精品解析：河北石家庄市第二中学等校2025-2026学年高三下学期模拟联考数学试题

数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以该复数的实部与虚部之和为． 2. 已知函数的极值点为0，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用极值点的导数为0求解参数，注意检验. 【详解】， 因为，所以． 当时，由得，由得， 由得， 所以的极小值点为0，故． 3. 从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（ ） A. 32 B. 33 C. 34 D. 36 【答案】B 【解析】 【详解】从三棱台的9条棱中选2条的选法种数为，在三棱台中，共有3对棱平行，所以所求的选法种数为. 4. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】是定义域为的奇函数，可得， ，令，得， 令，得， 又函数为上的奇函数，故. 5. 某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为，曲线均是焦点到准线的距离为的抛物线的一部分，则该碗的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为. 设，易得， 则，所以该碗的高度为. 6. 已知等比数列的前项和为，且，则的公比为（ ） A. 3或 B. 3或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式和前项和的公式列出方程求解即可. 【详解】由等比数列的性质得． 由题可得， 得．由 得或， 所以的公比为3或 7. 已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 7 C. -3 D. -1 【答案】D 【解析】 【详解】取的中点，则. 圆心到的距离为，此时取得最小值，且最小值为3， 取得最小值，且最小值为.故的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（ ） A. 商品零售额同比增长速度的极差为 B. 商品零售额同比增长速度逐渐降低 C. 餐饮收入同比增长速度的分位数为 D. 餐饮收入同比增长速度的平均数小于 【答案】BC 【解析】 【详解】商品零售额同比增长速度的极差为，A错误． 商品零售额同比增长速度逐渐降低，B正确． 因为，所以由图可知餐饮收入同比增长速度的分位数为，C正确． 因为，所以餐饮收入同比增长速度的平均数大于，D错误． 9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 若的图象与的图象在上有公共点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合三角函数的图象与性质依次判断选项即可． 【详解】函数，，A正确． 由，得，所以的图象不关于直线对称，B错误． 由，得，得，所以在上的值域为C正确． 在上的图象如图所示，．易得．因为的图象与的图象在上有公共点，所以，即的取值范围为D正确． 10. 若首项为的数列满足，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 不存在，使得是递增数列 D. 在确定的情况下，点在一条直线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列的递推关系可得，，结合数列的性质依次判断选项即可. 【详解】由，得．两式相除整理得，得，得，得，A正确． 由，得，得．因为，所以是公差为的等差数列，B正确． 当时，，得，得是递增数列，C错误． 设，则，消去并整理得，所以在确定的情况下，点在一条直线上，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】因为， 则. 12. 已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义将转化为，进而得到的关系，即可求出的离心率. 【详解】 如图所示，设双曲线的左焦点为，连接. 因为两点关于原点对称，所以， 所以由双曲线的定义可得，即， 所以的离心率为. 13. 已知棱长为4的正四面体的各顶点均在球的球面上，为的中点，动点在球的球面上运动，且．记在平面上的射影为，则的轨迹长度为___________，的轨迹所围成的区域面积为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正四面体及外接球的性质，运用几何法求出外接球半径，进而求出点的轨迹长度，求出点所在平面和点所在平面的夹角余弦值，进而求出点的轨迹所围成的区域面积． 【详解】 如图，设在平面上的射影为，四面体的外接球的半径为， 则， 由得，解得， 为的中点， ， 又， 的轨迹是半径为的圆， 的轨迹长度为， 设的轨迹所在平面为，记平面与平面的夹角为， 平面的法向量，平面的法向量， 则， 的轨迹所围成的区域面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知的内角的对边分别为，且的面积为． （1）求； （2）若为钝角，且的周长为，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及面积公式化简即可求解； （2）利用余弦定理化简可得，结合周长关系求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得． 由的面积，得． 因为，所以或． 【小问2详解】 因为为钝角，由（1）知． 由余弦定理， 得 又，所以． 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增． 当时，在上单调递增，在上单调递减． 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）分，和三种情况讨论导数的正负即可求解. 【小问1详解】 ， 则． 因为， 所以，得． 又， 所以的方程为，即． 【小问2详解】 ． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 16. 如图，在四棱锥中，，底面是正方形，，分别为，的中点．过点的直线与平行，且． （1）证明：底面． （2）已知平面与平面的夹角为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若是上的一个动点，直线与平面所成的角为，证明：． 【答案】（1） 因为，，所以． 因为底面底面， 所以底面． （2）（Ⅰ） （Ⅱ）设，得， 则， 因为，函数在上单调递增， 所以要证，只需要证 即证． 因为，所以恒成立．故． 【解析】 【分析】（1）证明，结合线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别表示出各点坐标，求出平面与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可；（Ⅱ）设，利用线面角的空间向量法得到,结合正弦函数的单调性，将问题转化为证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，得． 设平面的法向量为， 则令，则，得． 易得平面的一个法向量为 则 故． （Ⅱ）略 17. 已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为． （1）求的方程. （2）已知点，过点且斜率为的直线与交于两点，过点且斜率为的直线与交于两点，分别为的中点，且. （I）若与重合，求． （II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（I）；（II）直线MN过定点. 【解析】 【分析】（1）根据以及经过的点，即可求解， （2）根据点差法，即可求解（I），联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据中点坐标公式可得的坐标，进而求解直线方程，即可求解（II）. 【小问1详解】 设，则，则的方程为. 因为经过点，所以，得. 故的方程为. 【小问2详解】 （I）设，由 得， 得，则，故. （II）直线.由，得. 由，得， 则， 因为，所以的坐标为. 同理可得的坐标为. 又 ， 所以直线MN的方程为. 因为， 所以直线MN过定点. 18. 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． （1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． （2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：． 设，则． 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，得，当且仅当时，等号成立． 令，得，则．① 设，则． 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得， 当且仅当时，等号成立． 令，得，则．② 由①②得， 所以， 即 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）（i）根据数学期望性质计算求解；（ii）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性，再应用累加法计算证明不等式. 【小问1详解】 甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同， 则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为． 【小问2详解】 （i）设表示在甲已获得第种类型的卡片后，获得第种类型卡片需要购买的玩具数，则． 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为， 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为， 依此类推，在甲已获得第种类型的卡片后，每次试验中获得第种类型卡片的概率为，则均服从几何分布， 所以． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知函数的极值点为0，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（ ） A. 32 B. 33 C. 34 D. 36 4. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为，曲线均是焦点到准线的距离为的抛物线的一部分，则该碗的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和为，且，则的公比为（ ） A. 3或 B. 3或 C. 或 D. 或 7. 已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 7 C. -3 D. -1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（ ） A. 商品零售额同比增长速度的极差为 B. 商品零售额同比增长速度逐渐降低 C. 餐饮收入同比增长速度的分位数为 D. 餐饮收入同比增长速度的平均数小于 9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 若的图象与的图象在上有公共点，则的取值范围为 10. 若首项为的数列满足，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 不存在，使得是递增数列 D. 在确定的情况下，点在一条直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 若，则__________. 12. 已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________. 13. 已知棱长为4的正四面体的各顶点均在球的球面上，为的中点，动点在球的球面上运动，且．记在平面上的射影为，则的轨迹长度为___________，的轨迹所围成的区域面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知的内角的对边分别为，且的面积为． （1）求； （2）若为钝角，且的周长为，求． 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； （2）讨论的单调性． 16. 如图，在四棱锥中，，底面是正方形，，分别为，的中点．过点的直线与平行，且． （1）证明：底面． （2）已知平面与平面的夹角为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若是上的一个动点，直线与平面所成的角为，证明：． 17. 已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为． （1）求的方程. （2）已知点，过点且斜率为的直线与交于两点，过点且斜率为的直线与交于两点，分别为的中点，且. （I）若与重合，求． （II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 18. 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． （1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． （2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $