精品解析：云南开远市第一中学校等校2026届高三下学期4月联考数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数的极值点为0，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用极值点的导数为0求解参数，注意检验. 【详解】， 因为，所以． 当时，由得，由得， 由得， 所以的极小值点为0，故． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】. 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 3. 如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（ ） A. 商品零售额同比增长速度的极差为 B. 商品零售额同比增长速度逐渐降低 C. 餐饮收入同比增长速度的分位数为 D. 餐饮收入同比增长速度的平均数小于 【答案】BC 【解析】 【详解】商品零售额同比增长速度的极差为，A错误． 商品零售额同比增长速度逐渐降低，B正确． 因为，所以由图可知餐饮收入同比增长速度的分位数为，C正确． 因为，所以餐饮收入同比增长速度的平均数大于，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 4. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增． 当时，在上单调递增，在上单调递减． 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）分，和三种情况讨论导数的正负即可求解. 【小问1详解】 ， 则． 因为， 所以，得． 又， 所以的方程为，即． 【小问2详解】 ． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 5. 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． （1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． （2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：． 设，则． 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，得，当且仅当时，等号成立． 令，得，则．① 设，则． 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得， 当且仅当时，等号成立． 令，得，则．② 由①②得， 所以， 即 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）（i）根据数学期望性质计算求解；（ii）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性，再应用累加法计算证明不等式. 【小问1详解】 甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同， 则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为． 【小问2详解】 （i）设表示在甲已获得第种类型的卡片后，获得第种类型卡片需要购买的玩具数，则． 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为， 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为， 依此类推，在甲已获得第种类型的卡片后，每次试验中获得第种类型卡片的概率为，则均服从几何分布， 所以． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数的极值点为0，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 3. 如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（ ） A. 商品零售额同比增长速度的极差为 B. 商品零售额同比增长速度逐渐降低 C. 餐饮收入同比增长速度的分位数为 D. 餐饮收入同比增长速度的平均数小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 4. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； （2）讨论的单调性． 5. 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． （1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． （2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $