2026年中考数学热门考点通关练——二次函数与面积综合常见题型练

2026年中考数学热门考点通关练——二次函数与面积综合常见题型练 1．如图，抛物线与x轴正半轴交于A点，与y轴交于点C，直线过A、C两点．点B为抛物线顶点，连接． (1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标； (2)求的面积． 2．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式 ； (2)点为二次函数的图象第四象限的点，设点的横坐标为，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点的坐标． 3．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 4．抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知：抛物线交y轴于点，交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），其对称轴为，顶点为D． (1)求抛物线的解析式及A，B两点的坐标； (2)若经过A，B，C三点，求圆心P的坐标； (3)求的面积；并探究抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由． 6．如图1，已知二次函数的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象上位于第三象限内的点． ①如图2，当点是抛物线的顶点时，连接、，求的面积； ②当点到直线的距离最大时，求此时点的坐标． 7．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 8．如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，当时，求的值； (3)设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其中点，点，点为抛物线上动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在第二象限，连接．作于点，当时，求的面积； (3)如图2，取的中点，作直线，点为直线上一点，若点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点横坐标． 11．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知，． (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)如图1，D为线段上方抛物线上一点，连接、，当的面积取到最大值时，求点D的坐标； (3)如图2，抛物线的顶点为E，轴于点F，N是线段上一动点，是x轴一个动点，若，请求出m的取值范围． 12．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)将图中的抛物线轴左侧（含轴）部分图象沿轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分图象组成新的图象，如图，请直接写出抛物线的函数解析式； (3)点在图象上，其横坐标为． ①当的面积等于6时，求的值． ②点在图象上，其横坐标为，当图象在、两点之间的部分（含、两个端点）所对应的函数的最大值与最小值不随的值变化而变化，请直接写出的取值范围． 13．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转得到． (1)求抛物线的解析式； (2)点G为抛物线上一动点，连接，当点C到直线的距离最大时，求的面积为多少； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)．顶点B的坐标为 (2) 【分析】（1）由，求出，，把A，C的坐标代入，得到b、c的方程组，解方程组即得抛物线解析式和顶点B的坐标． （2）过点B作轴，交于点D，求出，，代入计算即得答案． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， 解得， ∴， 把A，C的坐标代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点B的坐标为． （2）解：如图，过点B作轴，交于点D． 把代入， 得， ∴， ∴， ∴． 2．(1) (2)， 【分析】（1）加减一次项系数一半的平方，配方解答即可； （2）过点P作轴于点F，交直线于点Q，求出直线的解析式， 设，则， 则，表示三角形的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵ ∴当时，；当时，解得， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点是抛物线上的一动点，且在第四象限，点P的横坐标为m， 故， 过点P作轴于点F，交直线于点Q，则， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为，此时． 3．(1) (2)点P的坐标为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的性质、三角形面积计算、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的最值问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式、通过二次函数性质求最值的方法是解题的关键． （1）先根据点A坐标及对称轴得出点B坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）利用（1）得到的解析式，可设点P的坐标为，则点P到的距离为．然后依据列出关于a的方程，从而可求得a的值，继而得点P的坐标； （3）先求得直线的解析式，设点D的坐标为，则点Q的坐标为，然后可得到与x的函数的关系，最后利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴的交点，对称轴为直线， 抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入，得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：根据题意，设点P的坐标为，则点P到的距离为． ， 即， 解得． 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为． 点P的坐标为或． （3）解：设的解析式为，将点A的坐标代入得：，解得， 直线的解析式为． 设点D的坐标为，则点Q的坐标为． ， 当时，有最大值，的最大值为． 4．(1) (2)存在，D的坐标为，面积最大值为8 (3)存在，点Q的坐标为：， 【分析】（1）利用抛物线与x轴交点坐标代入抛物线即可求出； （2）通过设点D坐标，再根据二次函数性质求最值； （3）根据面积相等，分情况讨论点Q的位置，通过直线与抛物线求解点Q坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线过， ，解得， 所以抛物线表达式：； （2）解：令，得， 则可设直线的解析式：， 代入，得，解得，即， 设点，， 过D作轴交于， 则，， ， 这是开口向下的二次函数， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为8， 此时D的坐标为； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 由（2）知直线的解析式为，则直线与对称轴交点坐标为， ∴， 过作轴交于， 设，则， ， 又与面积相等， ，即， ，解得（与点P重合，舍去）或，此时， 或，解得或， 对应Q的坐标为：， 综上，点Q的坐标为，． 5．(1)抛物线解析式为， (2) (3)；满足条件的M坐标为或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴求出，再由抛物线交y轴于点，得到，即可得到抛物线的解析式，令，解方程即可得到A，B两点的坐标； （2）根据圆上的点到圆心的距离相等建立方程求解即可； （3）先求出点D的坐标，再求出最后用面积公式即可求出；求平行于直线的解析式和抛物线解析式联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴抛物线解析式为， 令， 解得或， ∴； （2）解：∵经过A，B，C三点， ∴点P到A，B，C三点的距离相等， ∴点P在的垂直平分线上，即点P在抛物线的对称轴上， ∴点P一定在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线与对称轴的交点为， 将代入，则， ∴， ∴， ∴； 存在点M，使， 如图，过点D作直线， 设直线m的解析式为， 则，解得， ∴直线m的解析式为， ∴， ∴或， ∴； 设抛物线对称轴与x轴交点为点， ∵， ∴， ∴过点F作直线， 同理，得直线n解析式为， ∴， ∴或， ∴或； 综上，满足条件的M坐标为或或． 6．(1) (2)①；② 【分析】（1）把、的坐标代入中，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得到二次函数的解析式； （2）①求出直线的解析式，根据二次函数的解析式可得：抛物线的顶点坐标为，把代入的解析式，求出点的坐标，即可得到，根据即可求出的面积； ②根据三角形的面积公式可得：当的面积最大时，点到的距离最大，设点的坐标为，则点的坐标为，可知，所以当时的面积最大，求出此时点的坐标即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴相交于、两点， 可得：， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）①解：如下图所示， 当时，可得：， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 整理， 可得：， 抛物线的顶点坐标为， 当时，可得， ， ； ②解：如下图所示， 当点到的距离最大时，的面积最大， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， 整理得：， 当时，有最大值，最大值为， 当时，可得， 点的坐标为． 7．(1) (2) (3)面积的最大值为，此时P点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得二次函数的顶点坐标为，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，可证明，可得，，则可得点D坐标为，再利用待定系数法即可求得直线的表达式； （3）设，过点P作轴于点，交于点H，先求得的表达式，则可得，则，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴设二次函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴，即． （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， ∴对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴， 过点E作轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点G，则， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为2， ∴点D的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得． ∴经过A，D两点的直线表达式为． （3）解：设， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作轴于点，交于点H， ∴， ∴， 过点作于点， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为． 8．(1) (2) (3)①S关于t的函数解析式为；② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可； ②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图所示： ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． （3）解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ， 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当时，S有最大值为16， ∴． 当时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知：当时，存在2个符合条件的点P． 9．(1) (2)取得最大值，此时点的坐标为 (3)存在，满足条件的的坐标为或 【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可； （3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 抛物线经过点，，， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 直线与轴交于点， ， ， 轴，即， ， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形． ①当是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形是矩形时， 由（2）可知，代入中，得到， 直线的解析式为，可得，， 由可得， , ， ， ． 根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点， ，即， b、如图2﹣2中，四边形是矩形时， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， ， 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ，即． ②当是对角线时，设， 则，，， 是直角顶点， ， ， 整理得，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的的坐标为或． 10．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）设点D的坐标为，过点D作轴于点M，则，证明，可得，从而得到，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，设点，然后根据平行四边形，分三种情况讨论，即可． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点D的坐标为， 如图，过点D作轴于点M，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点为的中点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为或； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 综上所述，点D的横坐标为或或． 11．(1)，顶点坐标 (2) (3) 【分析】（1）把抛物线上的点，代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，再化为顶点式即可找到顶点坐标； （2）首先，根据抛物线的解析式令，解得，，得，再求得直线的解析式为，然后，过点D作y轴的平行线，交直线于点F，设，则，得到的长度，再根据，得到当时，的面积最大，最大面积是4，进而求得； （3）由（1）知，然后，设，则，由，得，再根据，，得，进而得当时，m有最小值是，当时，m有最大值是，即可取得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线的解析式为， 令，得， 解得，， ∴，， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 如图，过点D作y轴的平行线，交直线于点F， 设，则， ∴． ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积是4． 当时，， ∴． （3）解：由（1）知，E是顶点坐标． ∴． 设，则， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴当时，m有最小值是． 当时，m有最大值是． ∴m的取值范围是． 【点睛】根据已知条件求得抛物线的解析式及顶点坐标，再运用已知条件及面积公式，得出D点坐标，能根据，得出，并代入数据得到是解题的关键． 12．(1) (2) (3)①的值为或0或2或；②的取值范围是或 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线即可解答； （2）根据图象沿轴翻折时得到的函数值与原函数值互为相反数，从而得到当时的解析式，结合当时与原抛物线解析式相同，即可解答； （3）①分和两种情况讨论，先根据解析式表示出点P的纵坐标，然后表示出的面积，得到关于m的方程，解方程即可； ②设的顶点为D，交y轴于点M，过点D作轴，交图象G于点E，过点M作轴，交图象G于点F，求得的坐标，然后根据当点P在上时，点Q要在上，或者当点Q在上时，点P要在上，满足题意，据此列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：根据题意把代入抛物线，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，图象与的图象关于x轴对称， ∴， 当时，， ∴抛物线G的函数解析式为； （3）解：①（i）当时，此时点P的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，解得或（，舍去）， 当时，解得或（，舍去）， （ii）当时，此时点P的纵坐标为， ∴， ∴， ∴当时，解得或（，舍去）， 当时，解得或（，舍去）， 综上，当的面积等于6时，的值为或0或2或； ②如图，设的顶点为D，交y轴于点M，过点D作轴，交图象G于点E，过点M作轴，交图象G于点F， ∵，令的，则， ∴，， ∴点E的纵坐标为4，点F的纵坐标为， ∴当时，解得或（舍去），即， 当时，解得或（舍去），即， ∵图象在、两点之间的部分（含、两个端点）所对应的函数的最大值与最小值不随的值变化而变化， ∴当点P在上时，点Q要在上，或者当点Q在上时，点P要在上，满足题意， ∴当点P在上，点Q在上时， 则， 解得； 当点Q在上，点P在上时， 则， 解得； 综上，的取值范围是或． 13．(1) (2)8 (3)存在，点D坐标为或或 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题易得时，点C到的距离最大，据此求解即可； （3）设出点D的坐标，构造三垂直全等，表示出点P坐标，进而代入抛物线解析式即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：点C的坐标为， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：设点C到的距离为h，则， ∵点C到直线的距离最大， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为：， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴点G的坐标为， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为：． ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点D的坐标为，， ①点D为直角顶点， Ⅰ、，作对称轴于点M，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得：（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为， Ⅱ．，如图2，点， ∴，则， ∴（取负值）， ∴点D的坐标为， ②A为直角顶点，过点A作y轴的平行线，作轴的平行线于点M，轴的平行线于点N，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点D坐标为； 综上，点D坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $