精品解析：宁夏回族自治区吴忠市同心县第四中学2025-2026学年度第二学期八年级第一次阶段数学试卷

同心县第四中学2025-2026学年度第二学期八年级第一次月考 数学试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数是勾股数的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 4. 直角三角形两边长分别是5，12，第三边是（　） A. 13 B. C. 13或 D. 无法确定 5. 若，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，平分， ， ，则平行四边形的周长是( ) A. 1 B. C. D. 7. 如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　） A. 2.5m B. 3m C. 3.5m D. 4m 8. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 计算：________． 10. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为__． 11. 已知是整数，则正整数n的最小值为______． 12. 在ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=_______． 13. 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为7cm，以AC为边的正方形的面积为25cm2，则正方形M的面积为____________cm2． 14. 若a＜2，化简+a﹣1=_____． 15. 如图，在中，，，，在上截取，在上截取，则________． 16. 如图，已知圆柱的底面直径,高,小虫在圆柱表面爬行，从点爬到点，然后在沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为___________. 三、解答题（共66分） 17. 计算 （1） （2） 18. 化简求值：，其中． 19. 一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数． 20. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 21. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且，，AE=CF． （1）证明；； （2）证明：四边形ABCD是平行四边形． 22. 已知a、b、c为△ABC的三边，且+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状． 23. 实数在数轴上的位置如图所示：化简 24. 如图，在离水面高度5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为，此人以每秒米收绳，问：8秒后，船向岸边移动了多少米？（结果保留根号） 25. 如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？ 26. 观察下列各式，通过分母有理化把不是最简二次根式的化成最简二次根式． ； . 同理可得…… 请参考上述分母有理化的方法，计算下列各式的值 （1）计算的值． （2）计算． （3）的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同心县第四中学2025-2026学年度第二学期八年级第一次月考 数学试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于0，列出不等式，求出结果即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 2. 下列各组数是勾股数的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，是勾股数，符合题意； B、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、不是正整数，故不是勾股数，不符合题； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数． 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．，故不是最简二次根式； D．是最简二次根式．． 4. 直角三角形两边长分别是5，12，第三边是（　） A. 13 B. C. 13或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，分类讨论思想的运用是解答的关键． 题目中没有明确直角边和斜边，故要分情况讨论，再结合勾股定理即可求得结果． 【详解】解：当12为直角边时，第三边长为， 当12为斜边时，第三边长为， 故选：C． 5. 若，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，代入，，求出的值，再对比结果即可． 【详解】解：首先化简， 又，， ∴， ∴可以表示为． 6. 如图，在平行四边形中，平分， ， ，则平行四边形的周长是( ) A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，角平分线的定义，得出，进而根据等角对等边，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， , 平分， ， ， , , 平行四边形的周长为： 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7. 如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　） A. 2.5m B. 3m C. 3.5m D. 4m 【答案】C 【解析】 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： AB= 因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和 所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m） 故选C． 【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理. 8. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再进一步确定a的值为多少即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧， ∴． 故选：C． ． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 10. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为__． 【答案】 4 【解析】 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由勾股定理，得. 11. 已知是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，将能开方的因数开出来后，根据为整数，可得化简后剩余的被开方数需为完全平方数，据此求解正整数的最小值． 【详解】解：是整数， 是整数，即是完全平方数， 正整数的最小值为． 12. 在ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=_______． 【答案】5 【解析】 【分析】画出图形，根据平行线的性质，结合点E是边CD的中点，可判断OE是△DBC的中位线，从而可得出OE的长度． 【详解】 ∵四边形ABCD是平行四变形， ∴点O是BD中点． ∵点E是边CD的中点， ∴OE是△DBC的中位线． ∴OE=BC=5． 故答案为：5 13. 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为7cm，以AC为边的正方形的面积为25cm2，则正方形M的面积为____________cm2． 【答案】24 【解析】 【详解】试题分析：已知以AC为边的正方形的面积为25 cm2，可得AC=5cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理可求的AB=cm，所以正方形M的面积为24cm2． 考点：勾股定理． 14. 若a＜2，化简+a﹣1=_____． 【答案】1． 【解析】 【分析】直接利用a的取值范围，再结合二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：∵a＜2， ∴+a﹣1=2﹣a+a﹣1=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．正确化简二次根式是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，在上截取，在上截取，则________． 【答案】 8 【解析】 【分析】勾股定理求出的长，线段的和差求出的长即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴. 16. 如图，已知圆柱的底面直径,高,小虫在圆柱表面爬行，从点爬到点，然后在沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为___________. 【答案】 【解析】 【详解】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解． 解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示， 点A. C的最短距离为线段AC的长． 在Rt△ADC中,∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3， 所以AC=3， ∴从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为2AC=6. 故答案为. 三、解答题（共66分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 19. 一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数． 【答案】这个多边形的边数为9；内角和度数为1260°． 【解析】 【分析】设多边形边数有n条，由题意可得方程180（n-2）=3×360+180，解出n的值，再根据内角和公式计算出内角和即可． 【详解】解：设多边形边数有n条，由题意得： 180（n-2）=3×360+180， 解得：n=9， 内角和度数：180°×（9-2）=1260°． 答：这个多边形的边数为9；内角和度数为1260°． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形的外角和等于360度；多边形内角和180°（n-2）． 20. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出，再根据四边形的面积为，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积为 ． 21. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且，，AE=CF． （1）证明；； （2）证明：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1） ∵∠1=∠2，OB=OD，∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（ASA）； （2） ∵△BOE≌△DOF， ∴OE=OF． ∵AE=CF， ∴AE+OE=CF+OF， 即AO=CO． ∵OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【解析】 【分析】对于（1），根据“ASA”证明即可； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得OE=OF，再结合AE=CF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等，灵活选择判定定理是解题的关键． 22. 已知a、b、c为△ABC的三边，且+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【分析】首先根据+（b﹣c）2＝0可得a2﹣b2﹣c2＝0，且b﹣c＝0，然后根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵+（b﹣c）2＝0， ∴a2﹣b2﹣c2＝0，且b﹣c＝0， ∴a2＝b2+c2，b＝c， ∴△ABC的形状为等腰直角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 23. 实数在数轴上的位置如图所示：化简 【答案】0 【解析】 【分析】根据数轴确定、的符号以及绝对值的大小，根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】如图所示： 则 ． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及数轴的知识，掌握二次根式的性质、正确得出各项符号是解题的关键． 24. 如图，在离水面高度5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为，此人以每秒米收绳，问：8秒后，船向岸边移动了多少米？（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】先根据含的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，然后根据勾股定理求出收绳8秒后，船到河岸的距离为米，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴米， ∴米， 收绳8秒后，绳子缩短了米，只有米， 这时，船到河岸的距离为米， 船向岸边移动了米， 答：8秒后船向岸边移动了米． 25. 如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？ 【答案】18cm2 【解析】 【分析】设AB为3xcm，则BC为4xcm，AC为5xcm，根据周长为36cm，可求出x的值，从而得到△ABC的三边长，得到△ABC是直角三角形，然后根据点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，即可求出，△BPQ的面积． 【详解】解：设AB为3xcm，则BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm， AB＋BC＋AC＝36cm， ∴3x＋4x＋5x＝36， 解得x＝3， ∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm， ∴AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，即 ， 过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm）， ∴S△PBQ＝BP•BQ＝×6×6＝18（cm2）． 故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积.由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键． 26. 观察下列各式，通过分母有理化把不是最简二次根式的化成最简二次根式． ； . 同理可得…… 请参考上述分母有理化的方法，计算下列各式的值 （1）计算的值． （2）计算． （3）的值． 【答案】（1） （2） （3）2025 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化进行求解即可； （2）利用分母有理化进行求解即可； （3）先进行分母有理化，再利用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：∵； ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $