． （2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点． （3）连接，． 16. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行．例如，当时，运用F①得；运用F②继续运算得．现取，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是__________． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动，普及健康生活方式．“少年强则国强”，关注青少年健康是头等大事．其中，青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表）， 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 为了解学校学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据． 【数据整理】调查小组根据收集数据，绘制了两组不完整的统计图（扇形统计图为男女生总人数）． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）若一位女生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则她的体重指数（）属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”） （2）扇形统计图中A等级的圆心角度数为 ；将条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”学生的人数； （4）根据以上统计数据，针对该校学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 19. “纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小聪同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，防止试管里的冷凝水倒流，引起试管炸裂，‌铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，，结果保留1位小数） （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求水槽壁到铁杆（右图线段）的长度． 20. 阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数的图象上任取一点， 则点A关于原点对称点B的坐标为． ， ∴点B也在反比例函数的图象上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． （1）试运用阅读材料提供的方法，证明函数的图象关于 对称； （2）已知点在函数的图象上，且，直接写出x的取值范围是 ． （3）已知函数的图象在函数的图象的下方，求x的取值范围． 21. 中医与其他三大国粹（武术、京剧和书法）共同构成了中国文化的瑰宝．这四大国粹不仅代表了中国优秀传统文化的杰出成就，也承载着千年的智慧与民族精神．图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长长交于点C，D，于点E，连接，． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“平衡”点．例如：点，，，…都是“平衡”点． （1）判断函数的图象上是否存在“平衡”点，若存在，求出其“平衡”点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个“平衡”点． ①求a，c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n的取值范围． 23. 【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点C顺时针旋转（如图1）． （1）小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________；（请你把小明的发现补充完整） 【类比探究】 （2）把正方形绕点C逆时针旋转到图2位置，请你判断：以上结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）连接并延长交于点M（如图3），小明发现线段与线段的比值是一个定值，请求出这个定值及的大小； （4）已知，，在正方形绕点C旋转的过程中，当点D，E，G在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年山东省中考数学模拟试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列与1互为相反数的是（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，相反数及绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相反数的定义，即可作答． 【详解】解：与1互为相反数，而，， 故选：C 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B.   C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．其中，电影《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）重磅归来，掀起“哪吒”热潮．《哪吒2》上映以来，创下多项纪录，包括亚洲首部票房破百亿元（人民币）电影、亚洲首部票房破20亿美元电影、全球动画电影票房榜冠军等．截至3月5日18时25分，电影《哪吒2》观影人次破3亿，成为中国影史首部观影人次破3亿电影．将3亿元用科学记数法表示应为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：3亿元元元， 故选：A． 4. 郎窑红釉穿带直口瓶是清康熙年间的文物，属于国家级文物，是故宫博物馆十大镇馆之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，从不同方向看物体的形状，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图、俯视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在物体的正面看到的视图，叫做主视图，由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：结合题干的图形，得郎窑红釉穿带直口瓶的主视图与左视图相同， 故选A． 5. 小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式幂的运算，完全平方公式，多项式乘单项式，熟记这些计算公式是解题的关键．根据单项式乘单项式法则对①进行判断；根据同底数幂的除法对②进行判断；根据积的乘方和幂的乘方对③进行判断；根据多项式乘单项式乘法对④进行判断；根据完全平方公式对⑤进行判断； 【详解】解：①中，故①正确； ②中，故②错误； ③中，故③错误； ④中，故④错误； ⑤中，故⑤错误； 故做对的有1个， 故选：B． 6. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 7. 如图，在正方形中，截去后，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用三角形的外角性质解题即可． 【详解】解：对图形进行点标注，如图所示： ∵， ∴. 又∵， ∴， 同理，可求得， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟悉三角形的外角等于与它不相邻的内角和是解题的关键． 8. 人的单双眼皮在遗传学上被称为一对相对性状，具体形态主要和遗传因素有关，双眼皮为显性基因控制，单眼皮为隐形基因控制，决定双眼皮的基因R是显性的，单眼皮的基因r是隐性的，因此决定眼皮为单双的基因有，，三种，其中基因为和的人为双眼皮，基因为的人为单眼皮，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女.若父母的基因都是，则他们的子女是双眼皮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．根据题意画出树状图，然后求出概率即可． 【详解】解：根据题意画树状图，如图所示： ∵由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中他们的子女双眼皮的结果有3种， ∴他们的子女是双眼皮的概率 故选：D． 9. 在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，则，而，所以，因为为的中点，所以，则，求得，即可得解； 【详解】解：取的中点，连接，则， ∵点为的中点，， ， ， ∵为的中点，为的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（ ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，先求出A商品每件售价，再设购买A商品x件，购买B商品y件，然后分打折前购买的总金额不超过600元和打折前购买的总金额超过600元两种情况，根据打折后的金额推出打折前的金额，进而建立方程求出x、y的值，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵A商品每件进价40元，利润率为， ∴A商品每件售价为元， 设购买A商品x件，购买B商品y件， 当打折前购买的总金额不超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当打折前购买的总金额超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； ∴如果在打折前买相同物品，要比打折后多付58元或138元， ∵， ∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ∴①②③的说法都正确， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 不等式组的所有整数解的和为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组整数解，先求出每一个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进行确定整数解，求和即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：，整数解为：， ∴； 故答案为：． 13. 请写出一个正整数的值，使得关于的方程有实数根，那么的值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据关于的方程有实数根得到，解得，再写出满足题意的答案即可． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴ ∴， 则正整数满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 14. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．量角器上点A，B处的读数分别为，．则的度数是__________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意，得：， ， 故答案为：． 15. 先画出钝角（为钝角，），再运用尺规作图完成图1-图3的步骤．若， ， ，则__________． （1）以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边于点，．再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于一点，过该点作射线． （2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点． （3）连接，． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要作图-复杂作图、段的垂直平分线的性质、平分线的性质、等三角形的判定和性质等知识点解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 如图，过点E作于点M，交的延长线于点N．证明，然后根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点M，交的延长线于点N． 由作图可知平分，点E在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行．例如，当时，运用F①得；运用F②继续运算得．现取，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“F”运算的结果是：， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：， 第4次“F”运算的结果是： 第5次“F”运算的结果是， 第6次“F”运算的结果是， 第7次“F”运算的结果是， … 以此类推可知，从第5次“F”运算开始，每两次“F”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∵， ∴第2024次“F”运算的结果是4， 故答案为：4． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），15 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂、立方根、特殊三角函数值及分式的化简求值，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据立方根、负指数幂、特殊三角函数值及实数的运算可进行求解； （2）先对分式进行运算化简，然后再代值求解即可 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； 当时， 原式． 18. 2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动，普及健康生活方式．“少年强则国强”，关注青少年健康是头等大事．其中，青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表）， 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 为了解学校学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据． 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图（扇形统计图为男女生总人数）． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）若一位女生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则她的体重指数（）属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”） （2）扇形统计图中A等级的圆心角度数为 ；将条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”学生的人数； （4）根据以上统计数据，针对该校学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 【答案】（1）B （2）36º，见解析 （3）“肥胖”的学生约为120人 （4）该校多数学生体重标准，存在少数同学体重不标准，甚至肥胖，这部分同学应该健康饮食，多锻炼身体．（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据体重指数公式计算即可判断出答案； （2）用等级的人数除以可得总人数，用总人数乘，再减去等级的男生人数，进而得出等级的女生人数，再补全条形统计图即可； （3）利用样本估计总体，可估计出全校体重指标为“肥胖”的学生人数； （4）答案不唯一，言之有理即可． 【小问1详解】 解：，， 她的体重指数属于B等级； 故答案为：B； 【小问2详解】 解：本次调查的样本容量是：， A等级的圆心角度数为：， 等级的女生人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解： （人）． 答：估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为120人； 【小问4详解】 解：该校大多数学生体重标准，存在少数同学体重不标准，甚至肥胖，这部分同学应该健康饮食，多锻炼身体． 19. “纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小聪同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，防止试管里的冷凝水倒流，引起试管炸裂，‌铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，，结果保留1位小数） （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求水槽壁到铁杆（右图线段）的长度． 【答案】（1）试管口B与铁杆的水平距离的长度约为 （2）水槽壁到铁杆（右图线段）的长度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， ∵， ∴； 答：试管口B与铁杆的水平距离的长度约为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 延长，交于点H， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：水槽壁到铁杆（右图线段）的长度为． 20. 阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数的图象上任取一点， 则点A关于原点的对称点B的坐标为． ， ∴点B也在反比例函数的图象上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． （1）试运用阅读材料提供的方法，证明函数的图象关于 对称； （2）已知点在函数的图象上，且，直接写出x的取值范围是 ． （3）已知函数的图象在函数的图象的下方，求x的取值范围． 【答案】（1）y轴 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，关于y轴对称的点的坐标特点； （1）根据阅读材料的证明过程证明即可； （2）由可得，即，即可得解； （3）结合函数图象与只交于部分，求出与的图象交点，结合函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：函数的图象关于y轴对称， 证明：在的图象上任取一点， 则点A关于y轴的对称点B坐标为， ∵把代入中，，即点B在的图象上， ∴的图象关于y轴对称， 故答案为：y轴； 小问2详解】 解：∵点在函数的图象上，且， ， ， 或 故答案为：或； 小问3详解】 解：如图： 结合函数图象与只交于部分， 此时联立， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， ∵函数的图象在函数的图象的下方， ∴x的取值范围为：或． 21. 中医与其他三大国粹（武术、京剧和书法）共同构成了中国文化的瑰宝．这四大国粹不仅代表了中国优秀传统文化的杰出成就，也承载着千年的智慧与民族精神．图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长长交于点C，D，于点E，连接，． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形．熟练掌握切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接．由，可得．由，可得．则，即，，进而结论得证； （2）由题意可求，则． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， 为的切线． 【小问2详解】 解：，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 22. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“平衡”点．例如：点，，，…都是“平衡”点． （1）判断函数的图象上是否存在“平衡”点，若存在，求出其“平衡”点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个“平衡”点． ①求a，c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n的取值范围． 【答案】（1）存在， （2）①；② 【解析】 【分析】本题是二次函数的新定义综合题，考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质以及韦达定理等知识，准确理解“平衡”点的含义以及熟练应用二次函数的性质结合图像解题是关键． （1）根据“平衡”点的横坐标与纵坐标互为相反数，可得方程，解方程可得答案； （2）①根据“平衡”点的定义得，由该方程有唯一解，根据韦达定理可求得a，c的值；②当时，，可求当时，函数有最大值为，由关于对称轴对称点为，即时，，即可求解取值范围． 【小问1详解】 解：函数的图象上存在“平衡”点， 根据题意， 解得， 故其“平衡”点的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵的图像上有且只有一个“平衡”点 即有两个相等实根 由根与系数的关系可得： 解得：； ②∵， ∴二次函数为， 当时，， ∵ ∴对称轴为直线， 当时，函数有最大值为， 由关于对称轴对称点为，即时，， ∴若时，函数的最小值为，最大值为， 则实数n的取值范围是． 23. 【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点C顺时针旋转（如图1）． （1）小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________；（请你把小明的发现补充完整） 【类比探究】 （2）把正方形绕点C逆时针旋转到图2位置，请你判断：以上结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）连接并延长交于点M（如图3），小明发现线段与线段的比值是一个定值，请求出这个定值及的大小； （4）已知，，在正方形绕点C旋转的过程中，当点D，E，G在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案． 【答案】（1）相等，垂直（2）成立，证明见解析（3），（4）或 【解析】 【分析】（1）和交于点O，和交于点T，证明即可； （2）仍成立．延长交于点S，证明方法同（1）； （3）连接，，和交于点W，利用，证明，问题得解； （4）分情况讨论，当点E在线段上时，连接，根据结论，，可得，且在中，，即可，解方程即可求解；当点G在线段上时，连接，同理可求． 【详解】（1）线段和的数量关系是相等；直线和位置关系是垂直， 如图，和交于点O，和交于点T， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：相等，垂直； （2）仍成立．理由如下： 延长交于点S， 由条件可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由“8字型”可知，， ∴； （3）连接，，和交于点W， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即为定值，定值为，； （4）当点E在线段上时，连接，如图， ∵正方形和正方形，，， ∴，， ∵，， ∴，且在中，， ∴， 解得：（负值舍去）； 当点G在线段上时，连接，如图， 则有， ∵， ∴， 同理解得：（负值舍去）， 综上：的长度为或者． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程等知识，正确画出图形，理解旋转的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$