第19章 大招专题4 正方形中的三种常考模型-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)

该初中数学课件聚焦八年级下册正方形中的“十字架”“对角互补”“半角”三种常考模型，通过母题引入（如辽宁抚顺期末题），先证明全等得出结论，再经大招解读抽象模型，最后子题变式应用，形成“具体问题-模型抽象-变式巩固”的学习支架，衔接全等三角形与正方形性质。 其亮点是以专题形式构建模型体系，母题解析培养几何直观（数学眼光），子题变式训练推理能力（数学思维），大招解读用“垂直即相等”等语言总结规律（数学语言）。如“十字架”模型从证明△ABN≌△DAM到推广线段关系，帮助学生构建知识网络，教师可高效突破难点，学生提升解题技巧与模型应用能力。

数 学 八年级下册 HK 1 2 3 第19章 四边形 4 大招专 题4 正方形中的三种常考模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招14 “十字架”模型 1.【2025辽宁抚顺期末，中】如图，正方形中，点，分别在， 上， 且，与相交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）求证： ； 【证明】 四边形是正方形， ， ，，即 . 在和中， . （2）求 的大小. 【解】由（1）知， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 大招解读 “十字架”模型 在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则 垂直. 简记：垂直即相等；相等即垂直. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 ①线段过顶点时，如图（1）.易证， . ②线段不过顶点时，如图（2），作, .易证 ，， 易得 . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 子题练变式 2.【2025吉林长春期末，中】如图，在正方形中，点，，， 分别在线 段，，，上，且.试猜想 的值，并证明你的猜想. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 【解】.证明：如图，过点作交于点 ，作 交的延长线于点， 易得， 四 边形是正方形， ， . ，, ， . 在和中， ，，即， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 思路分析 过点作交于点，作交的延长线于点 ，利用正方形的性 质得， ，结合已知条件证出 即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 3.【2025浙江宁波期末，中】 （1）如图（1），在正方形中，,相交于点,且,则和 的数量关系为_________. 【解析】 四边形为正方形，, , , , ， ， . 在和中， ，.故答案为 . 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （2）如图（2），在正方形中，,,分别是边,, 上的点， ，垂足为.求证： . 图（1） 【证明】如图（1），过点作于点，则四边形 为 矩形，.在正方形中，， . ， ， ， . 在和中， ， . 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 （3）如图（3），在正方形中，,,分别是边,, 上的点， ，，，将正方形沿折叠，点的对应点恰好与 边上的 点重合，求 的长度. 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 图（2） 【解】如图（2），连接，关于对称， . 过点作于点，过点作于点 ，则易知 .同（2）可得 ， ， ， .又 ， . 关键点拨 由正方形的性质得到三角形全等是解题关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 母题学大招15 对角互补模型 4.【2025广东珠海期中,中】如图，正方形和正方形 全等，边长均为 3，与交于点，正方形绕点旋转，交于点，交于 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 （1）在上述旋转过程中，判断与 有怎样的数量关系，并证明； 【解】.证明： 四边形是正方形，, ， , ， ,.在和 中， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 （2）四边形 的面积为_ _. 【解析】， ， ， 即 . ， .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 大招解读 对角互补模型 如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线， ， 分别交，于点，，且 ，，交于点 . 结论：；； 是等 腰直角三角形；④四边形的面积为正方形面积的 . 关键点拨 （2）由（1）得与全等，将四边形 的面积转 化为 的面积是本题解题关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 子题练变式 5.【2025安徽蚌埠期末，较难】如图，在正方形中，对角线， 相交于 点，是上的一个动点，连接,，作，交的延长线于点 ，以 和为邻边作，对角线，相交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 （1）连接，若，则____（用含 的代数式表示）； 【解析】如图（1）， 四边形是正方形，，即为中点. 以 和为邻边作，，即为中点，是 的中位 线，，，故答案为 . 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （2）证明： ； 图（2） 【证明】如图（2），过点作于点， 于 点， 四边形 是正 方形， ，平分，垂直平分 ， ，， 四边形 是矩形， ， ， ， 平分，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 在和中， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （3）若点为的中点，求 的值. 图（3） 【解】如图（3），过点作于点， 于点 .由（2）易知，四边形 是正方形， ， .设 ， 点为 的中点， ，， 由勾股定理得 ，， ， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 母题学大招16 半角模型 6.【2025广东韶关期中，中】【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于 较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过旋转或截长补短，将角的倍分 关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、 面积等问题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 【初步探究】如图（1），在正方形中，点,分别在边, 上，连接 ,,.若 ，将绕点顺时针旋转 ，得到 .易 证： . 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （1）根据以上信息填空： ①____ ； 【解析】 四边形是正方形， .由旋转得 ，，，，，， 共线. ，故答案为 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 ②线段，， 之间满足的数量关系为______________. 【解析】 . 在和中， ，， .故答案 为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【迁移探究】 （2）如图（2），在正方形中，若点在的延长线上，点在 的延长线 上， ，猜想线段，， 之间的数量关系，并证明. 图（1） 【解】.证明如下：如图（1），在 上截取 ，连接.在和 中， ，, ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 ，即 ， . 在和中， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 【拓展探索】 （3）如图（3），已知正方形的边长为,,分别在, 上， ，连接分别交，于点，，若点恰好为线段 的三等分 点，且，求线段 的长. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 图（2） 【解】如图（2），将绕点顺时针旋转 得到 ， 连接 四边形是正方形， , ， ， ， , .由旋转可得， ， , , ， , ， .又，， .设 ，则.在中， ， ，解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 图（1） 大招解读 半角模型 如图（1），在正方形中，,分别在,上， 分 别交,于，，若 ,则有以下结论： ；；平分, 平 分； ； 图（2） 如图（2），在正方形中，,分别在的延长线、 的延长 线上，若 ,则有以下结论：平分 ； . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 思路分析 （1）②根据旋转及正方形的性质得 ,可得 , ,共线.再证明,得出,进而可得出,, 之间的数 量关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 $