精品解析：重庆市江津中学校2026年九年级下学期第二次定时作业数学试题

江津中学初2026届初三（下）第二次定时作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 剪窗花是中国的传统民俗文化，下列窗花不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查2026年春节联欢晚会的收视率 B. 采访某晚点4小时的春运列车上乘客们的心情 C. 检测国产大飞机的零部件质量情况 D. 调查某批奥迪汽车的抗撞击能力 5. 如图，是的直径，E是上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某烷类有机化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 2026年1月，重庆新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将面积为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长（ ） A. 6 B. C. D. 5 10. 已知整式，其中为自然数，，，…，，均为正整数，且，下列说法：①当，，且为奇数时，满足条件的所有整式的和为；②若且为偶数时，满足条件的所有整式有且仅有3个．③当时，满足条件的所有整式有18个，其中正确的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 从拼音“jiangjin”的八个字母中随机抽一个字母，抽中字母j的概率为___________． 12. 如果一个多边形每个外角都等于，那么它的内角和是________． 13. 如图，在中，，将直角边绕点逆时针旋转至，连接，且，，三点共线，若，则的长为___________． 14. 若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 15. 如图，为的直径，弦于点，点为上一点，弧等于弧，过点作交于点，交于点．若，，则___________，___________． 16. 对于一个四位自然数，若其各数位数字均不为0，且满足；，则称这个数为“和谐数”．如数7436，且，是“和谐数”，则最大的“和谐数”为：___________；若为“和谐数”，将的千位和十位上的数字交换位置，百位和个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字和百位数字记为两位数，十位数字和个位数字记为两位数，若能被7整除，则满足条件的的最大值和最小值的差为____________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 计算：解不等式组，并写出该不等式组的偶数解． 18. 如图，已知四边形是正方形，中，，点在上，点、在上．、分别是、上的点，且于点 （1）用圆规和直尺作图：过点作的垂线，分别交、、于点，、．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）观察猜想，线段和的数量关系为，利用三角形全等证明这一猜想，把过程补充完整． 证明：四边形是正方形， ． ． ， 四边形是矩形（ ） ， ， ． 四边形是矩形． ，． __________． ， ， ， ， ． ____________． 在与中， ， ， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 从上学期起，我校食堂启用全新的管理、服务模式，为了解初一年级新生对新模式的满意程度，学校开展了满意度评分问卷调查．现分别从初一男生和女生中各随机抽取20名同学的问卷进行统计分析，满意度评分记为，共分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意．以下为部分相关信息： 抽取的男生评分数据中，“满意”等级包含的数据为：89，82，88，87，89，81； 抽取的女生的评分数据如下：70，70，79，80，81，84，85，86，86，87，87，90，95，95，95，95，98，98，99，100． 所抽学生对食堂满意度统计表 平均数 中位数 众数 男生 88 96 女生 88 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____________，_____________，_____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校初一男生、女生谁对学校食堂新管理、服务模式满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校初一年级共有800名学生，请估计其中对学校食堂新管理、服务模式非常满意的总人数． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： “百年弦歌，薪火相传；鼎山毓秀，几水涵芳”，在某中学迎来建校周年华诞之际，七年级一班学生自发定制画册与文化衫两类伴手礼，赠予返校校友留念．已知定制本画册和件文化衫共需元，定制本画册和件文化衫共需元． （1）定制一本画册、一件文化衫的单价分别为多少元？ （2）该伴手礼广受校友好评，学校决定加大定制规模以回馈校友．因对内容与品质提出更高要求，画册与文化衫的定制单价均有上调，其中每本画册增加的费用是每件文化衫增加费用的倍．最终，学校花费元定制的画册数量，是花费元定制的文化衫数的，求每件文化衫增加的费用． 22. 如图，已知平行四边形的周长为，，对角线，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿方向匀速运动；同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速运动，当点到达点后，两点同时停止运动，设点的运动时间为，的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，直接写出时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图是某校的部分平面展示图，为一教楼，体育馆在的正西方向，二教楼、图书馆均在的西北方向上，在三教楼的北偏东方向300米处，在的正东方向，在的正南方向150米处．（参考数据：） （1）求的长度（结果精确到个位）； （2）某一时刻，学生甲从三教楼出发，以1米每秒的速度前往图书馆；同时学生乙从一教楼出发，以2米每秒的速度慢跑去往体育馆．在行进过程中，求两人的连线第一次与的夹角为时所用的时间． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E；点F是直线上一动点，点G是y轴上一动点，连接，，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）点H是抛物线的顶点，连接，将抛物线沿方向平移，使平移后的抛物线经过点A，点是A点的对应点，点Q是新抛物线上的一点，且满足，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 25. 已知是的高，点E是平面内的一点． （1）如图1，点E在线段上，，，若，求的度数； （2）如图2，点E在线段的延长线上，的平分线与的延长线交于点F，连接、．若，，求证：； （3）如图3，，，，，点F是平面内一点，满足与互补，点E是直线上一点，将E点绕点A顺时针旋转90°得到点，当取得最小值时，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江津中学初2026届初三（下）第二次定时作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，且， 所以． 所以最小． 2. 剪窗花是中国的传统民俗文化，下列窗花不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是． 4. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查2026年春节联欢晚会的收视率 B. 采访某晚点4小时的春运列车上乘客们的心情 C. 检测国产大飞机的零部件质量情况 D. 调查某批奥迪汽车的抗撞击能力 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查的范围，精度要求，是否具有破坏性判断，全面调查适用于要求结果准确，无破坏性，且工作量可控的调查. 【详解】解：根据全面调查结果准确，但工作量大，抽样调查适合工作量大，或具有破坏性，不需要极高精度的调查. ∵A中调查春晚收视率，范围广，工作量大，适合抽样调查， ∴A不符合要求. ∵B中采访晚点列车乘客心情，不需要全面调查，抽样即可满足需求， ∴B不符合要求. ∵C中检测大飞机零部件质量，对精度要求极高，每个零部件都必须检查合格，适合全面调查， ∴C符合要求. ∵D中检测汽车抗撞击能力属于破坏性试验，不能对每辆汽车都检测，适合抽样调查， ∴D不符合要求. 5. 如图，是的直径，E是上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，于是得到，解答即可． 本题考查了圆周角定理，补角的定义，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 某烷类有机化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，找到规律是解题的关键．观察前面四种图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知前面四种氢原子的个数如下， 第1种：4个即， 第2种：6个即， 第3种：8个即， 第4种：10个即， 按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为， 故选C． 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用点在反比例函数图象上则坐标满足函数解析式的性质，将三点坐标代入解析式求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴把代入得，解得， 把代入得， 把代入得， ∵， ∴． 8. 2026年1月，重庆新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决连续降价问题．解题关键是连续两次降价且百分率相同时，最终价格等于原价乘以． 【详解】解：根据题意列方程，得 ． 9. 如图，将面积为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长（ ） A. 6 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形面积求出边长，再利用折叠的性质得到相关线段、角的等量关系，确定、、三点共线，通过勾股定理求出和的长度，再结合平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：∵正方形纸片的面积为， ∴， ∵沿折叠，点落在点处，沿折叠，点落在点处， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴，，三点共线． 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得 ∴ ∵，，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴在中，为斜边上的中线， ∴ 10. 已知整式，其中为自然数，，，…，，均为正整数，且，下列说法：①当，，且为奇数时，满足条件的所有整式的和为；②若且为偶数时，满足条件的所有整式有且仅有3个．③当时，满足条件的所有整式有18个，其中正确的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给定条件，对三个说法分别分类讨论，用枚举法逐一求解，即可判断正误． 【详解】解：①当，，为奇数时， ，且为正整数， 的可能取值为， 当时，不存在满足条件的正整数，故， 此时可取，对应的整式为和， 求和得， 故①错误； ②当，为偶数时，分类讨论： 时，，为偶数，符合条件，共1个； 时，，符合条件的正偶数，得整式，共1个； 时，，为偶数，得，整式，共1个； 时，需要至少3个不同正整数满足，且为偶数，不存在符合条件的整式； 总共有个，故②正确； ③当时，分类讨论： 时，共1个； 时，满足的正整数共4个； 时，满足的正整数组共6个； 时，满足的正整数组共4个； 时，满足条件的正整数组共1个； 时，无符合条件的整式； 总个数为，故③错误； 综上，正确的说法只有1个，正确个数为1． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 从拼音“jiangjin”的八个字母中随机抽一个字母，抽中字母j的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查古典概型概率的计算，解题关键是掌握古典概型概率公式，其中是所有基本事件的总数，是所求事件包含的基本事件个数，准确找出字母总数和字母的个数即可计算． 【详解】解：拼音“jiangjin”共有个字母，其中字母j共有个，根据古典概型概率公式可得，随机抽一个字母，抽中字母j的概率为． 12. 如果一个多边形每个外角都等于，那么它的内角和是________． 【答案】1080 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为求出多边形的边数，再利用多边形内角和定理计算内角和即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都等于， ∴多边形的边数为， ∴该多边形的内角和为． 13. 如图，在中，，将直角边绕点逆时针旋转至，连接，且，，三点共线，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】解题思路：先利用旋转的性质得到等腰，求出和的度数；再结合直角三角形的性质求出的长；接着通过角度计算证明为等腰三角形，得到的长；最后由、、三点共线，通过求出结果． 【详解】解：∵将直角边绕点逆时针旋转至，且，，三点共线， ∴，． ∴ ． ∵，， ∴． ∵ ， ∴ ． ∴． ∴ 14. 若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号化简方程组，求解得到的值，再估算无理数的大小得到整数，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：由 得 ， 根据绝对值的非负性得，即； 当时，， 代入 得 ， 整理得， 由得 ， 解得 ， 因此，代入 得， 将代入得：， 解得， 将代入得， ∵，∴， ∵ ，为整数， ∴， ∴ ． 15. 如图，为的直径，弦于点，点为上一点，弧等于弧，过点作交于点，交于点．若，，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由垂径定理可得，，则可证明，进而可证明得到，则；进一步证明，再由平行线的性质可推出，则，即可得到，；如图：过点F作于Q，则，证明得到，证明，利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图：过点F作于Q，则， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即，解得：． 16. 对于一个四位自然数，若其各数位数字均不为0，且满足；，则称这个数为“和谐数”．如数7436，且，是“和谐数”，则最大的“和谐数”为：___________；若为“和谐数”，将的千位和十位上的数字交换位置，百位和个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字和百位数字记为两位数，十位数字和个位数字记为两位数，若能被7整除，则满足条件的的最大值和最小值的差为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“和谐数”的定义可得出各数位上最大的数；分别求出，，，根据能被7整除列式并求出最大值和最小值，最后作差即可． 【详解】解：设这个四位数为，则， 当b最大为6时，a最大为9；c最大为4时，d最大为8，则最大的“和谐数”为； 根据题意得：，， ∴，，， ∴， ∵ ∴ ， ∵能被7整除， ∴能被7整除， 要使得N最大，则a最大，即b最大， 当b取最大数6时，能被7整除， 则c的最大值为2，则此时，即N的最大值为9624； 要使得N最小，则a最小，即b最小， 当b取最小数1时，能被7整除， 则c的最小值为1，则此时，即N的最小值为4112； ∴满足条件的的最大值和最小值的差为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 计算：解不等式组，并写出该不等式组的偶数解． 【答案】 不等式组的解集为，偶数解为 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，从而可得不等式组的偶数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的偶数解为：，． 18. 如图，已知四边形是正方形，中，，点在上，点、在上．、分别是、上的点，且于点 （1）用圆规和直尺作图：过点作的垂线，分别交、、于点，、．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）观察猜想，线段和的数量关系为，利用三角形全等证明这一猜想，把过程补充完整． 证明：四边形是正方形， ． ． ， 四边形是矩形（ ） ， ， ． 四边形是矩形． ，． __________． ， ， ， ， ． ____________． 在与中， ， ， ． 【答案】（1） 如图， （2） 有三个角为直角的四边形为矩形 ；；；． 【解析】 【分析】（1）根据题意过作的垂线即可． （2）根据题干信息逐步完善推理过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 从上学期起，我校食堂启用全新的管理、服务模式，为了解初一年级新生对新模式的满意程度，学校开展了满意度评分问卷调查．现分别从初一男生和女生中各随机抽取20名同学的问卷进行统计分析，满意度评分记为，共分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意．以下为部分相关信息： 抽取的男生评分数据中，“满意”等级包含的数据为：89，82，88，87，89，81； 抽取的女生的评分数据如下：70，70，79，80，81，84，85，86，86，87，87，90，95，95，95，95，98，98，99，100． 所抽学生对食堂满意度统计表 平均数 中位数 众数 男生 88 96 女生 88 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____________，_____________，_____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校初一男生、女生谁对学校食堂新管理、服务模式满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校初一年级共有800名学生，请估计其中对学校食堂新管理、服务模式非常满意的总人数． 【答案】（1） （2） 该校初一男生对学校食堂新管理、服务模式满意度更高， 理由：初一男生、女生满意度评分的平均数相同，男生的中位数和众数均高于女生的中位数和众数，说明男生整体评分更高，因此满意度更高． （3）人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义和已知各部分的占比和人数即可求出答案； （2）从平均数、中位数、众数等统计量入手进行分析； （3）用总人数乘以抽取学生中的非常满意的占比即可求出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得，满意的占比为，比较满意和不满意的总人数为（人），“满意”等级包含的数据从小到大排列为：81，82，87，88，89，89； 中位数为第个和第11个数据的平均数，即为 抽取的女生的评分数据中出现最多的是，共出现了4次，故， ，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：随机抽取20名男生的非常满意人数为（人） 随机抽取20名女生的非常满意人数为人， 则（人） 即估计其中对学校食堂新管理、服务模式非常满意的总人数为人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式的除法及整式的乘法，再算分式加减，得到化简结果，再计算a的值，最后将a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 21. 列方程解下列问题： “百年弦歌，薪火相传；鼎山毓秀，几水涵芳”，在某中学迎来建校周年华诞之际，七年级一班学生自发定制画册与文化衫两类伴手礼，赠予返校校友留念．已知定制本画册和件文化衫共需元，定制本画册和件文化衫共需元． （1）定制一本画册、一件文化衫的单价分别为多少元？ （2）该伴手礼广受校友好评，学校决定加大定制规模以回馈校友．因对内容与品质提出更高要求，画册与文化衫的定制单价均有上调，其中每本画册增加的费用是每件文化衫增加费用的倍．最终，学校花费元定制的画册数量，是花费元定制的文化衫数的，求每件文化衫增加的费用． 【答案】（1）定制一本画册单价为元，一件文化衫单价为元 （2）元 【解析】 【分析】（）设定制一本画册的单价为元，一件文化衫的单价为元，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设每件文化衫增加的费用为元，则每本画册增加的费用为元，调整单价后画册单价为 元，文化衫单价为 元，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设定制一本画册的单价为元，一件文化衫的单价为元， 由题意得，，  解得，  答：定制一本画册单价为元，一件文化衫单价为元； 【小问2详解】 解：设每件文化衫增加的费用为元，则每本画册增加的费用为元，调整单价后画册单价为 元，文化衫单价为 元， 由题意得，，  整理得，，  解得，  经检验是原分式方程的解， 答：每件文化衫增加的费用为元． 22. 如图，已知平行四边形的周长为，，对角线，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿方向匀速运动；同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速运动，当点到达点后，两点同时停止运动，设点的运动时间为，的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，直接写出时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 函数图象如图所示： 的最大值为（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）对于，与的面积之比等于与之比，从而求出的表达式．对于，分段分析，当时，点在边上时，作于点，容易判断，从而得到，计算得，进一步得到的表达式；当时，点在边上时，作于点，容易证明，计算得，进一步得到的表达式； （2）根据（1）中的表达式画出对应的函数图象，再结合图象写出性质即可； （3）结合图象估算两个函数的交点的横坐标，进而判断出时，的取值范围． 【小问1详解】 解：∵平行四边形的周长为， 又∵， ∴，， 根据题意，， ∴， ①当点在边上时， ∵， ∴， ∴， 如图，作于点， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在边上时，则，如图，作于点， 根据题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：由图可知，的最大值为（答案不唯一）； 【小问3详解】 由图可知，当或时，． 23. 如图是某校的部分平面展示图，为一教楼，体育馆在的正西方向，二教楼、图书馆均在的西北方向上，在三教楼的北偏东方向300米处，在的正东方向，在的正南方向150米处．（参考数据：） （1）求的长度（结果精确到个位）； （2）某一时刻，学生甲从三教楼出发，以1米每秒的速度前往图书馆；同时学生乙从一教楼出发，以2米每秒的速度慢跑去往体育馆．在行进过程中，求两人的连线第一次与的夹角为时所用的时间． 【答案】（1）米； （2）秒． 【解析】 【分析】（1）作于点F，于点G，根据进行解答即可； （2）如图，于点，交于点，设两人的连线第一次与的夹角为时所用的时间为．求出,,据此列方程并解方程即可． 【小问1详解】 解：作于点F，于点G，则，则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， 由题意可得，， ∴， 在中，， ∴ 即的长度为米； 【小问2详解】 如图，于点，交于点，则， 设两人的连线第一次与的夹角为时所用的时间为． 则, 则 则 由（1）可得， ∴， ∴ ∴, ∵ ∴ 解得 即两人的连线第一次与的夹角为时所用的时间为秒． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E；点F是直线上一动点，点G是y轴上一动点，连接，，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）点H是抛物线的顶点，连接，将抛物线沿方向平移，使平移后的抛物线经过点A，点是A点的对应点，点Q是新抛物线上的一点，且满足，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据点A坐标可得出含有a，b的抛物线解析式，再根据对称轴公式代入抛物线解析式求得a的值，进而得到b的值，从而求出抛物线解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意设，，，表示出，的表达式，从而得出的表达式为开口向下的二次函数，此时有最大值，得出当时，有最大值，求得点P的坐标；最后利用轴对称的性质求得的最小值为，通过两点间距离公式即可得解； （3）先求出平移后的抛物线解析式，再求出点的坐标，由抛物线的性质可得，，，从而，此时分情况讨论：①当点Q在下方时；②当点Q在上方时，根据不同的情况利用相似三角形的性质，直角三角形两锐角互余等求出相关直线的解析式并联立新抛物线解析式求出相关点坐标，最终可求得点Q的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于， 将代入得：， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即， 将代入， 得：， ∴， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵点C为抛物线与y轴交点， ∴令，， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 由题意知，设，，， ∴，， ∴， 当时，有最大值， ∴点P的坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，即， ∵点F是直线上一动点，点G是y轴上一动点， 如图，作点B关于直线的对称点，作点P关于y轴的对称点，连接,,，交y轴于点G，交于点F， ∵直线为， ∴， ∴， ∵，当且仅当点，G，F，四点共线时，有最小值，即的最小值为， ∴， 即的最小值为． 【小问3详解】 解：∵抛物线沿方向平移，且平移后的抛物线经过点A， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵点是A点的对应点， ∴， ∵，点H为原抛物线的顶点， 如图，连接，， 由抛物线的性质可得，， ∴， ∴， 联立新抛物线解析式与直线得： ，解得，， ∴,， ∴点，A为直线与新抛物线的两个交点， ∵点Q为新抛物线上的动点， 此时点Q分以下情况讨论： ①当点Q在下方时， 如图，延长交新抛物线于点， ∵， ∴， 由原抛物线可知，对称轴为， ∴， 设直线的解析式为， 将点H，A分别代入， 得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，得：， 解得，（舍去）， ∴； ②当点Q在上方时， 如图，作直线关于直线对称的线段，交新抛物线于点，作交于点M，交x轴于点N，延长交于点T，过点作交x轴于点K， ∴， 由对称的性质可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，N代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线直线的解析式，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点A，T代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立新抛物线解析式，得：， 解得：，（舍去）， ∴， 综上所述，点Q的坐标为或． 25. 已知是的高，点E是平面内的一点． （1）如图1，点E在线段上，，，若，求的度数； （2）如图2，点E在线段的延长线上，的平分线与的延长线交于点F，连接、．若，，求证：； （3）如图3，，，，，点F是平面内一点，满足与互补，点E是直线上一点，将E点绕点A顺时针旋转90°得到点，当取得最小值时，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点F作交的延长线于点M， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合等边对等角，线段和差关系得到，从而求得结果； （2）过点F作交的延长线于点M，通过导角利用三角形内角和定理，角平分线性质证得，，从而得出是等腰直角三角形，继而证得结论； （3）由已知条件可得点A，D，C，F四点共圆，从而得出点F的运动轨迹，再确定出点的运动轨迹是与夹角为的直线l，将直线l绕点A逆时针旋转得，过点B作交于点N，确定出，最后利用勾股定理和解直角三角形即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，点F是平面内一点，满足与互补， ∴， ∴点A，D，C，F四点共圆， ∴点F的运动轨迹是以为直径的圆， 如图，取的中点O，连接，，， ∵点E是直线上一点，将E点绕点A顺时针旋转得到点， ∴点的运动轨迹是与夹角为的直线l， ∵，， ∴， 如图，将直线l绕点A逆时针旋转得，过点B作交于点N， 在中，， ∴， ∴的最小值为点B到的垂线段距离，即，此时、、共线， ∵，， ， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， 当点，O，F三点共线时，有最大值， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $