第10章 二元一次方程组 全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(人教版·新教材)
2026-05-05
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教辅
摘要：
该初中数学单元复习课件系统梳理了二元一次方程组的概念、解法及应用，通过“刷中考”“刷章测”的考点分类（如方程（组）的解、实际应用）和真题演练，将方程解法、问题建模等核心内容串联，帮助学生构建完整知识体系。
其亮点在于融入传统文化（如“物不知数”问题）和实际情境（高速费优惠、购票方案），培养学生用数学眼光观察现实世界，通过消元推理、方程组求解发展数学思维，用代数式表达优惠金额等训练数学语言。分层设计中考题、章测题及跨学科题，让不同学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。
内容正文：
数 学
七年级下册 RJ
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第十章 二元一次方程组
4
全章综合训练
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刷中考
刷章测
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中考
考点1 二元一次方程（组）
1.【江苏无锡中考】下列4组数中，不是二元一次方程 的解的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】A选项，把，代入方程，左边 右边，所以是方程
的解；B选项，把，代入方程，左边 右边，所以是方程的解；C选
项，把，代入方程，左边 右边，所以是方程的解；D选项，把
，代入方程，左边 右边，所以不是方程的解．故选D.
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关键点拨
二元一次方程 的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案.将4组数
分别代入方程，使方程左右两边相等的未知数的值才是方程的解．
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2.【四川眉山中考】已知关于,的二元一次方程组 的解满足
，则 的值为( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】，得， .
由，可得，解得 ，故选B．
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3.【四川雅安中考】已知是方程的解，则代数式 的
值为___.
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【解析】把代入，得 ，则原式
.故答案为1.
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4.【2024浙江中考】解方程组：
【解】得，解得，把 代入①得
，解得，所以原方程组的解是
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考点2 二元一次方程（组）的应用
5. 传统文化【2025四川南充中考】我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求
一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：
“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三 ，问物几何？”意思是有
一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个….问这些物体共
有多少个？设3个一数共数了次，5个一数共数了次，其中， 为正整数，依题
意可列方程( )
A
A. B. C. D.
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【解析】 每 3 个一数，数了次，剩余 2 个， 物体总数可表示为 .
又 每 5 个一数，数了次，剩余 3 个， 物体总数也可表示为 .由于物
体总数是固定的， ,故选A.
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6.【2025四川自贡中考】某小区人行道地砖铺设图案如图所示.用10块相同的小平
行四边形地砖拼成一个大平行四边形.若大平行四边形短边长 ，则小地砖短
边长( )
B
A. B. C. D.
【解析】设每块小平行四边形地砖的长边长为，短边长为 .由题意得
解得 则每块小平行四边形地砖的短边长为 ，故选B.
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7.【2024黑龙江齐齐哈尔中考】校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活
动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10
元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有( )
B
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
【解析】设购买8元的笔记本本，10元的笔记本本，依题意得 ，
整理得,均为正整数，或或 或
购买方案有4种，故选B.
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8.【2025广西中考】自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外
省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠.小悦一家5月
中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下:
湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
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（1）周六小悦一家从湖南 市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段
和其他路段的高速费原价分别为元、元和 元.求此行程的高速费实付多少元.比
原价优惠了多少元?（用代数式表示）
【解】此行程的高速费原价为 元，
实付 元，比原价优惠了
元.
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（2）周日他们从A市到市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从
市原路返回到A市，高速费实付95.95元.求此行程中A市与 市间广西境内特定路段
和其他路段的单程高速费原价分别是多少元.
【解】设此行程中A市与 市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分
别是元和 元.
由题意得
解得
故此行程中A市与 市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是
45.9元和55.1元.
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章测
一、选择题（共30分）
1.【2024山西阳泉期末】若是二元一次方程的解，则 的值为
( )
A
A.1 B. C. D.
【解析】把代入方程，得，解得 .故选A.
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2.【2025广东东莞期末】在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想研究二
元一次方程组的解.
已知二元一次方程组 如图，在同一个平面直角坐标系中
画出两个方程所对应的图象，根据图象可知，该方程组的解为
( )
C
A. B. C. D.
【解析】由两条直线的交点坐标为可知，该方程组的解为 故选C.
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关键点拨
二元一次方程对应的图象是一条直线，两条直线相交时，交点的坐标即为二元一
次方程组的解.
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3.【2024浙江金华期中】若方程是关于, 的二
元一次方程，则( )
D
A. B. C. D.
【解析】 方程是关于, 的二元一次方程，
,,,，解得， ，故选D.
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关键点拨
根据题意得出,,, 是解题的关键.
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4.解三元一次方程组 时，要使解法较为简便，应( )
C
A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常数
【解析】由方程组可知，第一个方程只含有, ，所以将第
二、第三个方程利用消元法消去，可得关于， 的二元一次方程，与第一个方程
联立为二元一次方程组先求出,的值，再求 的值,所以要使解法较为简便，应先
消去 ．故选C.
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5.【2025河南南阳期中】明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一
题其大意如下：隔墙听人分银子，若…；若 ，问人与银各多少？设共有人，
两银，可列出符合题意的二元一次方程组为 根据已有信息，题中用
“若…；若…”表示的缺失的条件应为( )
D
A.每人分4两，则多7两；每人分8两，则少9两
B.每人分4两，则少7两；每人分8两，则多9两
C.每人分7两，则少4两；每人分9两，则多8两
D.每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两
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【解析】对于方程，7可看作每人分的钱数， 表示分完后剩余的钱数，
即每人分7两，则多4两.对于方程，9看作每人分的钱数， 表示分的
时候缺少的钱数，即每人分9两，则少8两.用“若…；若…”表示的缺失的条件应
为每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两.故选D.
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6.【2025安徽芜湖质检】关于，的二元一次方程组 的解为正整
数，则所有满足条件的整数 之和是( )
C
A.3 B.5 C.8 D.11
【解析】 由②得，③ 把③代入①，得 ，
即.当时，；当时，；当时， ；当
时，,故所有满足条件的整数 之和为8.
故选C.
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7.如图，在长方形 中，放入六个形状、大小相同的小长方
形（即空白的长方形）.若， ，则一个小
长方形的面积为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设小长方形的长为，宽为 .由题意，得 解得
故一个小长方形的面积为 .故选B.
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8.【2024湖北武汉期末】用现代高等代数的符号可以将方程组 的系数
排成一个表，这种由数列排成的表叫作矩阵.矩阵 表
示关于，，的三元一次方程组，若为定值，则与 的关系为( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意得得 ,即
为定值， .故选D.
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9.【2025黑龙江牡丹江二模】某学习小组在研究数学问题时发现：方程
只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程 只有3组正整
数解, ,那么方程 的正整数解有( )
B
A.9组 B.28组 C.36组 D.45组
【解析】令，则的正整数解中 的值可以为2，3，4，5，
6，7，8，的正整数解有7组.又 的正整数解有1组；
的正整数解有2组；的正整数解有3组； 的
正整数解有4组；的正整数解有5组； 的正整数解有6
组；的正整数解有7组, 方程 的正整数解的组数为
.故选B.
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关键点拨
将两个未知数看成一个整体可减少未知数的数量.
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10.已知关于，的二元一次方程组 下列结论中正确的是( )
（1）当这个方程组的解，的值互为相反数时， ；
（2）当时，方程组的解也是方程 的解；
（3）无论取什么实数， 的值始终不变；
（4）若用表示，则 .
D
A.（1）（3） B.（2）（3）
C.（2）（3）（4） D.（1）（3）（4）
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【解析】关于，的二元一次方程组 ，得
，即.当方程组的解， 的值互为相反数，即
时，，所以 ，故（1）中的结论正确;原方程组的解满足
，当时，，而方程的解满足 ，
故（2）中的结论不正确;方程组解得
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所以，故（3）中的结论正确;
方程组
由方程①得,代入方程②得 ，整理得
，故（4）中的结论正确.故选D.
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二、填空题（共16分）
11.已知关于，的方程组的解是则 的值为
___．
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【解析】是方程组的解， 得
，.将代入①得， ，
.
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12.【2025河南郑州质检】一辆小汽车的牌照是豫 ，已知
，， ，那么牌照号码的后三位数是
_____.
241
【解析】令，，则.根据题意得 解得
，， ，因此，牌照号码的后三位数是241.故答案为
241.
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13.已知关于，的二元一次方程组是常数，若不论 取何
值，代数式是常数的值始终不变，则 ____.
【解析】 得
，即，， .
故答案为 .
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14.在某校举办的“筑梦少年正当时，不忘初心跟党走”知识竞赛中，七年级（2）
班2人获一等奖，1人获二等奖，3人获三等奖，奖品总价值为41元；七年级（7）
班1人获一等奖，3人获二等奖，3人获三等奖，奖品总价值为37元；七年级（13）
班5人获二等奖，3人获三等奖，奖品总价值为____元.
33
【解析】设每份一等奖奖品的价值为元，每份二等奖奖品的价值为 元，每份三
等奖奖品的价值为元.根据题意，得 ，得
.
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思路分析
设每份一等奖奖品的价值为元，每份二等奖奖品的价值为 元，每份三等奖奖品的
价值为元，根据题意即可得出关于，， 的三元一次方程组，进而可得出答案．
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三、解答题（共54分）
15.解方程组：
（1）
【解】，得 .③
，得,解得 .
把代入②，得,解得 .
则原方程组的解为
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（2）
【解】，得 .④
，得 .⑤
，得，解得 .
把代入④，得,解得 .
把，代入①，得,解得 .
则原方程组的解为
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16.【2024陕西渭南期末】综合与实践
如何设计购买方案
素材1 某班同学暑假要去某景区参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知该
景区有A、B两场历史演出活动，且购买2张A演出门票比购买1张B演出
门票多10元，购买5张A演出门票和3张B演出门票的费用一样多
素材2 要求A、B两场演出门票都要购买，且该班购买A演出的门票要多于B演
出的门票
任务解决
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任务1 确定演出门票价格
请分别求出1张A演出门票和1张B演出门票的价格
【解】设1张A演出门票的价格为元，1张B演出门票的价格为 元.
由题意得
解得
答:1张A演出门票的价格为30元，1张B演出门票的价格为50元.
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任务2 拟定购买方案
若购买门票的总预算为600元（全部花完），且要使购买门票的总数量尽量多，请
你设计一种最佳购买方案
【解】设购买A演出门票张，购买B演出门票张.依题意得 ，
，均为正整数，且，或 共有2种
购买方案.（张）， （张）,购买门票的总数量尽量多，
最佳购买方案为购买15张A演出门票，3张B演出门票.
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17. 跨学科综合 【2024广东珠海期末】综合与实践：如图（1）是一架自制
天平，支点固定不变，右侧托盘固定在点处，左侧托盘的点可以在横梁 段
滑动.已知，，，分别表示1个物体和1个
物体的质量.已知天平平衡时，左侧托盘物体质量右侧托盘物体质量 .
（不计托盘与横梁质量）
图（1）
图（2）
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（1）若左侧托盘固定在点处，如图（1）所示,天平平衡时，，则 ___；
3
【解】根据题意可得, ，
，故答案为3.
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（2）若右侧托盘放置1个的砝码，左侧托盘放9个物体和30个 物体，滑动
点到时，天平平衡，已知，为整数，求 的值；
【解】根据题意得，, 为整
数，，， .
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（3）测量小球的质量：如图（2）,右侧托盘放置2个 砝码，左侧托盘放入一
个小球和若干个物体，滑动点至点 ,此时天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中
加入相同数量的物体，发现点移动到 时，天平平衡.求这个小球的质量.
【解】设这个小球的质量为，若干个物体的总质量为 .
根据题意得
解得
答：这个小球的质量为 .
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