精品解析：2026年安徽阜阳市太和民族中学等校中考第二次模拟数学试题

数学 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中是负数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 记者从我省政府新闻办举行的发布会获悉，2025年我省新一代信息技术、人工智能等数字产业营收达3500亿元，3500亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 5. 一副三角板按如图所示叠合在一起，若三角板的两斜边相互平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 2026年是丙午马年，如图是一幅骏马图，骏马图中马身的长度与马头的长度满足一次函数关系，下表列出了骏马图中马身的长度与马头的长度的一些对应值：若一幅骏马图的马身长度为，则马头长度应画为（ ） 马头长度 1 2 3 4 5 马身长度 4.5 7 9.5 12 14.5 A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，对角线交于点．点在的延长线上，连接于点分别交边、对角线于点（点不与点重合）．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在等腰直角中，，点在边上，，是边上一动点，为内一点，且，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 12. 班级图书角有2本科幻图书和2本故事书，小红和小明各借一本图书阅读，则他俩借到同一类图书的概率是___________． 13. 如图，中，，点在轴正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象与交于点，连接，若的面积为，则的值为___________． 14. 如图，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点．点为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接，． （1）四边形的形状是___________； （2）若四边形是矩形，则的值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点为格点（网格线的交点）． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）将向下平移个单位长度得到，画出； （3）四边形的面积为___________． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某校新购进一批课桌和课椅，一张课桌比一张课椅贵元，已知购买张课桌和张课椅共需元，求每张课桌和每张课椅的价格． 18. 某数学兴趣小组准备利用小楼来测量教学楼的高度，他们在小楼的楼顶处测得教学楼楼顶的仰角为，并测得教学楼底部的俯角为，如图，若小楼的高度为米，求教学楼的高度．（精确到米，参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为增强学生法律意识，学校组织全体学生参加“我学法、我守法”的知识竞赛，随机抽查了部分学生的竞赛成绩（单位：分）（满分分），根据成绩分为：等：分；等：；等：；等：．并根据调查结果制成了如下不完整的统计图表： 等次 频数 频率 根据以上信息，解答下面的问题： （1）本次抽查的学生人数是___________人；___________；___________；___________； （2）补全频数分布直方图； （3）若该校共有学生人，请估计这次竞赛成绩在分以上（含分）的学生人数． 20. 如图，是的直径，点是的中点，连接，点在直径的延长线上，过点作的切线，切点为，连接交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 （1）图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； （2）根据图形规律求的值； （3）在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 （4）参考上述方法，直接写出的值． 七、（本题满分12分） 22. 以的两边，为边分别在外部作矩形和矩形． （1）如图1，若，． （i）求证：； （ii）求证：； （2）如图2，若矩形矩形，，，．求的长． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点和点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线与轴交于点和点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． （i）若点是抛物线位于轴上方部分的一个动点，如图，是否存在？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由； （ii）若点是线段上一点，且，过点作轴于点，交抛物线于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中是负数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用立方根、绝对值、相反数化简各数，再根据“小于0的数是负数”判断即可． 【详解】解：A．，，该数是负数，符合要求； B．既不是正数也不是负数，不符合要求； C．，该数是正数，不符合要求； D．，该数是正数，不符合要求． 2. 记者从我省政府新闻办举行的发布会获悉，2025年我省新一代信息技术、人工智能等数字产业营收达3500亿元，3500亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将3500亿元表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：3500亿元． 3. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：该部件“榫”的俯视图是如B选项所示． 4. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：． 5. 一副三角板按如图所示叠合在一起，若三角板的两斜边相互平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为两斜边相互平行，所以，根据三角形外角性质可得． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∵， ∴．   6. 2026年是丙午马年，如图是一幅骏马图，骏马图中马身的长度与马头的长度满足一次函数关系，下表列出了骏马图中马身的长度与马头的长度的一些对应值：若一幅骏马图的马身长度为，则马头长度应画为（ ） 马头长度 1 2 3 4 5 马身长度 4.5 7 9.5 12 14.5 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出当时，对应的值即可得解． 【详解】解：骏马图中马身的长度与马头的长度满足一次函数关系， 设， 将点，代入得， ，解得， ， 当时，即，解得， 即若一幅骏马图的马身长度为，则马头长度应画为． 7. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根的性质，根的判别式等于0，列出关于的一元二次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 其中，，，代入得： ， 展开化简得： ， 整理得：， 因式分解得， 解得． 8. 如图，在矩形中，，对角线交于点．点在的延长线上，连接于点分别交边、对角线于点（点不与点重合）．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作，垂足分别为M、N，证明，推出，再证明，推出，据此可得答案． 【详解】解：如图，作，垂足分别为M、N， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴． 9. 已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线对称轴为，故，即；再结合抛物线与y轴交于正半轴，可得，进而可以判断①；因为对称轴，当时，，则当时，，即可判断②；由对称轴为直线，则，即可判断③； 由，即，由抛物线的对称轴是直线，即点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，所以，故可以判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为，， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，即①错误； ∵对称轴，当时，，则 ∴当时，，即可②正确； ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，即③错误． ∵抛物线对称轴为，， ∴当时的函数值大于当时的函数值． ∵， ∴， ∴当点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，故④正确． 综上，正确的结论是②④，共2个． 10. 如图，在等腰直角中，，点在边上，，是边上一动点，为内一点，且，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知点在以为直径的圆弧上，取的中点，作于点，交圆弧于点，此时取最小值，通过勾股定理可求得的长，从而可得、、的长，再解直角三角形可求得的长，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，易得点在以为直径的圆弧上，取的中点，作于点，交圆弧于点，此时取最小值， 在等腰直角中，， ， ， ， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分母不等于0，即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0． 12. 班级图书角有2本科幻图书和2本故事书，小红和小明各借一本图书阅读，则他俩借到同一类图书的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将2本科幻书记为，2本故事书记为，画树状图为： 小红和小明各借一本，共有种等可能的结果，其中两人借到同一类图书的结果有种， ∴根据概率公式计算得：． 13. 如图，中，，点在轴正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象与交于点，连接，若的面积为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，过点作于，可证明，设点的坐标为，根据的面积和的面积关系可得，结合相似三角形的性质可表示出点的坐标，再代入反比例函数中即可求得的值． 【详解】解：过点作于，过点作于， 反比例函数的图象经过点， 设点的坐标为，则，， 点是轴上一点，且 ， ， 点的坐标是，， 的面积为， ，即， ， ，， ， ， ， ，， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ． 14. 如图，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点．点为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接，． （1）四边形的形状是___________； （2）若四边形是矩形，则的值为___________． 【答案】 ①. 平行四边形 ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可证得四边形、是菱形，从而得到，，由中点的性质结合平行四边形的性质可得，，从而证得，，即可得证； （2）过作于，过作于，设，由含角直角三角形的性质结合勾股定理可得，，再由矩形的性质结合平行的性质求得，再由含角直角三角形的性质结合勾股定理可得，从而可得，即可得解． 【详解】解：（1）将沿翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形， ； 同理四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）当四边形是矩形时，如图，过作于，过作于， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 为中点， ，， 由（1）得四边形是菱形， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂，锐角三角函数值，绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点为格点（网格线的交点）． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）将向下平移个单位长度得到，画出； （3）四边形的面积为___________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）利用大矩形的面积减去周围三角形和小矩形的面积，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形的面积为 ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某校新购进一批课桌和课椅，一张课桌比一张课椅贵元，已知购买张课桌和张课椅共需元，求每张课桌和每张课椅的价格． 【答案】每张课椅的价格为元，每张课桌的价格为元 【解析】 【分析】设每张课椅的价格为元，每张课桌的价格为元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每张课椅的价格为元，每张课桌的价格为元，根据题意得， ， 解得． 答：每张课椅的价格为元，每张课桌的价格为元． 18. 某数学兴趣小组准备利用小楼来测量教学楼的高度，他们在小楼的楼顶处测得教学楼楼顶的仰角为，并测得教学楼底部的俯角为，如图，若小楼的高度为米，求教学楼的高度．（精确到米，参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作于，在中，解直角三角形可得长，在中，解直角三角形可得长，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，则四边形是矩形， （米）， 在中，， （米）； 在中，， （米）， （米）． 答：教学楼的高度约为米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为增强学生法律意识，学校组织全体学生参加“我学法、我守法”的知识竞赛，随机抽查了部分学生的竞赛成绩（单位：分）（满分分），根据成绩分为：等：分；等：；等：；等：．并根据调查结果制成了如下不完整的统计图表： 等次 频数 频率 根据以上信息，解答下面的问题： （1）本次抽查的学生人数是___________人；___________；___________；___________； （2）补全频数分布直方图； （3）若该校共有学生人，请估计这次竞赛成绩在分以上（含分）的学生人数． 【答案】（1），，； （2） 补全频数分布直方图如图， （3）人． 【解析】 【分析】（）组的频数为人，频率为，可求出调查人数，减去其它几个组的频数，即可求出的值，然后利用“频率频数总数”即可求出，的值； （）根据组的频数即可补全频数分布直方图； （3）利用乘以分以上（含分）的频率即可． 【小问1详解】 解：根据频数分布表和频数分布直方图知，这次调查的学生人数为（人）； ∴等学生人数为（人）； ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： （人）， 答：估计这次竞赛成绩在分以上（含分）的学生人数为人． 20. 如图，是的直径，点是的中点，连接，点在直径的延长线上，过点作的切线，切点为，连接交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由圆周角定理得到为等腰直角三角形，连接，由圆的切线的性质得到，则，再由圆周角定理可得，最后根据求解； （2）先求出，然后由，得到，由勾股定理得，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：点是的中点， 是的直径， ， 如图，连接 是的切线， ∴ ； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， 连接， ∵， 在中，设， ， 由勾股定理得， 整理得， 解得或（舍去）， ． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 （1）图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； （2）根据图形规律求的值； （3）在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 （4）参考上述方法，直接写出的值． 【答案】（1）； （2） （3） 解：如图所示， （答案不唯一） （4） 【解析】 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【小问1详解】 解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解： ． 七、（本题满分12分） 22. 以的两边，为边分别在外部作矩形和矩形． （1）如图1，若，． （i）求证：； （ii）求证：； （2）如图2，若矩形矩形，，，．求的长． 【答案】（1） 证明：（i）四边形和四边形都是矩形， ， ，即， ，，， ， ； （ii）如图，设与相交于，与相交于， 由（i）得， ， ， ，即， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据矩形的性质证明，即可得证；（ii）设与相交于，与相交于，根据全等得到，由三角形内角和定理结合对顶角相等证明，即可得证； （2）设与相交于，与相交于，连接，，由矩形相似的对应边相等结合夹角相等证明，证得，从而证得，由勾股定理证明，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，设与相交于，与相交于，连接，， 矩形矩形， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ，，，， ， ，，， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点和点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线与轴交于点和点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． （i）若点是抛物线位于轴上方部分的一个动点，如图，是否存在？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由； （ii）若点是线段上一点，且，过点作轴于点，交抛物线于点，求的值． 【答案】（1） （2）（i）存在，点的横坐标为（ii） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）（i）过点作交抛物线于点，此时，求得直线的函数表达式为：，联立抛物线解析式，即可求解； （ii）过点作轴于点，则，得出直线，根据列出比例式，求得点的坐标为进而得出点的坐标为，即可求解． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点和点 ， 解得 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，当时，，解得， 点在点左侧，点坐标为，点坐标为； 当时， 点坐标为； 顶点坐标为． （i）存在点使， 如图1，过点作交抛物线于点，此时， 设直线的函数表达式为 点，点， ， 解得， 直线的函数表达式为， 直线的函数表达式为：， 当时，即，解得， 点是抛物线位于轴上方部分的一个动点时（舍去），存在，此时点的横坐标为； （ii）如图2，过点作轴于点，则，设直线，则， 解得 轴， 当时， 点的坐标为 点的坐标为， 的值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $