精品解析：山东省济南市历下区2025-2026学年下学期八年级数学学情调研

八年级数学学情调研 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 多项式中各项的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在2026年米兰-科尔蒂纳丹佩佐冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播．据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这天该赛事的日均收看人数是（ ） A. 万 B. 万 C. 万 D. 万 7. 年月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试．已知在一次配送中无人机的飞行路程为海里，快艇的航线路程为海里，无人机的平均速度是快艇的倍，且无人机比快艇的配送时间少分钟．设快艇的平均速度为海里/小时，根据题意可列分式方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在梯形中，，，，，，点E为中点，连接，并延长交的延长线于点F，则线段的长度为（ ） A. 10 B. C. 12 D. 9. 已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y．若，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 64 10. 如图1，在中，，，，是的中位线．点M，N分别是线段，上的点，连接．现将四边形和四边形分别按箭头所示的方向绕点D，E旋转，使得点B，C均与点A重合，旋转后拼成的图形如图2所示．当点M，点N分别在线段，上运动时，有下列结论： ①旋转后拼成的图形始终是平行四边形； ②线段的最小值为2； ③线段的最大值为； ④旋转后拼成图形的周长是； ⑤旋转后拼成图形的周长最大值与最小值之差为． 以上结论正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 一个正五边形的外角和为________． 12. 当x＝_____时，分式的值为零． 13. 若多项式与一个单项式的和是一个多项式的平方，则这个单项式可以是______．（写出一个即可） 14. 如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 15. 在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：已知，求的值． 19. 已知：如图，在中，是的一条对角线，过点B作，垂足为点E，过点D作，垂足为点F．求证：． 20. 我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”． 小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：． 小明做出以下思考： 利用圆的周长公式可得，， 利用圆的面积公式可得，圆环形的面积 …… 请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明． 21. 在由小正方形组成的方格纸中，每个小方格的边长均为1．A，B，C三点在格点上，请在给定的网格中完成作图． （1）如图，将线段沿方向平移，使点B与点C重合，作出平移后的线段，连接，得到四边形； （2）四边形的面积为______，点P是四边形外一点，过点P作直线，使直线平分四边形的面积； （3）在图中的格点上找一个点Q，使得的面积为4，满足条件的点Q的个数为______． 22. 问题：已知，求的值． 小明在解决以上代数式求值的问题时，采取以下做法： 已知，则a，，原式； 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）已知，则______； （2）已知，求的值． 23. 为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量．某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备．甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同． （1）求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元； （2）该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 24. 如图，在中，，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． （1）连接，，当经过的中点O时，求证：； （2）请求出当t为何值时，以A，C，F，E为顶点的四边形是平行四边形？ 25. 综合探究与应用 【回归课本】 （1）如图1，在梯形中，，．求证：．证明过程如下： 证明：如图，过作交于点，则． ∵，． ∴四边形是① ． ∴② ， 又∵， ∴． ∴ ∴ 请完成填空：①______；②______； 【问题联想】 （2）如图，在（）的条件下，延长至，使，连接．若，，，求出的长． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，点D，E分别为线段和线段上的点，且，，请直接写出线段和线段的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学情调研 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：因式分解需满足两个条件：变形结果是几个整式的积，且等式左右两边相等． A．从左到右是整式乘法，结果是多项式和的形式，不是整式积，故不符合题意； B．等式右边为 ，不是整式积的形式，故不符合题意； C．从左到右是整式乘法，将整式积化为多项式，不是因式分解，故不符合题意； D．，左边是多项式，右边是整式的积，且等式左右相等，故符合题意． 3. 多项式中各项的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照确定公因式的方法，先求各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的两项为和， ①系数部分，5和10的最大公约数是5， ②字母部分，两项都含字母和，的最低次幂是，的最低次幂是， ∴公因式为． 4. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质即可一一判定． 【详解】解：，，，， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握和运用分式的性质是解决本题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，且交点为原点，可知点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数即可求解． 解题的关键在于掌握平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标特征． 【详解】解： 四边形是平行四边形，且对角线交点为原点，   点与点关于原点对称，  点的坐标为，   点的坐标为． 6. 在2026年米兰-科尔蒂纳丹佩佐冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播．据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这天该赛事的日均收看人数是（ ） A. 万 B. 万 C. 万 D. 万 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，解题思路为先求出天的总收看人数，再用总收看人数除以总天数，即可得到日均收看人数。 【详解】∵前天日均收看人数为万 ∴前天总收看人数为万 ∵后天日均收看人数为万 ∴后天总收看人数为万 可得天总收看人数为万，总天数为天 ∴这天的日均收看人数为 万． 7. 年月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试．已知在一次配送中无人机的飞行路程为海里，快艇的航线路程为海里，无人机的平均速度是快艇的倍，且无人机比快艇的配送时间少分钟．设快艇的平均速度为海里/小时，根据题意可列分式方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设快艇的平均速度为海里小时，则无人机的平均速度为海里小时，利用无人机比快艇配送时间少分钟的等量关系列方程即可． 【详解】解：设快艇的平均速度为海里小时，则无人机的平均速度为海里小时，快艇的配送时间为小时，无人机的配送时间为小时， 根据题意得：． 8. 如图，在梯形中，，，，，，点E为中点，连接，并延长交的延长线于点F，则线段的长度为（ ） A. 10 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用平行线的性质和中点条件证明  ，从而得出，进而求出的长；其次通过作辅助线构造直角三角形，利用  求出梯形的高，最后在中利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解： ， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点作于点，  ， ， ，  四边形是矩形， ， ， ， 在中， ， ，   在  中，， ． 9. 已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y．若，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】设两位数，则，则都为正整数，，，那么得到，因为c是某整数，而且是9的倍数，进一步得到或即可作答． 【详解】解：依题意，设两位数，则， 则都为正整数，，， ∵d是某个整数的平方， ∴可设， ∴， ∴是9的倍数， 又∵c是某整数，，， ∴是正整数， ∴或， 当时，， 当时，， 综上，d的值为9或36． 10. 如图1，在中，，，，是的中位线．点M，N分别是线段，上的点，连接．现将四边形和四边形分别按箭头所示的方向绕点D，E旋转，使得点B，C均与点A重合，旋转后拼成的图形如图2所示．当点M，点N分别在线段，上运动时，有下列结论： ①旋转后拼成的图形始终是平行四边形； ②线段的最小值为2； ③线段的最大值为； ④旋转后拼成图形的周长是； ⑤旋转后拼成图形的周长最大值与最小值之差为． 以上结论正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质和平行四边形的判定分析结论①；根据平行线间的距离分析结论②；利用勾股定理或余弦定理计算线段和的长度，确定的最大值，从而判断结论③；根据周长公式分析结论④；结合的最值计算周长差，判断结论⑤． 【详解】解：连接，分别过点作，旋转后点的对应点分别为点、点，点的对应点分别为点、点，过点作， ①由旋转的性质得，，， ∴，，三点共线，三点共线， ∴， ∴旋转后拼成的图形始终是平行四边形，故①正确； 是的中位线，， ∴分别是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，即线段的最小值为，故②正确； 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ， 的最大值为，故③错误； ∵四边形是平行四边形，， 由旋转的性质得， ∴四边形的周长为，即旋转后拼成图形的周长是，故④正确； ⑤由上知，当与线段重合时，的值最大，当时，的值最小， 则周长最大值与最小值之差为，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有①②④⑤，共 4 个． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 一个正五边形的外角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】任意多边形的外角和为． 【详解】解：正五边形的外角和为． 12. 当x＝_____时，分式的值为零． 【答案】3 【解析】 【分析】分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，据此即可求出x的值． 【详解】∵分式的值为零， ∴x2-9=0，且x+3≠0， 解得：x=3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 13. 若多项式与一个单项式的和是一个多项式的平方，则这个单项式可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，找出满足条件的单项式即可． 【详解】解：完全平方公式为． 将和分别看作完全平方公式中的平方项，可得 ， 因此加上单项式后，和为，是一个多项式的平方，满足条件． 14. 如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可知，大长方形的面积等于各个小长方形和正方形面积之和，同时也等于大长方形的长乘以宽，利用面积相等建立等式即可求解． 【详解】解：由图可知，大长方形的面积可以表示为， 又大长方形的长为，宽为， 根据长方形的面积公式可得，大长方形的面积还可表示为， 所以． 15. 在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得出点为中点，再根据三角形中位线定理求出，的长及，与，的位置关系，进而求出的度数，判定为等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ，， 点在边上，  ， 同理可得是的中位线， ，， 点在边上， ， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 原分式方程无解 【解析】 【分析】（1）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验即可； （2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验所得值是否使原方程分母不为0，若使分母为0则为增根，原方程无解． 解题的关键在于正确掌握解分式方程步骤，以及注意检验所得值是否是方程的解． 【小问1详解】 解：      ， 检验：当时，， 因此原分式方程的解为； 【小问2详解】 解： ， 检验：当时，， 因此是增根，原分式方程无解． 18. 先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】，2027 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 已知：如图，在中，是的一条对角线，过点B作，垂足为点E，过点D作，垂足为点F．求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】根据判定，即可得到． 【详解】略． 20. 我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”． 小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：． 小明做出以下思考： 利用圆的周长公式可得，， 利用圆的面积公式可得，圆环形的面积 …… 请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明． 【答案】 解： ． 【解析】 【详解】略 21. 在由小正方形组成的方格纸中，每个小方格的边长均为1．A，B，C三点在格点上，请在给定的网格中完成作图． （1）如图，将线段沿方向平移，使点B与点C重合，作出平移后的线段，连接，得到四边形； （2）四边形的面积为______，点P是四边形外一点，过点P作直线，使直线平分四边形的面积； （3）在图中的格点上找一个点Q，使得的面积为4，满足条件的点Q的个数为______． 【答案】（1） 四边形如图所示； （2）12； 直线如图所示； （3）8 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质作出图形即可； （2）利用三角形面积公式求解即可；作出直线，使直线经过四边形对角线的交点即可； （3）先求得的长以及边上的高，确定，找出，过作出的平行线，找到对应格点即可判断． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：四边形的面积为； 【小问3详解】 解：设边上的高为， ∵， ∴，解得：， 如图所示，满足条件的点Q的个数为8个． 22. 问题：已知，求的值． 小明在解决以上代数式求值的问题时，采取以下做法： 已知，则a，，原式； 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）已知，则______； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照材料方法的原式为化简计算即可； （2）由已知得，代入原式化简为计算即可． 【小问1详解】 解：∵，则a，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，则a，， ∴， ∴ ． 23. 为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量．某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备．甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同． （1）求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元； （2）该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1） 甲型号设备单价为2000元，乙型号设备单价为2400元 （2） 购买甲型设备15台时采购费用最少，最少采购费用为42000元 【解析】 【分析】（1）设甲型设备的单价为元，则乙型设备的单价为元，利用两种设备购买数量相等建立等量关系求解，即可解题； （2）设购买甲型设备台，总采购费用为元，则购买乙型设备台，先根据题意列出总费用的表达式，结合“甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，”建立不等关系得到自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求解，即可解题． 解题的关键在于找出等量关系与不等关系，列式求解． 【小问1详解】 解：设甲型设备的单价为元，则乙型设备的单价为元， 根据题意得： ，  经检验：当时，， 因此是原方程的解，符合题意， 则乙型设备单价为：（元） 答：甲型号设备单价为2000元，乙型号设备单价为2400元； 【小问2详解】 解：设购买甲型设备台，总采购费用为元，则购买乙型设备台， 根据题意得：， 由甲型设备购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，得：， 解得：，  其中为非负整数， 因此且为非负整数， 在一次函数中，，因此随的增大而减小， 因此当时，取得最小值， 最小值为（元）， 答：购买甲型设备15台时采购费用最少，最少采购费用为42000元． 24. 如图，在中，，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． （1）连接，，当经过的中点O时，求证：； （2）请求出当t为何值时，以A，C，F，E为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）当或时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由此即可证明，得到； （2）当点F在线段上时，则，当点F在线段延长线上时，则，再根据平行四边形的性质得到，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题意得，， 当点F在线段上时，则， 当点F在线段延长线上时，则， ∵， ∴以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴或， 解得或， ∴当或时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形． 25. 综合探究与应用 【回归课本】 （1）如图1，在梯形中，，．求证：．证明过程如下： 证明：如图，过作交于点，则． ∵，． ∴四边形是① ． ∴② ， 又∵， ∴． ∴ ∴ 请完成填空：①______；②______； 【问题联想】 （2）如图，在（）的条件下，延长至，使，连接．若，，，求出的长． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，点D，E分别为线段和线段上的点，且，，请直接写出线段和线段的数量关系． 【答案】（1）①平行四边形，②． （2） （3） 【解析】 【分析】（）由条件可知四边形是平行四边形，得即可． （）过作交于，连接，先推出,，再得到，根据勾股定理即可求出的长． （）设，，求出，，，，，根据勾股定理求出，即可． 【小问1详解】 证明：如图，过作交于点，则． ∵，． ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． ∴ ∴． 【小问2详解】 过作交于，连接， 由（）四边形是平行四边形， ∴，, ∵，，，， ∴,， ∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， ∴在中， ∴在中． 【小问3详解】 由题知， 设，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴在中，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理相关的知识点，熟练掌握相关知识点和常见辅助线的做法是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $