第十章 二元一次方程组 单元测试 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各式中，为二元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、含有2次项，不是一次方程，不是二元一次方程，不符合题意； 2、二元一次方程的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 当时，；当时，； 则方程的正整数解有2组， 3、下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； B、把满足中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确； C、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； D、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误． 4、已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：， 得， 解得， 把代入，得， 故方程组的解为， ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得， 解得，结论正确； ②当时，方程组的解为， 方程， 而， 故方程组的解也是方程的解， 故结论正确； ③由，得，是定值， 故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确． 5、用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，2个长等于，一个长加上三个宽等于，2个长等于1个长加上3个宽，1个长加2个宽等于5个宽， ∴， ∴四个选项中只有D选项中的方程组不正确，符合题意， 6、如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为， 根据题意可得：， 整理得：， 得：， 即个“□”与个“○”的质量相等， 7、小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮，如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．则小明和小亮每秒跑的路程分别为（ ） A. 6米，4米 B. 10米，8米 C. 8米，6米 D. 6米，8米 【答案】C 【详解】解：设小明的速度为米/秒，小亮的速度为米/秒，则 ，解得， 小明和小亮每秒跑的路程分别为8米，6米， 8、当时，代数式的值是3，当时，这个代数式的值是－2，则的值为（ ） A. －7 B. －3 C. 7 D. 3 【答案】C 【详解】解：将代入代数式，得：，即①； 将代入代数式，得：，即②； 联立得方程组 由①-②得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， ∴ ， ∴， 9、若关于x、y方程组与有相同的解，则的值为（　　） A. 2024 B. C. 1 D. 【答案】C 【详解】解：由题意，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②得 ， ∴， 解得； 将代入，得， ，得， 解得：， 把代入④得， 解得： ． ， 10、方程的整数解的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，，而是整数，是整数，且， ∴或或， （1）当时，有 ①，②， 其中方程组①有整数解，②没有整数解； (2)当时，有 ①，②，③，④， 其中，方程组①没有整数解，方程组②没有整数解，方程组③有整数解，方程组④没有整数解； (3)当时，有 ①，②， 其中，方程组①没有整数解，方程组②有整数解； 综上所述，原方程组的整数有3个， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为_____． 【答案】1 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 12、 方程组的解为______． 【答案】 【详解】 ， 得： ， 解得： ， 把 代入 得： 解得： ， 则方程组的解为： ． 13、 已知方程组，则_______________． 【答案】8 【详解】解：， ①②得：， 故答案为：8． 14、 若二元一次方程组的解与的和等于，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：令， 由得，， 由得，， ∴得，， 把代入式，得，解得：， ∵， ∴， 解得：． 15、 探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为______． 【答案】1 【详解】解： ，得：， ，得：， ∴， 16、中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排__________名工人加工茶壶． 【答案】6 【详解】解：设名工人加工茶杯，名工人加工茶壶， 根据题意得：， 解得：， 故8名工人加工茶杯，6名工人加工茶壶． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程组(1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解：， 原方程组化简为：， 得：， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：． 18、阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【答案】 【详解】解：     将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得， 所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 19、 【阅读理解】 数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次程组解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？ 通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解，这种思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 【解决问题】 请你参考这种思路，解决下面的问题： ①若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A.    B.    C.    D. ②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中、、、都为常数） 【答案】①D； ② 【详解】解：①依题意， 解得： 故选：D． ②即 ∵的解是 ∴ 解得： 20、经营户刘师傅在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 红辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元公斤） 零售价（元公斤） 刘师傅共用元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共公斤到菜市场去零售，请你根据表中的信息解答下列问题： （1）请计算刘师傅批发红辣椒和西红柿各多少公斤？ （2）若刘师傅当天卖完批发蔬菜，请问他能赚多少钱？ 【答案】（1）批发红辣椒和西红柿各，公斤； （2）刘师傅能赚元． 【小问1详解】 解：设批发红辣椒和西红柿各，公斤，根据题意得， ， 解这个方程组得， 答：批发红辣椒和西红柿各，公斤； 【小问2详解】 （元）， 答：刘师傅能赚元． 21、小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： 妈妈：今天买了这两样菜共花了14.52元，上个月同等重量的这两样菜要15.6元． 爸爸：电视新闻上说今天的萝卜单价比上个月上涨了20%，排骨单价比上个月下降了10%． 请你根据小明的爸爸和妈妈的对话分别求出今天萝卜和排骨的单价． 【答案】萝卜和排骨的单价分别为0.96元、12.6元 【详解】设上个月的萝卜单价为元，排骨单价为元，根据题意得： ， 解这个方程组得， ，， 所以今天萝卜和排骨的单价分别为0.96元、12.6元． 22、某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图）．（注：图中向上的一面无盖） （1）如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片______张，正方形纸片______张； （2）现将张长方形硬纸片和张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 【答案】（1）， （2）可以做成甲种小盒个，乙种小盒个． 【小问1详解】 解：∵甲是一个无盖的长方体， ∴需要长方形纸片张，需要正方形纸片张， ∵乙是一个无盖的长方体， ∴需要长方形纸片张，需要正方形纸片张， ∴做甲乙两种纸片供需长方形纸片张，正方形纸片张， 故答案为，； 【小问2详解】 解：设可以做成甲种盒子个，乙种盒子个，根据题意可得， ， 解得：， 答：可以做成甲种小盒个，乙种小盒个． 23、 北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 (2)有2种购买方案 【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意，得； 解得 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型 根据题意，得 ∴ ∵，均为正整数， ∴当时，； 当时，， ∴有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 24、 已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值， 如由可得， 由可得．这种方法利用了“整体思想”． 请你利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则_______，_______； (2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元． 【答案】(1)，5 (2)共需58元 【详解】（1）解：， 可得：； 可得：， ∴； （2）解：设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元， 由题意可得：， ∴可得， 答：购买11支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需58元． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各式中，为二元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 2、二元一次方程的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3、下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 4、已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5、用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（    ） A． B． C． D． 6、如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 7、小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮，如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．则小明和小亮每秒跑的路程分别为（ ） A. 6米，4米 B. 10米，8米 C. 8米，6米 D. 6米，8米 8、当时，代数式的值是3，当时，这个代数式的值是－2，则的值为（ ） A. －7 B. －3 C. 7 D. 3 9、若关于x、y方程组与有相同的解，则的值为（　　） A. 2024 B. C. 1 D. 10、方程的整数解的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为_____． 12、 方程组的解为______． 13、 已知方程组，则_______________． 14、 若二元一次方程组的解与的和等于，则的值为____________． 15、 探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为______． 16、中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排__________名工人加工茶壶． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程组(1) (2) 18、阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 19、 【阅读理解】 数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次程组解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？ 通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解，这种思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 【解决问题】 请你参考这种思路，解决下面的问题： ①若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A.    B.    C.    D. ②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中、、、都为常数） 20、经营户刘师傅在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 红辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元公斤） 零售价（元公斤） 刘师傅共用元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共公斤到菜市场去零售，请你根据表中的信息解答下列问题： （1）请计算刘师傅批发红辣椒和西红柿各多少公斤？ （2）若刘师傅当天卖完批发蔬菜，请问他能赚多少钱？ 21、小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： 妈妈：今天买了这两样菜共花了14.52元，上个月同等重量的这两样菜要15.6元． 爸爸：电视新闻上说今天的萝卜单价比上个月上涨了20%，排骨单价比上个月下降了10%． 请你根据小明的爸爸和妈妈的对话分别求出今天萝卜和排骨的单价． 22、某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图）．（注：图中向上的一面无盖） （1）如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片______张，正方形纸片______张； （2）现将张长方形硬纸片和张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 23、 北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 24、 已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值， 如由可得， 由可得．这种方法利用了“整体思想”． 请你利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则_______，_______； (2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $