精品解析：山东省 济南市 历下区2024-2025学年下学期 八年级期中数学试题

2024~2025学年第二学期八年级期中教学质量检测 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意．下列主标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转后，能够与原图完全重合，解题的关键是寻找对称中心．利用中心对称图形的识别方法分别判断各选项即可． 【详解】解：A选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项中图形可以找到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式写成整式的积的形式，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．验证各选项是否符合因式分解的定义且等式成立，据此即可求解． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意； C、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式不成立，不符合题意； 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握坐标平移的规律是解题的关键．点平移的坐标变化规律为：当图形中所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数，纵坐标不变时，图形会水平向右或向左平移个单位；当图形中所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数，横坐标不变时，图形会向上或向下平移个单位，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，进行求解即可． 【详解】解：将点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后， 平移后的点的横坐标为，纵坐标为， 平移后的点的坐标为， 故选：D． 4. 关于平行四边形的性质，下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 对角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分，据此即可解答． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意； B、平行四边形的对边平行且相等，说法正确，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定相等，说法错误，符合题意； D、平行四边形的对角相等，说法正确，不符合题意； 故选：C． 5. 若分式是最简分式，则表示的整式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题的关键．直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：A、，分式不是最简分式，不符合题意； B、，分式是最简分式，符合题意； C、，分式不是最简分式，不符合题意； D、，分式不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 6. 图1是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图2是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图2中液面的宽度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．由题意得：，可得，，进而判定，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：， ，， ， ， ， 解得：， 故选：C． 7. 如图，是边长为4的等边三角形，点D在边的延长线上且，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据旋转的性质推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 是边长为4的等边三角形， ， ， ， ， ， 将线段绕点D顺时针旋转得到线段， 是等边三角形， ， 故选：A． 8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出绫布每尺价格与罗布每尺价格之和等于120的方程，即可求解． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺. ∵绫布总价896文，∴绫布每尺价格为文； ∵罗布总价896文，∴罗布每尺价格为文； 又∵绫布和罗布各一尺共值120文， ∴． ∴． 故选：B． 9. 如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点C的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，．．．，则正方形铁片连续旋转6次后，点P的坐标变为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化规律、全等三角形的判定及性质、旋转的性质等知识点，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．连接、，过点作轴于点，过点作轴于点，先求出点，根据旋转的性质依次求出每次旋转后点的坐标，发现规律即可求解． 【详解】解：如图所示，连接、，过点作轴于点，过点作轴于点， 点， 由题意得：，，， ， ， ， ，， ， ，， ， 第一次旋转后， 同理可得：第二次旋转后， 第三次旋转后， 第四次旋转后， 第五次旋转后， 第六次旋转后， 故选：C． 10. 如图，在中，，相交于点O，，．以点C为圆心，的长为半径作弧交于点B，再分别以点B，E为圆心，大于的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线交于点F．记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、作图—基本作图、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交的延长线于点，易证，得到、，由勾股定理得到，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 由题意知：， ， ， 记长为x，长为y， ，， ，， ，， ， ， ， 当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若分式的值为0，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，因式分解．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此求解即可． 【详解】解：由题可得，且， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件_________，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：添加条件，可得四边形为平行四边形， 理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若是一个完全平方式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，能根据完全平方式得出是解此题的关键．先根据完全平方式得出，再求出答案即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，将四边形沿射线的方向平移得到四边形，其中，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积及平移的性质，熟知平移的性质及三角形的面积公式是解题的关键．根据平移的性质，将阴影部分的面积转化为梯形的面积即可解决问题． 【详解】解：由平移可知， ，，， 所以将两个四边形的面积都减去四边形的面积可得阴影部分的面积与梯形的面积相等． 连接， 则， 在中， 所以梯形的面积为 所以阴影部分的面积为． 故答案为：． 15. 如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论中：①；②；③；④；⑤若点是的中点，则．正确的有______． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质等知识点．根据等角的余角相等得出，根据平行四边形的性质可得，等量代换即可得出①正确；证明，得到，推出，即不成立，故②错误；在中，利用勾股定理证明④正确；证明，，说明⑤正确． 【详解】解：∵，，则是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即不成立，故②错误； 无条件证明，故③错误； ∵， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，故④正确； ⑤若点是的中点，又，， ∴，， ∴，即．故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握用提公因式法和公式法进行因式分解是解题关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式即可得到答案； （2）先提公因式，再利用完全平方公式即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第二个分式的分子分解因式，再把小括号内的式子通分，再计算分式乘法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ． 当时，原式． 18. 已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据平行四边形的性质证明得到，再由等角的补角相等得到，即可证明平行． 【详解】略 19. （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）分别求出不等式组中每个不等式的解集，进而得出不等式组的解集； （2）根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】解：（1） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为； （2） 方程两边同乘得： ∴， 解得， 当时， ∴是原方程的增根，原方程无解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将绕点旋转得到，画出； （2）平移，使点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）观察发现与关于某点成中心对称，则该点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形及图形的平移，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据中心对称图形的作法作图即可； （2）根据题意确定平移方式为：向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度，然后作图即可； （3）连接交点为D，即为对称中心，读出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 根据题意得：，平移后的点的坐标为， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向下平移6个单位长度， 如图所示：即为所求； 【小问3详解】 如图所示，连接交点为，即为对称中心， 由图得：， 故答案为： ． 21. 请根据材料中的信息，解决相关问题： 背景知识 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度． 相关素材 素材一：用电高峰时段(简称峰时)为，用电低谷时段简称谷时为次日，峰时电价比谷时电价高元度； 素材二：小明家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的峰时电费为元，谷时电费为元，并且峰时用电量与谷时用电量相等； 素材三：李老师家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的充电量为度，电费不超过元． 问题解决 问题1：求该市峰时电价与谷时电价； 问题2：三月份李老师家的谷时用电量至少为多少度？ 【答案】问题1：该市峰时电价为元度，谷时电价为元/度；问题2：三月份李老师家的谷时用电量至少为度． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是列出分式方程与不等式； 问题1：设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度，根据三月份的峰时电费为元，谷时电费为元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，列出分式方程，解方程即可； 问题2：设三月份李老师家的谷时用电量为度，则峰时用电量为度，根据电费不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：问题1：设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：该市峰时电价为元度，谷时电价为元度； 问题2：设三月份李老师家的谷时用电量为度，则峰时用电量为度， 由题意得：， 解得：， 答：三月份李老师家的谷时用电量至少为度． 22. 在四边形中，，，为边上一点，且，连接． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，过点作，垂足为，延长，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定求出四边形是平行四边形，，结合等腰三角形的性质求出，由角平分线的定义可得出结论； （2）根据平行四边形的性质定理及平行线的性质求出，，根据等腰三角形的性质求出，则，再根据等腰三角形的判定及线段的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，， ，， ，， ， ， ， ， ，， ． 23. 【阅读材料】 类比分数学习分式 小学阶段，分子比分母小的分数叫作“真分数”；分子大于或等于分母的分数叫作“假分数”． → 对于只含有一个字母的分式，当分子次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”． 部分假分数可以写成带分数的形式，例如：（即）． → 部分假分式也可以写成带分式的形式，例如：． 将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】 （1）假分式可以写成带分式的形式为______； 【掌握知识】 （2）已知x是正整数，当分式的值为整数时，求x的值； 【应用知识】 （3）已知是一个四位数，且为正数，由M的前两位数字所组成的两位数记为，由M的后两位数字组成的两位数记为，若比小5，且的平方能被整除，求这个四位数． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算及完全平方公式是解题的关键． （1）仿照例题，根据题分式的运算求解； （2）根据例题以及分式的运算求解； （3）设，根据题意可得，为两位数，根据题意列出式子，然后根据例题以及分式的运算求解． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2）∵ 由题意得：为整数， 或， 解得：或或或， 是正整数， 的值为或； （3）设，依题意， ∵是整数，且为两位数， ∴的值为，　 ∴，． ∴这个四位数为． 24. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，将线段向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段，其中点与点是对应点，点与点是对应点，连接，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）分别连接，交点为， ①如图，连接，当时，求的值； ②作与关于点成中心对称的，当点位于的内部或边上时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析 （2）①；②图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得到，即可得到结论； （2）①根据题意得，连接，得到，继而得到，得到； ②分别求出直线的解析式，得到，解得． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下， 根据平移的性质得到， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①，， 根据题意得， 如图，连接， 由（1）知四边形是平行四边形， 是的中点， ， ， ，， ， ， ； ②如图，即为所求， 是的中点， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 令， ，，， 直线的解析式为， 点位于的内部或边上，， ， 解得：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，一次函数的图象和性质，两点间距离公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25. （一）类比探究 已知是等腰直角三角形，，，点为平面内一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点在斜边上时，线段与线段的数量关系是，与的位置关系是； （2）如图2，当点为的边左侧一点时，延长，交于点，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （二）学以致用 （3）如图3，已知是等腰直角三角形，，，点D为的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最大值． 【答案】（1）；；（2）结论依然成立，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，四边形和三角形的面积等知识点，利用旋转构造全等三角形是解答本题的关键． （1）根据题意通过把逆时针旋转得到，然后根据旋转前后对应边相等及对应角相等，即可得出结论． （2）同理（1）得出通过把逆时针旋转得到，即可得出结论不变． （）通过把线段绕点逆时针旋转构造，然后求出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得绕点逆时针旋转得到， 又线段绕点逆时针旋转得到线段， 则可视为通过逆时针旋转得到． 根据旋转的性质，旋转前后对应边相等；对应角度， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， 即． 故答案为：；． （2）根据题意，，，，同理（）也可视为通过逆时针旋转得到． 则，且， ∵，， ∴， 即． 故结论依然成立． （3）如图，把逆时针旋转得到，连接，则为等腰直角三角形． ，，， ∴， ． ，， ， ， 点在线段上， ∵为等腰直角三角形， ∴， ，，， ， ，且当取最小值时取得最大值． ，由点到直线的最短距离可知当时，取最小值：， 的最大值为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期八年级期中教学质量检测 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意．下列主标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 关于平行四边形的性质，下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 对角相等 5. 若分式是最简分式，则表示的整式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 图1是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图2是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图2中液面的宽度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，是边长为4的等边三角形，点D在边的延长线上且，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点C的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，．．．，则正方形铁片连续旋转6次后，点P的坐标变为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，相交于点O，，．以点C为圆心，的长为半径作弧交于点B，再分别以点B，E为圆心，大于的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线交于点F．记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若分式的值为0，则______． 12. 如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件_________，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 13. 若是一个完全平方式，则_____． 14. 如图，将四边形沿射线的方向平移得到四边形，其中，，，则阴影部分的面积为______． 15. 如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论中：①；②；③；④；⑤若点是的中点，则．正确的有______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 19. （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将绕点旋转得到，画出； （2）平移，使点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）观察发现与关于某点成中心对称，则该点的坐标为______． 21. 请根据材料中的信息，解决相关问题： 背景知识 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度． 相关素材 素材一：用电高峰时段(简称峰时)为，用电低谷时段简称谷时为次日，峰时电价比谷时电价高元度； 素材二：小明家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的峰时电费为元，谷时电费为元，并且峰时用电量与谷时用电量相等； 素材三：李老师家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的充电量为度，电费不超过元． 问题解决 问题1：求该市峰时电价与谷时电价； 问题2：三月份李老师家的谷时用电量至少为多少度？ 22. 在四边形中，，，为边上一点，且，连接． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，过点作，垂足为，延长，交的延长线于点．若，求的长． 23. 【阅读材料】 类比分数学习分式 小学阶段，分子比分母小的分数叫作“真分数”；分子大于或等于分母的分数叫作“假分数”． → 对于只含有一个字母的分式，当分子次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”． 部分假分数可以写成带分数的形式，例如：（即）． → 部分假分式也可以写成带分式的形式，例如：． 将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】 （1）假分式可以写成带分式的形式为______； 【掌握知识】 （2）已知x是正整数，当分式的值为整数时，求x的值； 【应用知识】 （3）已知是一个四位数，且为正数，由M的前两位数字所组成的两位数记为，由M的后两位数字组成的两位数记为，若比小5，且的平方能被整除，求这个四位数． 24. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，将线段向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段，其中点与点是对应点，点与点是对应点，连接，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）分别连接，交点为， ①如图，连接，当时，求的值； ②作与关于点成中心对称的，当点位于的内部或边上时，直接写出的取值范围． 25. （一）类比探究 已知是等腰直角三角形，，，点为平面内一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点在斜边上时，线段与线段的数量关系是，与的位置关系是； （2）如图2，当点为的边左侧一点时，延长，交于点，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （二）学以致用 （3）如图3，已知是等腰直角三角形，，，点D为的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $