精品解析：2025年山东省菏泽市单县一模数学试题

二〇二五年初中学业水平考试（中考）模拟 数学试题（一） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知，那么的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 2025 2. 自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知， ，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中：①；②；③；④，当时，随的增大而增大的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 7. 如图， 是边长为的等边三角形的外接圆，点 是的中点，连接， ．以点 为圆心，的长为半径在 内画弧，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，四边形 是平行四边形，从①，② ，③ ，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点 是的边上的中线， ，，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后的结果． 11. 分解因式：______． 12. 计算：______． 13. 如图，、、、 为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为________． 14. 已知a、b满足，，，且，则__________． 15. 如图，已知 ，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使， 按此规律进行下去，则的直角边的长为_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 17. 在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，准备直角三角形纸片， ， ， ， 第二步，D是上一点，沿 折叠，点C的对应点是点． 根据以上操作，甲、乙两名同学各自做出了如下图所示的两个图形，并共同进行了探究，请你根据两位同学折出的图形解决下列问题． （1）如图1，若点C恰好落在上，求 的长度． （2）如图2，若点D是边的中点，沿着中线 折叠，连接，求的长度． 18. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）在x轴的下方作矩形 ，使，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上； （3）在（2）的条件下，连接 ， ，求的面积． 19. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 型号 14和16 15 型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中 _____，_____； （2）请计算表中 的值，（需要写出计算过程） （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 20. 图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上， 可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） （1）求 的长； （2）如图3，消防人员在云梯末端点 高空作业时，将伸长到最大长度 ，云梯 绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了 ，求云梯的旋转角的度数． 21. 如图， 是的外接圆，为直径，点 是的内心，连接 并延长交 于点，过点作 的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若 的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 22. 【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片， ． 【探究与证明】 如图1，取的中点 ，以点 为直角顶点作等腰直角三角形 在 的左侧．若点与点重合，与相交于点． （1）若，则 的长 _____； （2）求证： ； 【应用拓展】 （3）如图2，小亮做了一下调整，点 为的中点，连接 ，线段 绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点 ．请写出线段 与线段的数量关系．并说明理由． 23. 已知二次函数 ，经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）已知点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与 的图象有交点，求m的取值范围； （3）当时，二次函数 的最大值与最小值的差为，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年初中学业水平考试（中考）模拟 数学试题（一） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知，那么的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，正确得出是解题的关键； 根据绝对值的特点可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值是0； 故选：C． 2. 自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：11040000用科学记数法可表示为， 故选：D． 3. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的图形是： 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及合并同类项、完全平方公式、积的乘方和单项式乘以多项式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方和单项式乘以多项式的法则逐项判断即可得解. 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、，故本选项运算错误； D、，故本选项运算正确； 故选：D. 5. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知， ，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 下列函数中：①；②；③；④，当时， 随的增大而增大的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），充分运用一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【详解】解：①，y随x的增大而减小，不符合题意； ②，当时，y随x的增大而增大，符合题意； ③，当时， 随的增大而增大，符合题意； ④，当 时， 随的增大而增大，不符合题意，当时， 随的增大先减小后增大，不符合题意， 综上所述符合题意的有：②③， 故选：B． 7. 如图， 是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接， ．以点为圆心，的长为半径在 内画弧，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得 ．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 8. 如图，四边形 是平行四边形，从①，②，③ ，这三个条件中任意选取两个，能使 是正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键． 根据从①，②，③ ，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可． 【详解】解：从①，②，③ ，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形． ∴ ，从①，②，③ ，这三个条件中任意选取两个，能使 是正方形的概率为． 故选：A． 9. 如图，点是的边上的中线， ，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使 ，连接．由 证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使 ，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后的结果． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，化简二次根式，负整数指数幂，零指数幂等运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：2． 13. 如图， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据题意，连接 ，由圆周角定理的可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵ 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴， ∴， ∴正多边形的边数为，即这个正多边形的边数为 ， 故答案为：  ． 14. 已知a、b满足，，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意可得a、b是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，据此解方程求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴a、b是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根， 解方程 得或 ， 不妨设， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知 ，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使， 按此规律进行下去，则的直角边的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、找规律—数字的变化类．通过锐角三角函数和勾股定理，依次求得每个三角形的两条直角边，再从其中找出规律，即可得出结论． 【详解】解：由题意得： 在中， ， ； 在中，， ； 在中，，； 在中，，； …… 在中，，， 当时，，， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的整数解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 首先根据分式的混合运算法则化简，然后求出不等式组的整数解，然后把有意义的x的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】 ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解为，，， ∵当 ，1，时，分式无意义， ∴当时，原式 ． 17. 在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，准备直角三角形纸片， ， ， ， 第二步，D是上一点，沿折叠，点C的对应点是点． 根据以上操作，甲、乙两名同学各自做出了如下图所示的两个图形，并共同进行了探究，请你根据两位同学折出的图形解决下列问题． （1）如图1，若点C恰好落在 上，求 的长度． （2）如图2，若点D是边的中点，沿着中线折叠，连接，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设，根据折叠的性质可知：，，即，再在 运用勾股定理可得 ，即，然后在中运用勾股定理列方程求解即可； （2）如图：过点D作，则，由已知条件可得以及勾股定理可得，然后证明可得，然后运用等腰三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设， 根据折叠的性质可知：，， ． 在 中， ， ， ， ． 在中，， ∴，， 的长度为． 【小问2详解】 解：如图：过点D作，则， 为中线， ． 在 中，， ∵点D是边的中点，沿着中线折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ，即，解得：． 为等腰三角形， ，． 18. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）在x轴的下方作矩形 ，使，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上； （3）在（2）的条件下，连接， ，求的面积． 【答案】（1） （2）已知，，， ∴ ， ∴． ∵， ∴， ∴点N的坐标为． ∵， ∴点N在反比例函数的图象上； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出 ，，然后根据得到，进而求解即可； （3）首先得到点N，O，C三点共线，且，然后利用代数求解即可． 【小问1详解】 点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示， ∵点C的坐标为，点N的坐标为， ∴点C和点N关于原点中心对称， ∴点N，O，C三点共线，且， ∴ 19. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取 、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 型号 14和16 15 型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中 _____， _____； （2）请计算表中 的值，（需要写出计算过程） （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【答案】（1）20，15 （2）1.4 （3）购买B型机器人， 因为从众数、中位数和平均数来看，B型机器人的相应数据都高于A型机器人， 所以应该购买B型机器人． 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数和方差，以及利用相关数据作出决策，熟练掌握统计的基本知识是解题的关键； （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据方差的定义求解即可； （3）从众数、中位数和平均数三个方面进行分析即可得出结论． 【小问1详解】 解：B型号的智能机器人每天可分拣20万件的有5台，数量最多， 所以众数 ； A型号机器人分拣的快递件数从小到大排列后，最中间的两个数据是15，15， 所以中位数； 故答案为：20，15； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 略 20. 图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上， 可绕着点旋转， 为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） （1）求 的长； （2）如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度 ，云梯 绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了 ，求云梯的旋转角的度数． 【答案】（1）4m （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和旋转的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． （1）过点B作于点E，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小，进而求出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在直角三角形中，∵， ∴， 在直角三角形中，∵m，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作 于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，m，m， ∴， ∴， ∴， 即云梯大约旋转了． 21. 如图， 是的外接圆， 为直径，点是的内心，连接并延长交 于点，过点作 的切线交 的延长线于点 ． （1）求证：； （2）连接，若 的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：连接 ，交于点 ， ， ， 又 为的内心， ， ， ∴ ， 又 为 的直径， ， 又 为 的切线且 为 的半径， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算． （1）连接 ，交于点G，根据等腰三角形的性质得到 ，由D为的内心，得到 ，求得 ，根据圆周角定理得到∠ ，求得，根据切线的性质得到 ，根据平行线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数的定义得到 ，求得 ，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 22. 【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片， ． 【探究与证明】 如图1，取的中点，以点为直角顶点作等腰直角三角形 在 的左侧．若点 与点 重合，与相交于点． （1）若，则 的长 _____； （2）求证： ； 【应用拓展】 （3）如图2，小亮做了一下调整，点为 的中点，连接 ，线段 绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点 ，直线 交直线于点 ．请写出线段 与线段 的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：如图，作 交 延长线于点 ，则 ， ∵ 为等腰直角三角形， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ； （3） ，理由如下： 如图，作于， ∵为等腰直角三角形，点D为 的中点， ∴ ， ， 设 ，则 ， 由旋转的性质可得 ， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， 由题意可得 ， ∴四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∴ ∵线段 绕点逆时针旋转 ∴ ∴ ∵ ∴ 为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ． 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得 ，由题意可得 ，由勾股定理可得，再由等腰直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得解； （2）作 交 延长线于点 ，则 ，证明，得出 ， ，证明 为等腰直角三角形，得出 ，再证明 ，由相似三角形的性质即可得证； （3）作于，等腰直角三角形的性质可得 ， ， 设 ，则 ，由旋转的性质可得 ， ，证明 为等腰直角三角形，得出 ，求出 ，证明四边形为矩形，得出 ，即可得解． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵点为边的中点， ∴ ， ∴， ∵ 为等腰直角三角形，点M与点A重合， ∴ ，， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 已知二次函数 ，经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）已知点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与 的图象有交点，求m的取值范围； （3）当时，二次函数 的最大值与最小值的差为，求n的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求出、 的值即可得解； （2）求出平移后点对应的坐标为，点对应的坐标为，结合题意得出当时，，即，求解即可； （3）分三种情况：当，即时；当时；当 时；分别根据二次函数的性质列出方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数 ，经过点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度， ∴平移后点对应的坐标为，点对应的坐标为， ∵平移后，恰好与 的图象有交点， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴m的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，二次函数 的最大值与最小值的差为， ∴当，即时，此时在上， 随着的增大而减小， 当时， 取得最大值为，当时， 取得最小值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，当时，二次函数的最大值为或，最小值为， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去），或（不符合题意，舍去） 当 时，此时在上， 随着的增大而增大，当时， 取得最小值为，当时， 取得最大值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、平移的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $