7.1.1条件概率（第一课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.1条件概率 温州科技高级中学 张明 复习引入 随机试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们具有如下共同特征； (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 讲课人：邢启强 2 在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A与B同时发生（积事件AB）的概率的问题，当事件A与B相互独立时,有 P(ABP（A）P（B） 如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手. 问题导学 问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示， 在班级里随机选一人做代表， （1）选到男生的概率是多大？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？ 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 问题探究 随机选择一人作代表，则样本空间𝛀包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”， B表示事件“选到男生” ，根据表中的数据可以得出 （1）根据古典概型知识可知选到男生的概率 P(B) （2）“在选择团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A）.此时相当以A为样本空间来考虑B发生概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含了样本点数根据古典概型知识可知：P（B|A） 问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 问题探究 观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩,则样本空间且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择家庭中有女孩” ，B表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩” ，A B. （1） 根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率 P(B) （2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A） ，此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，根据古典概型知识可知 P（B|A） 分析：求P（B|A）的一般思想 AB A B W 因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的 样本空间为A. 因为在事件A发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生， 即AB发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率 P（B|A） 为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W，则有 P（B|A） 概念生成 概念解析 设A、B是样本空间的两个事件，一般地,当事件A发生的概率大于0时(即P(A)>0),则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,记作P(B|A)，所以 反思：同学们，这是条件概率定义，也可以当条件概率公式运用。有时定义就是公式，有时定理就是公式。我们为了理解这定义，结合了许多具体例子，然后归纳总结出来。 同学们，注意。我把书上定义稍微修改了一下。 B|A)= 注：如何记忆条件概率定义？ 答：我们会想当然的认为B|A）=这对了一部分，把分子改成P(AB)就全对了。 例.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。 解法1： 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示“活到25岁” (即≥25) 则 所求概率为: 0.56 0.7 B 解法2： (B|A)= 讲课人：邢启强 反思：如果你是位小学生，你可能会很快解出此题，且解法直观通俗。你如果是大学生，反而会思三顾四成见太多，受囿于成见解不出来。此题可以说明我们人类发明的概率论是正确的。 小学生解法：假设此动物只有100只，活到20岁时还有70只，死了30只；活到25岁时还有56只，死了44只。“现年为20岁的这种动物能活到25岁概率”是什么意思？也就是这70只动物活到25岁还剩下56只，所以=0.8 问题1. 如何判断条件概率? 问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么? P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率. P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率. 题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”、“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率. 概念辨析 条件概率与事件独立性的关系 探究1：在问题1和问题2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地， P（B|A）与P（B）不一定相等。如果P（B|A）与P（B）相等，那么事件A与B应满足什么条件？ 　　直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率， 这等价于P（B|A）=P（B）成立. =； 　 问题探究 反思：1、同学们，高一的事件独立性定义，也可以当公式用。为了理解它，我们举了许多具体例子，然后归纳总结出来，是用归纳方法定义的。 2、条件概率定义与两事件独立性定义可以相互推导。 探究2：对于任意两个事件A与B，如果已知P（A）与P（B|A），如何计算P（AB）呢？ 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则 P（AB）=P（A）P（B|A）. 我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）. 例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； (2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率. 典例解析 解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。 （1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即。 因为n(AB)= P（AB） （2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率。显然P（A）=.利用条件概率公式，得 P（B|A） 解法2：在缩小的样本空间A上求P（B|A）.已知第1次抽到代数题，这时 还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下， 事件B发生的概率为 P（B|A）= 解法3： A= = 故P(B|A)= 2、从例1可知，求条件概率有两种方法： 方法一：基于样本空间Ω，先计算P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求 P（B|A）； 方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间计算AB的概率。 反思：1、P（A）= ，利用乘法公式可得 P（AB）=P（A） P（B|A）= = 与第1小题吻合。 3、解法3是直观法，小学生也能理解。它可以用来说明我们人类发明的概率论是正确的，可以指导我们人类生产与工作，比如在人工智能领域。 |Ｂ)=（ＡＢ）。因为0(B) 概率P(A|B)与P(AB)的区别与联系 联系：事件A，B都发生了。 区别： ，事件A，B发生有时间差异，B先A后；在P(AB)中，事件A,B同时发生。 (2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间 仍为 条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P（A）>0，则 （1）P（Ω|A）=1； （2）如果B和C是两个互斥事件，则P（ |A）=P（B | A）+P（C | A）； （3）设B和互为对立事件，则P（ |A）=1 P（B|A）. 性质解析 例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ ：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B=. 因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。 典例解析 反思：１、同学们，概率概型不止古典概型，还有几何概型、超几何分布、二项分布、正态分布等，但条件概率定义适用于所有概型。所以此题可利用条件概率定义来求解。概率的古典概型有古典概型的解法，超几何分布有超几何分布的解法，以此类推。此题是古典概型，所以它会有古典概型自己的解法。 解：设三张奖券1、a、b。1为中奖奖券。则总样本空间 。 用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件。则 A=,B=,C=。 n()=6,n(A)=n(B)=n(C)=2,所以 P（A）=P(B)=P(C)= 这种解法直观通俗，它可以用来说明我们发明的概率论是正确的。 　　　2、根据生活经验我们直觉出每个人抽到奖票的概率是。下面先进行通俗直观化的证明。 　　我们可以假定第一个人抽了等于没抽，为什么可以有这样的假定？因为第一个人如果抽到奖票那第二个人抽到奖票的概率是0，如果第一个人抽不到奖票则第二个人抽到奖票的概率是1/2。所以第二个人抽到奖票的概率可以近似的等于0、的平均值即。为什么0、的平均值是我们先不讨论。 所以可以假定第一个人抽了等于没抽。所以第二个人抽到奖票的概率还是1/3。即第一个人抽是随机的。我们可以假定第一、二、三人抽了等于没抽，是因为我们不知道抽的结果，所以对任何人都没有影响，相当于不知者无罪。你不知道一件事说明此事对你毫无影响。 例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。 典例解析 　　分析：此题是古典概型吗？它的一次实验是什么？它的样本空间什么？“不超过2次就按对”是什么意思？ 答：此题是古典概型。直到 ，且按1次就对、按2次才对等是互斥事件不是独立事件，第1次按错对第二次按对有影响。 A= 例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。 解：（1）设A表示不超过2次就按对这个事件。 设=“第i次按对密码”（i=1，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为A=A1A2. 事件A1与事件A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得 P（A）=P（A1）+P（ A2 ）= P（A1） +P ） P（ A2 | ） = 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为. 典例解析 注：把A分成两个互斥的事件之和。 反思1：, =P()P()= =P =。 P P P()=P =。 反思2： 把概型的复杂事件。 （2）设A是不超过2次就按对这个事件。 设B=“最后1位密码为偶数”，则 P（A|B）=P（A1|B）+P（A2|B）== ； 因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为. 反思：1、在缩小了的样本空间B中求不超过2次就按对的概率。 第按对密码。则不超过2次就按对的事件B= P(B)=P()+P()=+P()P()=。 2、P()=P()=P()=, P(B)=P()+P()= $