精品解析：山东德州市夏津第一中学2025-2026学年高二下学期4月月考考数学试卷

2025-2026学年度高中数学4月月考考试卷 一､单选题 1. 设数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系求出. 【详解】数列的前项和，则. 故选：A 2. 已知变量关于的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与线性相关．现有一组数据如下表所示： 1 2 3 4 5 则当时，预测的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，可得出，求出、的值，将、的值代入，求出的值，可得出变量关于的回归方程，然后令，可得出的值. 【详解】令，由可得，如下表所示： 由表格中的数据可得，， 则有，解得，故， 当时，. 故选：C. 3. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 4. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A. B. C. 9 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 5. 已知曲线在点处的切线方程为，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得， 所以切线斜率， 所以，， 所以切点坐标为，代入得． 6. 若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 7. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 8. 若函数的图象在上存在平行于轴的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等同于其导数在该区间有零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得. 【详解】， 因为函数的图象在上存在平行于轴的切线，说明其导数在内有零点， 即方程在内有解， 令，则在有解， 分离参数可得， 令，则， 所以，则， 即， 所以的取值范围是. 二､多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 B. 若所有样本点都在经验回归方程上，则变量间的相关系数是． C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 D. 甲､乙两个模型的决定系数分别约为0.95和0.7，则模型甲的拟合效果更好 【答案】ABD 【解析】 【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求得，可判定A正确；根据相关系数的定义，可判定B正确；根据独立性检验的定义，可判定C错误；根据相关系数绝对值越大，拟合效果越好，可判定D正确. 【详解】对于A选项，将样本中心点代入回归方程为， 可得，解得，所以A正确； 对于B选项，若所有样本点都在经验回归方程上，则变量间的相关系数是，所以B正确； 对于C选项，在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，所以C错误； 对于D选项，根据决定系数的含义知：决定系数越大，模型拟合效果越好， 由，所以模型甲的拟合效果更好，所以D正确. 10. 已知数列满足，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的前项和为 D. 能被3整除 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用构造法得到数列是等比数列，从而求得通项，就可以判断选项，对于数列求和，可以用分组求和法，等比数列公式求和完成，对于幂的整除性问题可以转化为用二项式定理展开后，再加以证明. 【详解】由可得：，所以数列是等比数列，即， 则显然有，所以不成等比数列，故选项A是错误的； 由数列是等比数列可得：，即，故选项B是正确的； 由可得：前项和，故选项C是正确的； 由 ，故选项D是正确的； 方法二：由，1024除以3余数是1，所以除以3的余数还是1，从而可得能补3整除，故选项D是正确的； 故选：BCD． 11. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 对于已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为4 D. 设函数导函数为，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A.利用导数公式求解判断；B.利用复合函数的导数求解判断；C.利用平均变化率的定义求解判断；D.利用导数运算法则求解判断. 【详解】A. ，故错误； B.若，则，故错误； C. 函数，则该函数在区间上的平均变化率为，故正确； D.因为函数导函数为，且，所以， 则，解得，故正确； 故选：CD 三､填空题 12. 数列中，满足，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和. 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若，且，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性和单调性，结合函数性质可得的取值范围. 【详解】因为，其定义域为， 所以， 且， 因为  且 ，所以  所以函数为奇函数且为增函数，. 由，可得， 即， 所以，解得：， 则m的取值范围是 14. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，且，都有， 所以，即， 所以在上单调递增， 又， 所以对所有恒成立， 所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． 四､解答题 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）先代入确定函数，再求导确定切线斜率，最后结合点斜式方程即可写出切线方程； （2）先对函数求导，再根据的范围讨论导数的正负，从而确定单调区间. 【小问1详解】 当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 16. 下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 年销售量у（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数） （2）为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表． 知晓 不知晓 合计 A地区 80 20 100 B地区 40 60 100 合计 120 80 200 试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平） 附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式； 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）在犯错误的概率不超过0.05 的前提下，认为A、B两地区的人群对该品牌净化的知晓情况有显著差异 【解析】 【分析】（1）计算出样本中心以及回归系数和，即可求解； （2）利用列联表中的数据，代入公式计算观测值，并与临界值3.841进行比较，从而判断两个分类变量是否有关. 【小问1详解】 由表可知，样本中心 为： . .则 . 所以，净化器的年销售量 关于年份代码 的线性回归方程为：. 【小问2详解】 根据 列联表中的数据，计算 的观测值： . 因为 ， 所以，在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为 A、B 两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异. 17. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1） 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 18. 甲､乙两个容器中分别盛有浓度为的某种溶液，同时从甲､乙两个容器中取出溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，经次调和后，甲､乙两个容器的溶液浓度分别为． （1）试用表示． （2）证明：数列是等比数列，并求出的通项． 【答案】（1） （2）由（1）知，， 可得， 所以数列是等比数列； 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，，即可求解； （2）由（1）得到可得，得出数列是等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，经次调和后甲､乙两个容器中的溶液浓度分别为， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 可得， 所以数列是等比数列 因为，所以①， 又因为②． 联立①②得． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解； （2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； （3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性 【小问1详解】 当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. 【小问2详解】 由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高中数学4月月考考试卷 一､单选题 1. 设数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知变量关于的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与线性相关．现有一组数据如下表所示： 1 2 3 4 5 则当时，预测的值为（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A. B. C. 9 D. 16 5. 已知曲线在点处的切线方程为，则 A. B. C. D. 6. 若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8. 若函数的图象在上存在平行于轴的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 B. 若所有样本点都在经验回归方程上，则变量间的相关系数是． C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 D. 甲､乙两个模型的决定系数分别约为0.95和0.7，则模型甲的拟合效果更好 10. 已知数列满足，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的前项和为 D. 能被3整除 11. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 对于已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为4 D. 设函数导函数为，且，则 三､填空题 12. 数列中，满足，，则______． 13. 已知函数，若，且，则m的取值范围是______． 14. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 四､解答题 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 16. 下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 年销售量у（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数） （2）为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表． 知晓 不知晓 合计 A地区 80 20 100 B地区 40 60 100 合计 120 80 200 试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平） 附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式； 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 18. 甲､乙两个容器中分别盛有浓度为的某种溶液，同时从甲､乙两个容器中取出溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，经次调和后，甲､乙两个容器的溶液浓度分别为． （1）试用表示． （2）证明：数列是等比数列，并求出的通项． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $