精品解析：北京市第十九中学2025-2026学年第二学期期中练习高二数学

北京市第十九中学2025—2026学年第二学期期中练习 高二数学 2026.04 本试卷共6页，满分100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题纸交回，试卷保留好，以备讲评. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知等差数列中，，则（ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件，结合等差数列的通项公式，可求得公差，再代入通项公式，即可求得. 【详解】由，得，故， 所以. 故选：D. 2. 下列导数式子正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，即可作出判定，得到答案． 【详解】根据导数的运算法则，可得，所以A不正确；，所以B不正确； 由，所以C 不正确；由是正确的，故选D． 【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3. 已知为4与9的等比中项，则的值为（ ） A. 6 B. -6 C. D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列中项性质求解即可. 【详解】因为4与9的等比中项，即，解得. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（ ） A. 和 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图像，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项. 【详解】因为当，，所以单调递增；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为. 故选：D. 5. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 所以， 又，所以，整理得， 因为，所以， 所以数列前6项的和为. 故选：A 6. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再求出，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：易知，所以，由，得，所以. 故选：C 7. 已知函数的图象如图所示，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性求解即可. 【详解】选项A.函数.因为，所以是偶函数，不符合，排除A. 选项C.​，当时，，因此，不符合图像，排除C. 选项D.，当时，，不符合图像，排除D. 选项B.因为，所以函数是奇函数，符合中心对称的性质； 时，​，求导得​，因此时递增. 时，递减，且时，符合图像"先增后减趋向于0"的性质； 时，由奇函数对称性，对应图像也符合. 8. 已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式以及前项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果. 【详解】若，且公比，则，所以对于任意，成立，故充分性成立； 若，且，则， 所以由对于任意，，推不出，故必要性不成立； 所以“公比”是“对于任意，”的充分不必要条件. 故选:A 9. 已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，则在有根，且根的两侧异号即可. 【详解】由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得. 故选：C. 10. 已知函数，设实数m满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，则m的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求得的单调区间，结合的图象、切线以及不等式恒成立求得的最大值. 【详解】，， 当时，， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减. 又， 所以的图象在处的切线方程为，此时. 同时，，因此在时恒成立， 直线是曲线的切线，则， 结合图象可知，当时，不恒成立. 当时，，恒成立. 当时，，因此，所以的最大值为. 故选：A 第二部分（非选择题共60分） 二､填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 曲线在x＝1处切线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，代入公式即可. 【详解】，，即曲线在x＝1处切线的斜率为. 故答案为：. 12. 在等比数列中，，，则其前5项的和的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得公比与首项，进而求得通项公式与即可. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以， 故. 故答案为： 13. 已知数列中，.若为等差数列，则______ . 【答案】 【解析】 【分析】利用等差中项求解即可． 【详解】由为等差数列，则，解得 故答案为： 14. Logistic增长模型描述了受资源限制的种群增长规律，广泛应用于生物学等领域．该模型的数学表达式为，其中表示t时刻的种群数量，M为环境的最大承载容量（种群数量的上限），为初始时刻的种群数量，r为种群的内禀增长率（与繁殖率，死亡率相关），． ①若，则初始时刻生物种群的增长速度是______； ②若，则当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，生物种群的增长速度是______．（用M，r表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①首先求种群增长速度的表达式：对求导得到种群增长速度表达式．  根据已知条件确定、、的值，再结合初始时刻，将这些值代入计算出初始时刻生物种群的增长速度．  ②当种群数量达到环境最大承载容量一半时，即，代入表达式求出的值． 将的值代入种群增长速度表达式，计算出此时生物种群的增长速度． 【详解】对于①，对求导来得到种群增长速度的表达式．  令，则．  根据复合函数求导法则，先对关于求导，；再对关于求导，．  那么．   然后将（即），，代入增长速度表达式： 当时，．  把，，代入得：    故初始时刻生物种群的增长速度是．   对于②，当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，即． 把代入可得：．  两边同时约去得：．  则，即．    把代入种群增长速度表达式： 此时．  所以当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，生物种群的增长速度是．   故答案为：；. 15. 已知数列满足，该数列的前项和为.给出下列四个结论： ①； ②； ③非零常数，对都有； ④，都有. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①②，根据条件直接求解即可；对于③，假设存在，推导出一个奇数为数列的一个周期，推出矛盾；对于④，推导出. 【详解】对于①，，故，①正确； 对于②，，故，而，故，②错误； 对于③，假设存在非零常数，对，都有，显然， 当 ，时，则 ， 若，则，不合要求， 综上， ，，不满足要求； 当 ，时，则，不合要求； 当 ，时，， 若，则，不合要求， 综上， ，不合要求； 当 ，时，，故为数列的一个周期， 同理，故也为数列的一个周期， 依次类推，最终可得一个奇数为数列的一个周期， 但根据前面所推导，奇数不是的周期，故假设不成立， 不存在非零常数，对，都有，③错误； 对于④，，故，，故， 由得，，， ， 因此， 于是， 因为，故当时，， 所以， 其中，所以， ，都有，④正确. 三､解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，根据等差数列的性质列方程求得后可得通项公式； （2）写出，由分组求和法求和． 【小问1详解】 设的公比为（）， 因为，且，，成等差数列， 所以，即，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）， ． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）设，求的最值． 【答案】（1）的单增区间为和，单减区间为. （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数求出的单调区间；（2）根据单调性，求出端点值和极值，即可得到的最值． 【小问1详解】 函数的导函数为. 当和时，有，所以单调递增；当时，有，所以单调递减. 即的单增区间为和，单减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知：在上递增，在上递减，在上递增. 又，； ，. 所以在上的最小值为，最大值为. 18. 已知函数，其中且. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明函数在定义域内有且只有一个零点. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的意义可得； （2）求导后分参数的取值范围讨论可得； （3）利用单调性结合零点存在定理证明可得. 【小问1详解】 当时，，， ， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 ， 当时，需， 令， 所以在上单调递增，在单调递减； 当时，需， 若，则，在上单调递减； 若，则令， 此时当时，，单调递增；当时，，单调递减， 综上， 当时，在上单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在单调递减. 【小问3详解】 由（2）可得当时，在上单调递减， 若函数在定义域内有零点，则必唯一，因此只需证明存在零点即可. 取，则， 因为，，所以， 取，则， 因为，，，所以， 由零点存在定理可知在上有且只有一个零点.得证. 19. 如果数列对任意的，则称为“速增数列”. （1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由； （2）若数列为“速增数列”，且任意项，求正整数的最大值； （3）已知项数为的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于，若，证明：. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）63 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算，可得到答案. （2）根据题意得到，计算当时，，当时，，得到答案. （3）证明，得到，得到，代入计算得到证明. 【小问1详解】 因为，则， 又，故，数列是“速增数列”. 【小问2详解】 ， 因为，且数列为“速增数列”，所以. 当时，， 即， 当时，，当时，， 故正整数k的最大值为. 【小问3详解】 ，故，即； ，故， 即， 同理可得：， 故， 所以，所以，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十九中学2025—2026学年第二学期期中练习 高二数学 2026.04 本试卷共6页，满分100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题纸交回，试卷保留好，以备讲评. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知等差数列中，，则（ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 2. 下列导数式子正确的是 A. B. C. D. 3. 已知为4与9的等比中项，则的值为（ ） A. 6 B. -6 C. D. 36 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（ ） A. 和 B. C. D. 5. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 6. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知函数的图象如图所示，则可以为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，设实数m满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，则m的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 第二部分（非选择题共60分） 二､填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 曲线在x＝1处切线的斜率为______． 12. 在等比数列中，，，则其前5项的和的值为________. 13. 已知数列中，.若为等差数列，则______ . 14. Logistic增长模型描述了受资源限制的种群增长规律，广泛应用于生物学等领域．该模型的数学表达式为，其中表示t时刻的种群数量，M为环境的最大承载容量（种群数量的上限），为初始时刻的种群数量，r为种群的内禀增长率（与繁殖率，死亡率相关），． ①若，则初始时刻生物种群的增长速度是______； ②若，则当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，生物种群的增长速度是______．（用M，r表示） 15. 已知数列满足，该数列的前项和为.给出下列四个结论： ①； ②； ③非零常数，对都有； ④，都有. 其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）设，求的最值． 18. 已知函数，其中且. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明函数在定义域内有且只有一个零点. 19. 如果数列对任意的，则称为“速增数列”. （1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由； （2）若数列为“速增数列”，且任意项，求正整数的最大值； （3）已知项数为的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于，若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $