精品解析：四川达州市达川中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

四川达州市达川中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 已知向量，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列说法中不正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位得到的图象，则为偶函数 6. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的实部为25 B. 若，则的虚部为 C. 若为实数，则 D. 若为纯虚数，则 10. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 11. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则＝______. 13. 如图，在四边形中，，，，，，则的面积为__________． 14. 如图，在中，为边上的中线，为的中点，若，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 可知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知平面内三点，，. （1）若三点共线，求的值. （2）当时，线段上的点满足，求的值. 17. 在中，已知内角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，求的周长. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. （1）若，，求的值； （2）当时，求的最小值. 19. 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川达州市达川中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4. 已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由与的夹角为钝角得，且不共线，再按照向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，，且与夹角为钝角， 由上述条件得，，且，不反向， 由得，，. 当，共线时有，，.此时，反向， 因此实数的取值范围. 故选:D. 5. 已知函数，则下列说法中不正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位得到的图象，则为偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式对进行化简，结合正弦型函数的周期性、对称性、单调性、奇偶性及函数图形平移逐项判断即可. 【详解】. 对于A：的最小正周期为，A正确. 对于B：令，，则，， 即的对称轴为，. 当时，，B正确. 对于C：令，，则，， 所以的单调递增区间为，，C错误. 对于D：，为偶函数，D正确. 6. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的充要条件得解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：B 7. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设两个向量的夹角为，则， 所以向量在向量方向上的投影数量为， 所以投影向量为. 8. 在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理与勾股定理得是直角三角形，进而可以建立直角坐标系，根据点的坐标得向量的坐标，由向量的坐标运算可得的表达式，进而利用三角函数求最值即可. 【详解】因为在中，，，， 由余弦定理得， 所以，则，所以， 故以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ， 易得，则，， 设的坐标为，则， 又， 所以， 则，得，， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，利用向量的线性运算法则得到的关系式，从而利用三角函数的性质得解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的实部为25 B. 若，则的虚部为 C. 若为实数，则 D. 若为纯虚数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D. 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 10. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给线段长度关系判断A，建立平面直角坐标系，利用坐标运算判断B，根据三点共线判断C，利用向量的坐标运算求向量夹角判断D. 【详解】， ，故A错误； 以为原点，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，则， 则， ，故B正确； ， 三点共线，，即，故C正确. ， ， ， ， ， ，故D正确. 11. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可. 【详解】对A，由正弦定理将边化角得， 即，所以为等腰三角形； 对B，因为， 所以， 所以，整理得， 又，所以，即，所以为等腰三角形； 对C，， 所以，整理得， 所以或，即是直角三角形或等腰三角形； 对D，， 当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立， 此时为等腰三角形. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则＝______. 【答案】## 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算化简，即可求出，即可得出答案. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为： 13. 如图，在四边形中，，，，，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系及三角形面积公式求解即可. 【详解】在中，，所以. 由正弦定理得，，所以. 在中，由余弦定理得， 又，所以. 所以. 14. 如图，在中，为边上的中线，为的中点，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的运算，求得的表达式. 【详解】． 故． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 可知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正切函数二倍角公式及两角和正切公式即可求解； （2）由正弦函数、余弦函数二倍角公式，及弦化切即可求解. 【小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 由正弦、余弦二倍角公式得： ． 由于，则， 所以， 即. 16. 已知平面内三点，，. （1）若三点共线，求的值. （2）当时，线段上的点满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，结合向量共线的坐标表示运算求解即可； （2）设，可求，，根据求，进而可求数量积. 【小问1详解】 因为，，，则，， 由三点共线得，则，解得. 【小问2详解】 当时，点， 设，则，， 因为，则，解得，即， 则，且，所以. 17. 在中，已知内角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，然后结合三角函数的公式求解即可； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理， 可得， 结合， 由， 得， 化简可得. ， ，即. 又. 【小问2详解】 由的面积为，结合（1）可得， 在中，由余弦定理可得， ， 或（舍去）， 的周长为. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. （1）若，，求的值； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出，再在中用正弦定理求出，最后用二倍角公式计算 （2）利用三角形面积关系得到与、的关系，再结合余弦定理和基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由正弦定理，将化为， 整理得： 因为，所以，即. 由于，，得，则. 设，在中，由正弦定理， 代入、，得：. 因为是角平分线，，由二倍角公式：. 【小问2详解】 因为是角平分线，，. 由面积关系，得： 化简可得：即. 在中，由余弦定理，代入和， 得： 将代入上式： 整理得： 由基本不等式，得， 代入上式： 当且仅当时取等号，故的最小值为. 19. 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】（1）． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间； （2）（ⅰ）由，得，由正弦定理可知； （ⅱ）由正弦定理和面积公式得，利用△ABC为锐角三角形，得角的范围，由正弦函数的性质，得△ABC面积的取值范围． 【小问1详解】 ， 由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得， 所以． 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 （ⅰ）已知，由，得， 由正弦定理，得，， 所以； （ⅱ）由（ⅰ）可知，， ， 由△ABC是锐角三角形，有，得，， 则，所以， 即面积的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $