精品解析：四川绵阳市东辰学校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

绵阳东辰中学高2025级高一下第一次月考（2026．3.30）数学 一、单选题（每小题5分共40分） 1. 下列命题正确的是（    ） A. B. 若，则 C. 零向量没有方向 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量相等及零向量的定义判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：取非零向量，此时满足，但不成立，故B错误； 对于C：零向量有方向，其方向任意，故C错误； 对于D：模为0，故D正确. 故选：D． 2. 已知向量.若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用三点共线的概念进行求解. 【详解】若，，三点共线，则向量与共线， 因为，， 由共线条件可得：， 化简可得：，求解得：. 故选：A. 3. 在 中， 分别是角 的对边， ，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】先用余弦定理将题干条件转化为，再次用余弦定理推出，进而得解. 【详解】由余弦定理，，则， 整理可得，则， 结合是三角形的内角，则， 即是钝角三角形. 4. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理逐项判断即可. 【详解】对于ABD选项，给定的都是两边及其夹角，可以利用余弦定理求出（唯一确定）， 此时只有一解； 对于C选项，由余弦定理可得， 即，即，解得或， 此时有两解，C符合要求. 5. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 6. 设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数量积坐标定义结合向量平行的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 7. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由余弦定理得， 又，所以，所以， 所以由正弦定理得． 8. 若平面向量，，满足，则的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求解即可. 【详解】， 当与同向时取等号， 故选：B 二、多选题（每小题6分共18分） 9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ） A. 小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B. 当时小球达到最高点 C. 小球往复运动一次经过的时间为秒 D. 当时，小球向下运动 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析函数的性质，可判断各选项的正确性. 【详解】对A：因为，所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故A正确； 对B：因为，所以当时小球位于平衡位置，故B错误； 对C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确； 对D：因为，所以，因为正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D正确. 故选：ACD 10. 如图，在中，，，，点为线段的中点，、在线段上，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦定理求得判断A；利用，可求得判断B；设，则，，求得，计算数量积可求最小值判断C；由，当时，，可判断D. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，故A正确； 因为点为线段的中点，所以， 所以 ，所以，故B错误； 设，则，， 所以， ， ， 当时，，故C正确. 记时，，且， 当时，，此时，且， 由题意可得可在连续变化，故当从大于越接近， 越小，故无最小值，故D错误. 故选：AC. 11. 已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在 上的投影向量为 D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由不等式恒成立结合向量模长公式得到一个一元二次不等式恒成立，解该不等式恒成立问题得到，接着由向量模公式、数量积运算律和投影向量公式逐项计算即可判断ABC；由模公式计算D选项得到代数式，利用其几何意义数形结合分析计算即可求解判断D. 【详解】由题可得恒成立， 即， 所以， 所以， 所以，故A正确； ，故B正确； 在上的投影向量为，故C错误； ， 表示动点到两定点距离和的2倍，如图， 关于x轴对称的点为，则， 所以由图可知当三点共线时，动点到两定点距离和的2倍取得最小值， 此时， 所以当取最小值时，，D正确. 故选：ABD 三、填空题(每小题5分共15分) 12. 如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东，距离为海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东，则A与D间的距离为________海里． 【答案】24 【解析】 【分析】直接由正弦定理求解即可. 【详解】在中，，， 所以，所以海里. 故答案为：24. 13. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则周长的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理的边角变换化简题设条件求得，再利用正弦定理与三角恒等变换，将的周长转化为角的表达式，从而利用正弦函数的性质即可得解. 【详解】由余弦定理可得，且， 代入可得，化简可得， 因为，代入可得， 因为，则， 由正弦定理可得，代入，， 可得，则， 则，， 所以的周长为 ， 因为，则，所以， 则，即的周长的范围为. 故答案为：. 14. 如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求最小值. 【详解】在中，，则， 线段的中点分别为， ∴，， ∴， ∴两边平方得： ， ∵，，， ∴， 因为对称轴为，所以当时取得最小值， 最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 . （1）求的周长； （2）若，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合余弦定理化简，可求出a的值，即得答案； （2）利用二倍角公式化简，结合余弦定理求出bc的值，即可求得答案. 【小问1详解】 由得：， 即得，所以的周长为； 【小问2详解】 由得：， 所以，因为， 所以，所以， 又，则，即， 所以， 所以的面积． 四、解答题(15题13分,16-17题15分,18-19题17分,共77分) 16. 已知平面向量，，，且， （1）求在方向上的投影向量； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行及垂直的坐标表示及投影向量的定义可得； （2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角. 【小问1详解】 ，，解得. . ，，. . ， . 所以在方向上的投影向量为． 【小问2详解】 由（1）知，，， ，，. 设，的夹角为，则：. ， 即向量与向量的夹角为． 17. 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃． （1）求出该地区该时段的温度函数的表达式； （2）2月28日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 【答案】（1） （2）学校后勤应该开空调． 【解析】 【分析】（1）根据气温最值可列方程组求得，再由周期性以及可求得解析式； （2）将代入并与10比较大小可知应该开空调． 【小问1详解】 由题意知，解得； 易知，所以，所以， 易知，即， 故，又，得， 所以． 【小问2详解】 当时， 所以届时学校后勤应该开空调． 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求角A和边b； （2）若为锐角三角形，且外接圆圆心为O． （i）求的取值范围； （ii）求和面积之差的最大值． 【答案】（1）， （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边角互化及余弦定理求解. （2）（ⅰ）根据平面向量的运算、数量积的性质及余弦定理可得，再利用正弦定理及两角和的正弦公式、正切函数的性质求解即；（ⅱ）设外接圆半径为，由正弦定理可得，结合三角形的面积公式及二倍角公式可得，进而根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 在中，及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以；由及正弦定理得，而，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）依题意，， 由为外接圆圆心，得，， 由余弦定理得，， 因此， 由正弦定理得，则， 由，得，，则， 所以. （ⅱ）设外接圆半径为，则，且，即， 而，，， ， 因此， 由（ⅰ）知，，，则当时，， 所以当时，取得最大值. 19. 设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. （1）设，，计算和； （2）设，，求证：； （3）设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 【答案】（1）， （2） 不妨设射线、分别为角、的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故. （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求出的余弦值，进而可得出的正弦值，结合题中定义可求得和的值； （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则，设，，则，，利用题中定义结合两角差的正弦公式化简可证得结论成立； （3）建立合适的平面直角坐标系，利用向量叉乘将三角形的面积转化为，最后利用基本不等式即可求出其最大值. 【小问1详解】 如下图所示： 由平面向量数量积的坐标运算可得， 则为锐角，且， 结合图形可知，， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以点为坐标原点，直线、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，由题意知， . 由垂径定理知， ， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳东辰中学高2025级高一下第一次月考（2026．3.30）数学 一、单选题（每小题5分共40分） 1. 下列命题正确的是（    ） A. B. 若，则 C. 零向量没有方向 D. 2. 已知向量.若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 3. 在 中， 分别是角 的对边， ，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能 4. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 若平面向量，，满足，则的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题（每小题6分共18分） 9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ） A. 小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B. 当时小球达到最高点 C. 小球往复运动一次经过的时间为秒 D. 当时，小球向下运动 10. 如图，在中，，，，点为线段的中点，、在线段上，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在 上的投影向量为 D. 当取最小值时， 三、填空题(每小题5分共15分) 12. 如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东，距离为海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东，则A与D间的距离为________海里． 13. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则周长的取值范围是______. 14. 如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为______ 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 . （1）求的周长； （2）若，求△ABC的面积. 四、解答题(15题13分,16-17题15分,18-19题17分,共77分) 16. 已知平面向量，，，且， （1）求在方向上的投影向量； （2）求与的夹角. 17. 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃． （1）求出该地区该时段的温度函数的表达式； （2）2月28日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求角A和边b； （2）若为锐角三角形，且外接圆圆心为O． （i）求的取值范围； （ii）求和面积之差的最大值． 19. 设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. （1）设，，计算和； （2）设，，求证：； （3）设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $