精品解析：山东省泰安市岱岳区2025-2026学年下学期八年级数学期中考试试卷

八年级数学练习题 一、选择题，下列每小题给的4个选项中，只有1项是最符合题意的，请将该项的字母写在题后的括号内（共10个题，40分，每小题4分） 1. 下列根式是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解． 【详解】解：A选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意； B选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选:A． 【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的性质． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．通过配方法将方程转化为完全平方形式，从而得出正确选项． 【详解】解： ∴（添加一次项系数一半的平方） 因此，配方结果为， 故选：B． 3. 已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（ ）． A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】把各选项的值依次代入计算即可得出答案． 【详解】解：A、当时，，与是同类二次根式，所以本选项符合题意； B、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意； C、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意； D、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，化成最简二次根式后的被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 4. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴，   故选：A ． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式乘除法法则，分别计算各选项即可判断． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算正确，符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意， 6. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形的性质判断即可，矩形和菱形具有平行四边形的所有性质，矩形的四个内角都是直角，对角线相等；菱形的四条边都相等，对角线互相垂直． 【详解】解：矩形和菱形的对角线都互相平分，邻角互补，菱形的对角线互相垂直且对角线平分一组对角，矩形的对角线相等，即矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：A． 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 8. 关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先将代入中求出，则一元二次方程化为，然后计算此方程的根的判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：把代入， ，解得， ∴一元二次方程化为， ， ∴一元二次方程没有实数解． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 9. 做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形与翻折的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据折叠的性质可得，，，再证明四边形是菱形，再由，再结合正方形的判定即可证明， 【详解】如图， 将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合， ，，， 又， ， ， ， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形， 故选：A 10. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 二、填空题（共5个题，每小题4分，共20分）． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得关于x的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 移项得， 系数化为得． 12. 已知为等腰三角形的两条边长，且满足，则此三角形的周长为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得x的值，进而求出y的值，然后根据三角形的三边关系进行检验，即可求解周长． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边长分别为2，2，4或4，4，2， ∵，， ∴等腰三角形的三边长分别为2，2，4不成立，三边长为4，4，2成立 ∴周长为． 13. 如图，在菱形中，已知，交于点E，且，则对角线的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，由，，利用勾股定理求出，求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：在菱形中，， ， 由，， ， ， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个相等的实数根，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， ， ． 整理得，． 解得． 15. 如图，在中，，，，点P为斜边上一动点，过点P作，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，当时，最小，利用三角形面积解答即可． 本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 【详解】解：解：连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小， ∵，， ∴， ∴的最小值为：． ∴线段长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题，共90分． 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的配方法和因式分解法是解题关键． （1）通过配方法将方程化为完全平方形式，再对等式两边同时开平方求出方程的解； （2）先移项，再提取公因式，将方程因式分解为两个一次式的乘积，再分别令两个一次式为求解即可． 【小问1详解】 解：已知， ， ， ， 则， 解得，． 【小问2详解】 解：已知， ， ， 则或， 解得，． 18. 如图，在菱形中，点E、F分别是上的点，连接，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质推出，证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，四边形是正方形，点G在上，于点E，，交于点F． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】通过正方形的性质得出相关角和边的关系，再结合垂直的性质得到角的等量关系，最后利用证明，从而得出对应边相等． 【详解】略 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根； （2）设该方程的两个根分别是、，若．求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程，即可求解，得到此时的一元二次方程为，再由因式分解法求解另一个根即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程的一个根是1， ∴将代入得，， 解得， ∴方程为 解得 ∴方程的另一个根为； 【小问2详解】 解：∵该方程的两个根分别是、， ∴， ∵ ∴， 解得， 而， ∴． 21. 如下图，的对角线相交于点是等边三角形，． （1）求证：是矩形． （2）求的长． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ． 四边形是平行四边形， ， ， 是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质． （1）先根据等边三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质得到，再根据等边三角形的性质得到，即，根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是矩形， ． 是等边三角形， ， ， ． 22. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… （1）观察以上规律，请写出第5个等式：______； （2）利用上面的规律，计算的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干等式即可求解； （2）先进行分母有理化，然后再合并同类二次根式，解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，第5个等式：； 【小问2详解】 解： ． 23. 定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根为和（），分别以为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． （1）求方程的“两根点”的坐标： （2）点是关于的一元二次方程的“两根点”．若点在直线上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出方程的解，根据方程的解写出“两根点”的坐标； （2）求出方程的解为，，分和两种情况求的值． 【小问1详解】 解：， 解得：，， ， 方程的“两根点”的坐标为； 【小问2详解】 解：， 分解因式可得：， 解得方程的两根分别为：和， 当时，即， “两根点”的坐标为， 点在直线上， ， 解得：； 当时，即， “两根点”的坐标为， 点在直线上， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ． 24. 【问题探究】 如图，正方形中，是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点．直角顶点在射线上移动，另一边交于． （1）如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程 （2）【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为______． 【答案】（1） 证明：过P作，如图所示： ∵P，C为正方形对角线上的点， ∴平分，， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2） ，理由如下， 过P作， ∴ ∵P，C为正方形对角线上的点， ∴平分，， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）过P作，先证明四边形为正方形，再证明，即可得到结论； （2）过P作，先证明四边形为正方形，再证明，从而可得结论． （3）连接，根据正方形的性质，对角线垂直和同角的余角相等，证明，即可得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：在P点运动的过程中，的长度不发生变化．理由如下： 如图，连接． ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）得：， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的长不发生变化，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习题 一、选择题，下列每小题给的4个选项中，只有1项是最符合题意的，请将该项的字母写在题后的括号内（共10个题，40分，每小题4分） 1. 下列根式是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（ ）． A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 4. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直且相等 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 8. 关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 9. 做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 10. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5个题，每小题4分，共20分）． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__． 12. 已知为等腰三角形的两条边长，且满足，则此三角形的周长为__． 13. 如图，在菱形中，已知，交于点E，且，则对角线的长为___________． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___． 15. 如图，在中，，，，点P为斜边上一动点，过点P作，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值为_______． 三、解答题，共90分． 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，在菱形中，点E、F分别是上的点，连接，，求证：． 19. 如图，四边形是正方形，点G在上，于点E，，交于点F． 求证：． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根； （2）设该方程的两个根分别是、，若．求的取值范围． 21. 如下图，的对角线相交于点是等边三角形，． （1）求证：是矩形． （2）求的长． 22. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… （1）观察以上规律，请写出第5个等式：______； （2）利用上面的规律，计算的值； 23. 定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根为和（），分别以为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． （1）求方程的“两根点”的坐标： （2）点是关于的一元二次方程的“两根点”．若点在直线上，求的值． 24. 【问题探究】 如图，正方形中，是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点．直角顶点在射线上移动，另一边交于． （1）如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程 （2）【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $