精品解析：山东菏泽市单县2025-2026学年度第二学期阶段性质量检测九年级数学试卷

山东菏泽市单县2025-2026学年度第二学期阶段性质量检测九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，共23道题，满分120分，考试时间120分钟； 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题． 根据绝对值的意义和倒数的定义，即可得到答案． 【详解】解：，的倒数是； 故选：C． 2. 中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：如图所示即为其俯视图， ∴选项A符合题意． 3. 两个粒子的质量分别为和，若用科学记数法表示这两个粒子的质量和，则下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 首先由得到，然后合并求解即可． 【详解】 ． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式运算与二次根式化简的基础法则，只需依次计算各选项即可判断正误． 【详解】， A错误； ， B错误； ，等式成立， C正确； 与不是同类项，不能合并，， D错误． 5. 将一副三角板按照如图方式摆放，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知，，， ， 故选：A． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下：    ． 故选：A． 7. 如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确有（ ） ；； A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】①利用等边对等角以及三角形内角和定理进行求解即可； ②利用角平分线的定义得出相等的角，然后利用等角对等边即可求解； ③证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故①正确； 由题意得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确． 综上所述，正确的有①②③． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，等角对等边，三角形内角和定理，角平分线的作法和定义，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 8. 2026年春节，小亮同学利用寒假参加了济宁两日游，期间除感受到了“孔孟之乡”的深厚底蕴与“运河之都”的现代活力外，济宁的特色美食更是让他大快朵颐．他计划从夹饼、甏肉干饭、烧鸡、热豆腐、烧羊肉5种美食中随机品尝2种不同美食，则他品尝的恰好为夹饼和热豆腐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用列举法得到所有等可能结果，再结合概率公式计算即可． 【详解】解：将5种美食分别记为(夹饼)、(甏肉干饭)、(烧鸡)、(热豆腐)、(烧羊肉)， 从5种中选2种不同美食，所有等可能的结果为： ，共10种， 恰好为夹饼和热豆腐的结果只有1种， 根据概率公式可得． 9. 已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；（2）牢记，．先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、， ， 解得：且． 、是方程的两个实数根， ，， ， ， 或， ， ． 故选：A． 10. 如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、根据动点运动过程求图形面积并确定函数图象．掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 先根据坐标求出、等边长，分时，证明与相似，求出，进而得到关于的表达式；时，证明与相似，求出，通过得出关于的表达式，根据两个阶段的函数表达式确定函数图象． 【详解】，， ，，， ，， ∵， ∴， ∵E以每秒1个单位长度的速度沿运动， ∴， 当时，此时F在上运动， 在直线右侧部分为， 过F作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动， ∴，， ∴ ∴ ， ∴一个二次函数，二次项系数，图象开口向上． 当时，此时F在上运动， 在直线右侧部分为四边形 ∴点F运动的距离为t，， ∴，， 过F作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ， ， ． 这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下． 综合以上两种情况，函数图象先为开口向上的二次函数，再为开口向下的二次函数． 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解:原式 ， 故答案为:． 12. 使分式与的值相等的x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到方程，解出即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为， 即使分式与的值相等的x的值为9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤． 13. 如图，是正五边形的外接圆，半径为，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是， 是正五边形的外接圆，半径为， ， 解得， 这个圆锥底面圆的半径是， 故答案为：． 14. 如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质，作轴于，连接，则，证明，得出，，由三角形面积得出，从而得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于，连接， ， 则， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 若图和图的分子中共含有242个原子，则的值______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现原子的个数的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给分子结构图及结构简式可知， 图（1）的分子中含原子的个数为：； 图（2）的分子中含原子的个数为：； 图（3）的分子中含原子的个数为：； …， 所以图（n）的分子中含原子的个数为个． 由图和图的分子中共含有242个原子， ， 解得， 所以m的值为19． 故答案为：19． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答要把必要的文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应区域内．） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和指数幂的运算法则，把算式各部分计算出来，根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式，再根据运算法则进行计算； （2）根据分式的运算法则把分式化简，再把的值代入化简后的分式中计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时原式． 17. 如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）求证：平分； 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平角的定义可求解，再利用三角形的内角和定理可求解，即可求解； （2）过点作于点，作于点，根据角平分线的性质可证得，，从而得到，即可证得． 【小问1详解】 解：， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又∵点在的内部， ∴平分． 18. 菏泽，一直享有“曹州牡丹甲天下”的美誉，其牡丹品类繁盛，拥有1308个品种的观赏牡丹．每到四、五月份，菏泽牡丹花开正艳、云蒸霞蔚，吸引众多海内外游客打卡观赏．某牡丹研究机构对甲、乙两种牡丹新品种盛开期的花朵直径进行调研，每种牡丹随机选择8朵进行测量，数据（单位：）如下： 品种序号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 22 23 21 26 25 26 23 26 乙 20 25 17 23 24 24 29 30 根据以上数据进行分析可得统计表和折线统计图如下： 统计量 品种 平均数 众数 中位数 甲 24 乙 24 24 （1）直接写出统计表中甲的众数为__________、甲的中位数为__________、乙的中位数为__________； （2）观察折线统计图比较甲、乙两种品种牡丹花直径方差的大小并通过计算进行验证； （3）该研究机构计划采摘甲、乙两种牡丹花其中一种，用于加工成每朵是独立包装的全花朵牡丹花茶，以便按朵数进行计量销售．请利用以上统计量进行分析，问选择哪个品种更合适？为什么？（请至少结合两个统计量进行分析） 【答案】（1）26，24，24 （2），见解析 （3）选择甲种牡丹更合适，见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的计算求解即可； （2）根据方差的计算得到方差，再比较即可； （3）根据众数、方差作决策即可． 【小问1详解】 解：甲品种测量的数据中出现最多的是26， ∴甲品种的众数是26， 甲品种测量数据从小到大排序为：21，22，23，23，25，26，26，26， ∴甲品种的中位数为， 乙品种测量数据从小到大排序为：17，20，23，24，24，25，29，30， ∴乙品种的中位数为， 故答案为：26，24，24； 【小问2详解】 解：由甲、乙数据的大小波动情况，直观可得， 甲的方差为： ， 乙的方差为： ， ； 【小问3详解】 解：选择甲种牡丹更合适， 理由为：甲种牡丹的众数比乙种的高，甲种牡丹的方差比乙种的小，比较稳定． 19. 数学活动课上，甲、乙、丙、丁四名同学针对函数展开了讨论： 信息一：他们分别指出了函数的一个性质： 甲：函数的图象不经过原点； 乙：函数的图象经过一、三象限； 丙：在每个象限内，y随x的增大而减小； 丁：函数图象经过点． 信息二：已知函数的图象是一条直线，部分取值如下表所示 x 0 1 2 y 1 3 5 （1）根据题中的信息，写出两个函数的表达式； （2）求出两个函数的交点A，B（点A在点B的左边）的坐标； （3）点O为坐标原点，求出的面积． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）联立一次函数与反比例函数关系式求解即可； （3）先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积公式，掌握待定系数法是解答本题的关键． 【小问1详解】 由题意知，函数为反比例函数，设为， 将代入得， ； 由题意可知是x的一次函数，设为 将，代入有， ， ； 【小问2详解】 解得， 当时，． 当时，， 交点，； 【小问3详解】 如图 当时，， ， ∴． 20. 在单县湖西公园，我们可以看到类似图①这种凉亭，供人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点到地面的距离．如图②，已知，，且B，C两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为，当太阳光恰好能照射到石桌中心点处，此时太阳光与桌面的夹角为．已知石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度为为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内），求凉亭顶点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】凉亭顶点到地面的距离约为． 【解析】 【分析】连接交于点，在中，解直角三角形求得的长，在中，解直角三角形求得的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 则，， ， ， ， 在中，， 在中，， ． 答：凉亭顶点到地面的距离约为． 21. 如图，是的直径，且于点为上一点，连接交于点，延长到点，连接，使恰好平分． （1）求证：为的切线； （2）若直径为8，点是中点，求的长； （3）在满足（2）的条件下，直接写出点到的距离． 【答案】（1） 证明：是的直径， ． ， 是等腰直角三角形． ． 恰好平分 ． ． 又是的半径， 为的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，圆的切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用等面积法求线段的长度等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件证明是等腰直角三角形，得出，利用角平分线的性质得出即可得出结论； （2）利用勾股定理得出，再证出，利用相似三角形的性质即可求解； （3）利用等面积法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的直径为8，即， ． 点是中点， ． ， ． 是的直径， ． ， ． ． ． ； 【小问3详解】 解：点到的距离为，理由如下： 由（2）可知，． ． 设点到的距离为，则 ． 点到的距离为． 22. 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： （1）求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （2）如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； （3）直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】（1）函数表达式为 （2） （3）小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：， 解得：， ∴函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，设， ∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，， 解得：， ∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，， ∴不符合题意，舍去， ∴； 【小问3详解】 解：设铅直高度为，由题意得， ∴； ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 23. 综合与实践 问题情境 如图1，在中，，，，是斜边的中线． 初步探究 （1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 深入思考 将绕点D顺时针旋转得到，，的对应点分别是N，M． （2）如图3，当时，垂足为Q，与交于点P，与交于点E，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与交于点E，当点B在线段上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形是矩形， 理由如下：在中，是斜边中线， ∴， 由平移可知， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边中线得，由平移可知，那么，故四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形； （2）由勾股定理得，则，那么，可求，由题意得，，则，在中，解直角三角形得，则，在中，解直角三角形得； （3）当点与点重合时，过点作于点，可得，则，即可求解；当点不与点重合时，如图：过点作于点，可证明，由，再由线段和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵是斜边的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即， ∴，即旋转角为， ∴， 由平移可得：， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，； （3）当点B与点N重合时，如图：过点作于点， 由旋转和平移得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点B不与点N重合时，如图：过点作于点， ∵由旋转，平移得到，， ∴， ∴， ∴， 由旋转，平移得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东菏泽市单县2025-2026学年度第二学期阶段性质量检测九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，共23道题，满分120分，考试时间120分钟； 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 4 D. 2. 中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 两个粒子的质量分别为和，若用科学记数法表示这两个粒子的质量和，则下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ；； A. B. C. D. 8. 2026年春节，小亮同学利用寒假参加了济宁两日游，期间除感受到了“孔孟之乡”的深厚底蕴与“运河之都”的现代活力外，济宁的特色美食更是让他大快朵颐．他计划从夹饼、甏肉干饭、烧鸡、热豆腐、烧羊肉5种美食中随机品尝2种不同美食，则他品尝的恰好为夹饼和热豆腐的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 不存在 10. 如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 分解因式：______． 12. 使分式与的值相等的x的值为______． 13. 如图，是正五边形的外接圆，半径为，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__________． 14. 如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是________． 15. 聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 若图和图的分子中共含有242个原子，则的值______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答要把必要的文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应区域内．） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）求证：平分； 18. 菏泽，一直享有“曹州牡丹甲天下”的美誉，其牡丹品类繁盛，拥有1308个品种的观赏牡丹．每到四、五月份，菏泽牡丹花开正艳、云蒸霞蔚，吸引众多海内外游客打卡观赏．某牡丹研究机构对甲、乙两种牡丹新品种盛开期的花朵直径进行调研，每种牡丹随机选择8朵进行测量，数据（单位：）如下： 品种序号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 22 23 21 26 25 26 23 26 乙 20 25 17 23 24 24 29 30 根据以上数据进行分析可得统计表和折线统计图如下： 统计量 品种 平均数 众数 中位数 甲 24 乙 24 24 （1）直接写出统计表中甲的众数为__________、甲的中位数为__________、乙的中位数为__________； （2）观察折线统计图比较甲、乙两种品种牡丹花直径方差的大小并通过计算进行验证； （3）该研究机构计划采摘甲、乙两种牡丹花其中一种，用于加工成每朵是独立包装的全花朵牡丹花茶，以便按朵数进行计量销售．请利用以上统计量进行分析，问选择哪个品种更合适？为什么？（请至少结合两个统计量进行分析） 19. 数学活动课上，甲、乙、丙、丁四名同学针对函数展开了讨论： 信息一：他们分别指出了函数的一个性质： 甲：函数的图象不经过原点； 乙：函数的图象经过一、三象限； 丙：在每个象限内，y随x的增大而减小； 丁：函数图象经过点． 信息二：已知函数的图象是一条直线，部分取值如下表所示 x 0 1 2 y 1 3 5 （1）根据题中的信息，写出两个函数的表达式； （2）求出两个函数的交点A，B（点A在点B的左边）的坐标； （3）点O为坐标原点，求出的面积． 20. 在单县湖西公园，我们可以看到类似图①这种凉亭，供人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点到地面的距离．如图②，已知，，且B，C两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为，当太阳光恰好能照射到石桌中心点处，此时太阳光与桌面的夹角为．已知石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度为为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内），求凉亭顶点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 21. 如图，是的直径，且于点为上一点，连接交于点，延长到点，连接，使恰好平分． （1）求证：为的切线； （2）若的直径为8，点是中点，求的长； （3）在满足（2）的条件下，直接写出点到的距离． 22. 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： （1）求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （2）如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； （3）直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 23. 综合与实践 问题情境 如图1，在中，，，，是斜边的中线． 初步探究 （1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 深入思考 将绕点D顺时针旋转得到，，的对应点分别是N，M． （2）如图3，当时，垂足为Q，与交于点P，与交于点E，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与交于点E，当点B在线段上时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $