精品解析：云南昆明市云南师范大学附属中学2026届高三适应性月考（十）数学试题

云南师大附中月考十试卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，得， 又，所以． 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程得到，结合离心率公式即可求解. 【详解】由双曲线方程得：，即，， 又，代入得，即， 所以双曲线离心率. 3. 已知是关于x的方程的一个根，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是方程 的根，  所以  ，化简得：   ， 整理得：   ， 所以，解得， 因此 . 4. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算将用表示，再利用平面向量的基本定理求得正确答案. 【详解】由，得， 则， 又，则，，所以. 5. 若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求解. 【详解】当时，由可得， 又关于的不等式在区间上有解，则， 令，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，所以， 故选：D. 6. 在二项展开式中，前三项的系数成等差数列，则实数的值是（ ） A. 或7 B. 2或7 C. 或14 D. 2或14 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式先求，再由等差中项即可求解. 【详解】令，得，由， 所以，， 因为成等差数列，所以， 所以，所以，即， 解得或. 7. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求函数定义域后分析函数为奇函数的条件，最后根据充分、必要条件判断即可 【详解】由，解得,即函数的定义域为，关于原点对称， 令，因为，所以为奇函数. 此时，则， 若为奇函数，则，即， 因为不恒为0，所以对所有成立，展开得，即. 若，则,,则为奇函数. 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 8. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设，则，根据椭圆的定义，可求得，，结合，可得，计算可得，从而可求出，由直线的斜率为，可求出答案. 【详解】如下图，连接，设，则， 因为，， 所以，， 在△中，，所以， 即，整理得， 所以， 所以直线的斜率为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆定义的应用、圆的性质及直线的斜率，解题关键是利用椭圆的定义，得出之间的关系，进而由，并利用勾股定理，可求出，进而可求出直线的斜率.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数的定义域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数符号法则判断A；利用扇形弧长、面积公式计算判断B；求出角的集合表达式判断C；利用正切函数求出定义域判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得， 解得，因此扇形的弧长为，B正确； 对于C，终边落在射线上的角集合为， 终边落在射线上的角集合为， 因此终边落在直线上的角的集合是，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的定义域为，D正确. 故选：ABD 10. 如图，四面体中，分别为，的重心，则（ ） A. 与可能平行 B. 平面 C. 若与均为等边三角形，则平面⊥平面 D. 若与均为等边三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，假设平行，推出矛盾，A错误；B选项，利用比例关系得到平行关系，得到线面平行；C选项，先得到线面垂直，进而证明面面垂直；D选项，在C基础上，根据锥体体积公式可得两者相等. 【详解】A选项，假设，因为平面，平面， 所以平面，但是与平面显然有交点，故假设不成立，A错误； B选项，如图，取的中点，连接， 因分别为，的重心，则分别过点，且， 所以，又因平面，平面，故平面，B正确； C选项，由B知，平面即为平面， 若与均为等边三角形，则⊥，⊥， 又，平面， 所以⊥平面，又平面，故平面⊥平面，C正确； D选项，易知，所以为等腰三角形， 过点作⊥于点，过点作⊥于点，则， 由C可知，⊥平面，又平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 同理可得⊥平面， 所以，， 又，，所以，D正确. 11. 甲､乙两人进行局羽毛球比赛(无平局)，每局甲获胜的概率均为.规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则( ) A. B. C. D. 单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，据此根据独立事件概率计算方法和二项式定理的性质可求P(n)，由此可判断ABC，判断P(n＋1)和P(n)的大小即可判断P(n)的单调性，从而判断D． 【详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，． ∵， 又， ∴， ∴，故C错误； ∴，故A正确；，故B错误； ∵，∴， 又∵， ∴，∴，即P(n)单调递增，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 轴被圆截得的弦长为_____. 【答案】 【解析】 【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到轴的距离为，则轴被圆截得的弦长为. 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，， 若，则， 而， 与矛盾，所以，， 所以， 则， 即 故答案为： 14. 已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为_______ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 三棱锥展开后为一等边三角形，设此此三角形的边长为．则，得．所以三棱锥的棱长为，可得棱长的高 设内切球的半径为，，得，所以 . 考点：1.空间几何的性质；2.球的体积公式. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式； (Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即，解得，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知, 所以； 当或者时，取到最小值. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 16. 已知函数是奇函数，的图象在处的切线方程为 （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在区间上有且仅有3个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质确定偶次项系数为0，结合切点处函数值和切线斜率为0进一步求解即可. （2）通过导数分析函数在给定区间的单调性、极值和端点值，结合图象判断与有3个交点时的取值范围即可. 【小问1详解】 的定义域为. 因为函数是奇函数，所以， 即 ，所以，， 则，求导得， 又的图象在处的切线方程为，所以，， 即，，联立解得，， 所以. 【小问2详解】 方程在区间上有且仅有3个不同的实根， 即与的图象在区间上有且仅有3个交点. 由（1）知，，令，即，解得或. ，在上随的变化列表如下： 1 2 / + 0 - 0 + / 0 单调递增 2 单调递减 单调递增 2 的简图如下： 结合图象可知，若与的图像在区间上有且仅有3个交点，则. 即方程在区间上有且仅有3个不同的实根时，. 故实数的取值范围为. 17. 一个袋子中有3个红球，3个绿球，这些球只有颜色不同．从袋中依次随机摸出2个球作为样本，设采用有放回和不放回摸球的两种方式摸球． （1）有放回摸球得到的样本中绿球的个数为X，求X的分布列与数学期望； （2）分别就有放回摸球和不放回摸球，所得样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 【答案】（1）X的分布列为： 0 1 2 数学期望； （2）有放回摸球对应概率为，不放回摸球对应概率为，不放回摸球的概率更大，说明相同样本量下，不放回抽样的估计精度更高，更适合用于总体参数估计. 【解析】 【分析】（1）判断有放回摸球时服从二项分布，计算各取值对应概率得到分布列，代入二项分布期望公式求期望. （2）将误差条件转化为绿球个数的取值范围，分别计算有放回、不放回摸球时对应概率，比较大小并说明实际意义. 【小问1详解】 由题得袋子中共有6个球，其中绿球3个，故每次有放回摸球时，摸到绿球的概率为. 的可能取值为0,1,2，且. ∵ ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 数学期望. 【小问2详解】 总体中绿球的比例为，样本中绿球比例为（为摸出的绿球个数），误差的绝对值不超过0.2等价于. 解不等式得，又为整数，故. ① 有放回摸球时，所求概率为. ② 不放回摸球时，服从超几何分布，，故所求概率为. ∵ ，故不放回摸球时误差绝对值不超过0.2的概率更大. 实际意义：相同样本量下，不放回抽样对总体比例的估计精度更高，更适合用于抽样调查中估计总体参数. 18. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的斜率为，，求的值； （3）记直线MN，AB的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线MN的方程 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合抛物线的定义即可求解； （2）设，设直线和直线的方程，分别联立方程组，结合韦达定理化简得到，再由抛物线的几何性质，得到，即可求解； （3）当直线的斜率不存在时，求得；当的斜率存在时，得到，且，求得，结合基本不等式，求得当时，取得最大值，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 当直线垂直于轴时，由点，可得， 因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 设， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 联立方程组，整理得，可得， 又由直线的斜率为， 且直线的斜率为， 所以， 直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，则. 【小问3详解】 设， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知，直线的斜率也不存在， 此时，则； 当直线的斜率存在时，由（2）知：， 则，且， 又由， 要使得取得最大值，则，此时均为锐角，所以， 由正切函数单调性知当最大时，取得最大值， 由时，，当且仅当时，等号成立， 所以，此时取得最大值， 又由的方程为，所以直线的方程为，即. 19. 如图，四棱柱的底面是正方形， （1）若平面平面ABCD，，，求异面直线和所成角的余弦值； （2）设为线段的中点，，2，…． （ⅰ）证明平面； （ⅱ）设四棱柱的体积为V，三棱锥的体积为，证明：． 【答案】（1） （2）（i）由 . 因为平面内存在点，满足， 故有. 又因为平面，平面， 所以平面. （ii）由（i）可知平面， 故. 所以. 【解析】 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可； （2）（i）由向量四则运算的几何意义得，平面内的存在点满足，有，再由线面平行的判定证明结论； （ii）由（i）结论，应用等体积法有，结合等比数列的前n项和公式求和，即可证. 【小问1详解】 因为平面平面，且底面是正方形， 如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴正方向建立空间坐标系. 由，，故是正三角形， 故， 所以，， 设异面直线和所成角为， 则. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中月考十试卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于x的方程的一个根，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在二项展开式中，前三项的系数成等差数列，则实数的值是（ ） A. 或7 B. 2或7 C. 或14 D. 2或14 7. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数的定义域为 10. 如图，四面体中，分别为，的重心，则（ ） A. 与可能平行 B. 平面 C. 若与均为等边三角形，则平面⊥平面 D. 若与均为等边三角形，则 11. 甲､乙两人进行局羽毛球比赛(无平局)，每局甲获胜的概率均为.规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则( ) A. B. C. D. 单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 轴被圆截得的弦长为_____. 13. 已知，，则______． 14. 已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 16. 已知函数是奇函数，的图象在处的切线方程为 （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在区间上有且仅有3个不同的实根，求实数的取值范围． 17. 一个袋子中有3个红球，3个绿球，这些球只有颜色不同．从袋中依次随机摸出2个球作为样本，设采用有放回和不放回摸球的两种方式摸球． （1）有放回摸球得到的样本中绿球的个数为X，求X的分布列与数学期望； （2）分别就有放回摸球和不放回摸球，所得样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 18. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的斜率为，，求的值； （3）记直线MN，AB的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线MN的方程 19. 如图，四棱柱的底面是正方形， （1）若平面平面ABCD，，，求异面直线和所成角的余弦值； （2）设为线段的中点，，2，…． （ⅰ）证明平面； （ⅱ）设四棱柱的体积为V，三棱锥的体积为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $