3.1不等式的意义 课件 2025-2026学年湘教版 数学七年级下册

3.1 不等式的意义 第3章 一元一次不等式（组） 2024湘教版数学七年级下册 授课教师：王文君 班 级：2506班 游戏名称：谁是“估价王” 30元 猜一猜这个马年陶瓷玩偶多少钱？它的价格在0-100之间。 游戏中的口语 数学含义 符号表示 数轴画法 “低了” 大于 x>a 空心圆圈向右 “高了” 小于 x<b 空心圆圈向左 “不低于” 大于或等于 x≥a 实心圆点向右 “不超过” 小于或等于 x≤b 实心圆点向左 O 0 新知探究 思 考 （1）如图所示，处于平衡状态的青蛙天平的左盘放上mg重的小青蛙、右盘放上质量为20 g重的小青蛙后，天平向左倾斜，问mg重的小青蛙的质量与质量为20 g重的小青蛙之间具有怎样的关系？ mg小青蛙的质量>20 g小青蛙的质量 m>20 mg重的小青蛙 20 g重的小青蛙 在探讨不等式意义的过程中，我们来看这样一个有趣的情境。在一个原本处于平衡状态的青蛙天平，当在天平的左盘放上mg重的小青蛙、右盘放上质量为20g重的小青蛙后，天平向左倾斜，请问mg重的小青蛙的质量与质量为20 g重的小青蛙之间谁重？如何用数学符号表示？mg小青蛙的质量大于20 g小青蛙的质量，用数学符号表示就是m＞20。这其实就是一个不等式的实例，它直观地展示了两个量之间的大小关系。 新知探究 s≥60t，且 s≤100t 思 考 （2）一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h，且不高于100km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km) 与行驶时间t (h) 之间的关系呢？ 现在我们来思考一个实际问题，一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h，且不高于100km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km) 与行驶时间t (h) 之间的关系呢？看到这个题目，我们立马想到路程等于速度乘以时间，路程是s,时间是t,速度等于60时，s=60t,速度不低于60，该用什么数学符号表示？大于等于，当速度等于100时，路程等于多少呢？s=100t 速度不高于100时，又该用什么数学符号表示呢？小于等于。所以这里的答案是s ≥ 60t，且 s ≤ 100t. 。 165>150，145<150，m>20，s≥60t，s≤100t 像这样，用不等号(>,<,≥,≤,≠)连接而成的式子叫作不等式. 特别提醒:不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子)不能随意交换. 仔细观察下列式子，读一读 符号 读法 实际意义 示例 > < ≥ ≤ ≠ 大于 大于、高出 小于 小于、不足 大于或等于(不小于) 不低于、至少 小于或等于(不大于) 不等于 不超过、至多 不相等 165 >155 145 <155 s ≥60t s ≤ 100t 1 ≠ 3 不等式中可以含未知数也可以不含未知数 我们来仔细观察这些式子。155cm小于165cm，155cm大于145cm，这是直观的长度大小比较。m大于20，这里的m是一个未知数，它代表的数值比20要大。而s ≥ 60t和s ≤ 100t，这两个式子体现了路程s与时间t之间的关系，s既要不小于60t，又要不大于100t。 像155>150、148<150、m>20、s≥60t、s≤100t、1≠3这类用不等号（>，<，≥，≤，≠）连接而成的式子，就叫做不等式。不等式既可以含未知数，也可以不含。要特别注意，不等号具有方向性，两边的数或式子不能随意交换，否则不等关系就可能改变。 再看这些不等号，“＜”表示小于，“＞”表示大于，“≥”表示大于等于或不小于，“≤”表示小于等于或不大于。这些不等号就像一个个小法官，清晰地判断着两边数值或式子的大小关系，让我们能准确把握数量之间的差异。 在数学里，不等关系的表达离不开一些特定词汇和符号。“大于”也可用“高出”表述，“小于”还能说成“不足”；“大于或等于”意味着“不小于”，也就是“至少”“不低于”；“小于或等于”即“不大于”，可理解为“至多”“不超过”；“不等于”就是“不相等”。 下列式子中，哪些是不等式？ ①5 >-3；        ②3a ≤  -1；          ③3x － 2； ④s = vt；        ⑤2x < x - 3；         ⑥2a2 - a=2； ⑦x2 ＋ 4 ≥ 0；   ⑧a2 ＋ b2 ≠ c2 . 练 习 现在来做个练习，判断下列式子哪些是不等式。判断的关键在于是否用不等号连接式子。像“5 > -3”用大于号连接，明显是不等式；“3a ≤ -1”用小于等于号连接，也属于不等式；“2x < x - 3”通过小于号连接式子，同样是不等式；“x² + 4 ≥ 0”用大于等于号连接，是不等式；“a² + b² ≠ c² ”用不等号连接，也是不等式。而“3x - 2”只是一个表达式，不是不等式；“s = vt”和“2a² - a = 2”是等式，并非不等式。 例题讲解1 用不等式表示下列数量关系： （1）a的5倍大于-7； （2）a与b的和的一半小于-1； （3）长、宽分别为b cm，c cm的长方形的面积小于边长为acm的正方形的面积. 5a>-7 bc<a2 解题关键： 1.抓关键词； 2.选准不等号 例1 接下来看几个用不等式表示数量关系的典例。第一，a的5倍大于 -7，这里关键在于理解“5倍”和“大于”，“a的5倍”就是5a，“大于”用“＞”表示，所以可表示为5a＞ -7。 第二，a与b的和的一半小于 -1，要先算出a与b的和，即a + b，再取其一半，就是(a + b)÷2 ，“小于”用“＜”，可表示为(a + b)÷2＜ -1。 第三，长、宽分别为b cm、c cm的长方形面积是bc cm²，边长为a cm的正方形面积是a² cm²，“小于”用“＜”，即bc＜a²。 解题时，一要抓关键词，像“大于”“小于”等；二要选准不等号。 巩固提高1 用不等式表示下列数量关系： （1）0大于-3； （2）x减去y不大于-4； （3）a的-2倍与-1的和是非负数； （4）a的½与b的平方的和为正数． 接下来进行巩固提高练习。这是用不等式表示数量关系。请同学们花2分钟的时间进行练习。好，时间到，我们一起来看看这位同学的答案，看看是否正确？ 作对的同学请举手示意。看来，用不等式表示下列数量关系掌握的还可以。 第一小问，x的某部分与x两倍的和是非正数，这意味着和小于等于0，我们要准确找到“和”以及“非正数”这两个关键信息来列不等式。第二小问，a与 -5 的差不大于a的8倍，也就是这个差小于等于8a。第三小问，a、b两数的平方和不小于它们积的两倍，即平方和大于等于积的两倍。 例题讲解2 已知一支圆珠笔1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元.小华带了50元，买了x支圆珠笔和10支签字笔，请用含x的不等式来表示小华支付的金额与50元之间的关系？ 分析： 1.x支圆珠笔需要支付_____元, 10支签字笔需要支付___________元,共需要支付__________________元. 2. “付50元仍找回若干元”代表支付金额少于50元. 解：1.5x＋(1.5＋2)×10<50. 即 1.5x＋35≤50 ① 1.5x (2＋1.5) ×10 1.5x＋(1.5＋2) ×10 例2 现在来看一个实际的例题。已知圆珠笔每支1.5元，签字笔比圆珠笔每支贵2元，小华带了50元，买了x支圆珠笔和10支签字笔。我们来分析如何用不等式表示支付金额与50元的关系。 先算费用，x支圆珠笔需支付1.5x元，10支签字笔需支付(2 + 1.5)×10元，那么总共要支付1.5x + (1.5 + 2)×10元。 因为付50元还能找回若干元，这意味着支付金额少于50元。所以可列出不等式1.5x + (1.5 + 2)×10 < 50，化简后就是1.5x + 35 ≤ 50。这就是我们根据题目条件得出的不等式。 x取值 不等式的值 根据生活常识可知，①式中x只能取正整数，于是 1.5×1＋35=36.5 1 1.5x＋35≤ 50 ① <50 ··· ··· 9 10 11 1.5×9＋35=48.5 1.5×10＋35=50 1.5×11＋35=51.5 < 50 >50 因此小华至多能买10支圆珠笔. 在之前的问题中，我们得到不等式1.5x + 35 ≤ 50。从生活实际出发，x代表圆珠笔的数量，所以x只能取正整数。 我们来逐个分析x不同取值时的情况。当x = 1时，1.5×1 + 35 = 36.5，36.5小于50；当x = 9时，1.5×9 + 35 = 48.5，48.5也小于50；当x = 10时，1.5×10 + 35 = 50，满足不等式；而当x = 11时，1.5×11 + 35 = 51.5，51.5大于50，不满足不等式。 由此可知，满足不等式的最大正整数x为10，所以小华至多能买10支圆珠笔。 例2中，如果小华带了60元，他至多能买多少只圆珠笔？ 1.5x＋（1.5＋2）×10 ≤ 60 解：由于小华带了60元，因此他买x支圆珠笔和10支签字笔支付的金额不超过60元，则有以下不等量关系: 即 1.5x＋35≤ 60 ② 做一做 我们接着探讨例2的拓展情况。若小华带了60元，要确定他至多能买多少支圆珠笔。 已知买x支圆珠笔需花费1.5x元，10支签字笔每支比圆珠笔贵2元，即每支3.5元，10支需35元，那么购买x支圆珠笔和10支签字笔的总金额就是1.5x + 35元。因为小华带的60元要覆盖这个支出，所以存在1.5x + 35 ≤ 60的不等量关系。这就是我们接下来要探究和解决的问题。 2026年湖南计划举办大型湖湘文化主题展，湘绣主题的钥匙扣深受市民和游客喜爱，小湘打算去官方旗舰店购买钥匙扣做纪念，钥匙扣一个36元，快递费6元，满268元包邮. (1)设购买钥匙扣 x 个时，满足包邮条件，请用含 x 的不等式表示不等量关系. (2)买7个钥匙扣，能满足包邮条件吗？买8个呢？请说明理由. 巩固提高2 36x≥268 当x=7时，36x=36×7=252，252<268，故不满足包邮条件； 当x=8时，36x=36×8=288，288>268,故满足包邮条件. ，那下面我们一起来看一个实际生活中的不等式问题。给同学们五分钟的时间，开始计时。2026年湖南举办大型湖湘文化主题展，湘绣钥匙扣很受欢迎，小湘打算购买。通过这个例子，我们能更好地理解如何用不等式解决生活中的实际问题。 课堂小结 不等式的定义 常见的不等式符号 列不等式 不等式的意义 作业布置 必做题 课本第58页 第 1、2 题 选做题 课本第58页 第 3、4 题 这是我们今天这节课的作业，学有余力的同学一定要尝试挑战，提升自己的数学水平。 次作业分为必做和选做两部分。必做题是课本第58页的第1、2题，这两道题是对课堂所学不等式知识的基础巩固，能帮助大家掌握用不等式表示数量关系等基本技能，务必认真完成，打牢知识基础。 选做题是课本第58页的第3、4题，有一定难度，它能进一步加深大家对不等式知识的理解和运用，锻炼大家的思维能力。学有余力的同学一定要尝试挑战，提升自己的数学水平。 01 03 数学源于生活， 服务与生活。 从生活到数学 抽象与推理 用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达生活。 02 底线与超越 用理性与智慧， 成为更优秀的自己。 Lavf58.46.101 $