精品解析：贵州遵义市第十五中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

遵义市第十五中学2026年春季学期第一次月考题目 年级：高一学科：数学 试卷总分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，且与平行，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“是幂函数且在上单调递减”（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. -2 8. Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 21h B. 36h C. 35h D. 32h 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中100位学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．则根据直方图可得（ ） A. B. 估计这100名学生成绩的平均分为73 C. 估计这组数据的第80百分位数为85 D. 若采用样本量比例分配的分层随机抽样从两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取1人，则此人成绩在区间的概率为 10. 下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数若，则________________. 13. 已知，则______. 14. 已知为内一点，且满足，则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分；期中15题13分，16､17题15分，18､19题17分；解答应在答题卡对应区域写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简 （2）若是第二象限角，且，求的值. 16. 甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. （1）求甲在本次挑战赛中获胜的概率； （2）求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 17. 在梯形中，，，与交于点，是线段的中点，连接与交于点.若，. （1）试用基底分别表示向量和； （2）若，求证：，，三点共线. 18. 如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，． （1）求的长． （2）求图中阴影部分的面积． （3）当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 19. 悬链线（Catenary）是一种曲线，指的是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软且不能伸长的链条，其在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为与之对应的函数称为双曲正弦函数，令. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）设. ①证明的值为定值，并求这个定值； ②把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解?若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第十五中学2026年春季学期第一次月考题目 年级：高一学科：数学 试卷总分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以与终边相同. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称量词命题求解． 【详解】命题“，”的否定是. 3. 已知，，且与平行，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，， 若与平行，则，解得. 4. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的概念求解. 【详解】. 由，解得，即. 故. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 所以，所以函数的零点所在的区间是. 6. “”是“是幂函数且在上单调递减”（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义及幂函数的定义和性质求解. 【详解】充分性分析：，， 是幂函数且在上单调递减，故充分性成立； 必要性分析：是幂函数，， ，，或， 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上可知，是幂函数且在上单调递减， 则或，故必要性不成立， 故“”是“是幂函数且在上单调递减”的充分不必要条件. 7. 已知，，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. -2 【答案】D 【解析】 【详解】由 ，得， 两边平方得：，即，故， 由及，可得， 所以， 联立，解得, 所以 8. Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 21h B. 36h C. 35h D. 32h 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可确定，继而将代入公式，即可求得答案. 【详解】根据题意，，当时，，代入公式，得， 所以当时，（h）． 故选：B. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中100位学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．则根据直方图可得（ ） A. B. 估计这100名学生成绩的平均分为73 C. 估计这组数据的第80百分位数为85 D. 若采用样本量比例分配的分层随机抽样从两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取1人，则此人成绩在区间的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由概率之和为1得到方程，求出；B选项，中间值作为代表求出平均数，得到B正确；C选项，先得到数据的第80百分位数位于，设为，得到方程，估计这组数据的第80百分位数为；D选项，由分层抽样的特征得到从两组抽取的人数分别为3人，2人，进而得到概率. 【详解】A选项，，解得，A正确； B选项，， 故估计这100名学生成绩的平均分为73，B正确； C选项，，， 故数据的第80百分位数位于，设为， 则，解得， 估计这组数据的第80百分位数为，C错误； D选项，，故从两组中抽取5人， 则从两组抽取的人数分别为人，人， 再从这5人中随机抽取1人，则此人成绩在区间的概率为，D正确. 故选：ABD 10. 下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用同角的正余弦的平方关系求解可判断A；利用正弦定义计算可判断B；利用诱导公式计算可判断CD. 【详解】对A，因为，所以的终边在一，二象限， 当的终边在一象限时，， 当的终边在二象限时，，故A错误； 对B，点，即，则故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：BD. 11. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于B，由，利用三点共线可得，即可判断；对于C，利用结合基本不等式“1”的妙用求解判断即可；对于D，由B知，利用,结合二次函数的性质即可判断. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，由A知，， 由于三点共线，可知，即，故B不正确； 对于C，由B知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故C正确. 对于D，由B知，, 所以， 所以时，，故D正确； 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数若，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】求出，再代入求值即可 【详解】因为，所以， 因为，所以且，得. 故答案为： 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据齐次式问题结合运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 14. 已知为内一点，且满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】延长到，使得，则，可推出点为重心，利用重心的性质即可解决两三角形面积之间的数量关系. 【详解】延长到，使得，则， 因为，则，所以点为的重心， 延长交于点，则为中点， 根据重心分中线比，， 又，则，，所以， 与在边上的高的比为， 所以，因此. 四､解答题：本题共5小题，共77分；期中15题13分，16､17题15分，18､19题17分；解答应在答题卡对应区域写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简 （2）若是第二象限角，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简即可； （2）由诱导公式化简求出，再由平方关系求出，代入即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，所以， 又因为是第二象限角，所以， . 16. 甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. （1）求甲在本次挑战赛中获胜的概率； （2）求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可； （2）写出投弹结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解. 【小问1详解】 设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投弹时击中，， 则，， 记“甲在本次挑战赛中获胜”为事件C，则 ， 所以甲在本次挑战赛中获胜的概率为. 【小问2详解】 记“挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟”为事件D， 则 ， 所以挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率为. 17. 在梯形中，，，与交于点，是线段的中点，连接与交于点.若，. （1）试用基底分别表示向量和； （2）若，求证：，，三点共线. 【答案】（1）， （2）证明:因为， 所以， 所以， ， 所以，即，，三点共线. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可； （2）利用向量的线性运算，得出，即可证明. 【小问1详解】 ， 设，其中， 因为， 所以， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 略. 18. 如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，． （1）求的长． （2）求图中阴影部分的面积． （3）当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3），的面积最小为 【解析】 【分析】（1）利用扇形的弧长公式求解即可； （2）过分别作和的垂线，垂足分别为，则图中阴影部分的面积等于，计算即可； （3）设，，根据可得，由结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 扇形的半径为60，， 则的长为； 【小问2详解】 过分别作和的垂线，垂足分别为， 所以，，，， 扇形的面积， ，， 矩形的面积 所以图中阴影部分的面积为， 【小问3详解】 设，， ，所以，即，则， 所以， ，当且仅当，即时取等， 所以， 所以当时，的面积最小，最小为 19. 悬链线（Catenary）是一种曲线，指的是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软且不能伸长的链条，其在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为与之对应的函数称为双曲正弦函数，令. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）设. ①证明的值为定值，并求这个定值； ②把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解?若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）是奇函数， 证明如下： 由题意得 ，定义域为，关于原点对称. 对任意，有：  . 因此是上的奇函数, （2）①证明：  . 故的定值为. ②存在，的值为1，2，3. 【解析】 【分析】（1）先确定的定义域，再根据奇偶性定义，计算并与比较，判断奇偶性. （2）①将和代入表达式，化简后证明其和为定值. ②先利用①的结论，将中的项两两配对求和，计算出的表达式；再化简，求其值域，最后根据不等式有解的条件，建立关于的不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ② 将区间等分为份，等分点满足， 由①得. 倒序相加得：，  ， 化简不等式左边：   ， 又，,由基本不等式， 当且仅当取等号（时无意义）， 故，因此： 且. 不等式有解等价于， 即：  ， 又为正整数，故存在满足条件的，值为1，2，3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $