2026年江苏省苏州市中考数学第二次模拟考试仿真练习卷

**基本信息** 2026年中考数学二模卷以“天宫课堂”“西游文化”等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题的梯度设计，考查中心对称、函数综合、几何探究等知识，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称图形、科学记数法、概率（天宫课堂项目）|结合科技热点，基础概念辨析| |填空题|8/24|二次函数“优点”问题、圆与直线相切、坐标系中点最值|创新定义与动态几何结合| |解答题|11/82|概率（西游卡片）、测量旗杆高度、抛物线综合、折叠探究（双等腰折痕）|文化传承、实践应用、分层探究（折叠问题三问）|

2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该选项是中心对称图形，符合题意； B. 该选项不是中心对称图形，不符合题意； C. 该选项不是中心对称图形，不符合题意； D. 该选项不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2．红细胞，也称为红血球，是血液中数量最多的血细胞，主要功能是运输氧气和部分二氧化碳．人体红细胞的直径约为米，将用科学记数法表示（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解；． 故选：B． 3．某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，利用空间想象能力是解题的关键． 根据三视图并结合题意，对选项逐一分析，进行判断即可． 【详解】A、该几何体的主视图和俯视图符合题意，故此选项正确； B、该几何体的主视图为矩形，故此选项不正确； C、该几何体的俯视图右侧应为三角形，故此选项不正确； D、该几何体的主视图下层为一个矩形，上层为两个矩形，故此选项不正确． 故选：A． 4．“天宫课堂”第二课3月23日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵共有6个项目，其中试验项目有4个， ∴恰好选到“实验”项目的概率是． 故选C． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，理解题意是解题的关键． 5．如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据得到，根据“两直线平行同旁内角互补”得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C． 6．甲乙两人开车同时从地出发，以各自的速度匀速向地行驶，甲先到地并停留半小时后按原路以另一速度匀速返回，与乙相遇后两人停止．设甲乙两人相距的距离为（单位：），乙行驶的时间为（单位：），与之间的对应关系如图所示．已知乙的速度为，则下列结论中，不正确的是（    ） A．、两地相距 B．点的坐标为 C．甲去时的速度为 D．甲返回的速度是 【答案】C 【分析】首先根据题意解方程得出甲车去时的速度，然后根据题意求得A、B两地的距离即可判断A、C的正误；根据两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数关系及乙车的速度为每小时60千米可得出D的坐标即可判断B的正误；根据题意列出方程，通过解方程得出甲车返回的速度即可判断D的正误． 【详解】解：设甲去时的速度为xkm/h，根据题意得：2（x-60）=185， 解得：x=152.5， 由于152.5×2=305， 故A、B两地相距305千米；所以选项A正确，选项C不正确； ∵甲车先到达B地，停留半小时后按原路以另一速度匀速返回， ∴D的横轴应为2.5； ∵乙车的速度为每小时60千米， ∴半小时后行驶距离为30km，故纵轴应为185-30=155； ∴点D的坐标（2.5，155）；所以选项B正确； ∵甲车去时的速度为152千米/时；设甲车返回时行驶速度v千米/时， ∴（v+60）×1=155， 解得v=95． 故甲返回的速度是95千米/时．所以选项D正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，解答要注意数形结合思想的运用． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，点A的坐标为，点D的坐标为．若双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质求得B、C的坐标，然后把B、D的坐标分别代入求得k的值，即可求得k的取值范围． 【详解】∵菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，点A的坐标为，点D的坐标为． ∴设点B的坐标为，点C的坐标为． ∴AC中点坐标为，BD中点坐标为， ∵AC、BD互相平分， ∴，解得， ∴点B的坐标为，点C的坐标为． 当双曲线过D点时，，， 当双曲线过B点时，，， 当双曲线与直线BC只有一个交点时， ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴直线BC解析式为：， 联立，整理得， ∴，解得， 此时交点坐标为在线段BC上， ∴若双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围为． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据菱形的性质求得B、C的坐标是解题的关键． 8．如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， ∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小 ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解：_____________． 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 将化为，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】． 故答案为：． 10．我国的《全民阅读促进条例》已经于年月日正式实施．某校团委会为了解本校学生一个月内的课外阅读量，随机抽取了名学生进行调查，具体信息如下表所示．则对于这组学生的课外阅读量的众数是________本． 阅读数量（本） 学生数量（个） 【答案】 【分析】本题考查的是众数，理解众数的定义是解题的关键．根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数，即可得到这组学生课外阅读量的众数． 【详解】解：由表格可知，阅读数量为本的学生人数最多，为人，因此这组学生课外阅读量的众数是． 故答案为：． 11．已知一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小． 【详解】解：一次函数中，， 随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 12．已知，，是方程的两个实数根，则______． 【答案】2026 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系中两根之和的公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC，BD，相交于点O，CE平分交BD于点E，则__________． 【答案】 【分析】由正方形对角线相交于点O，则DO⊥CO，DO=BD，过点E作EF⊥CD于F，设EO=EF=DF=x，则DE=，列出方程，解出x，最后得出答案． 【详解】如图所示，过点E作EF⊥CD于F， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AC=BD=，DO⊥CO， ∴OA=OC=OB=OD=， ∵CE平分∠ACD交BD于点E， ∴EO=EF， ∵在正方形ABCD中，∠ADB=∠CDB=45°， ∴EF=DF， 设EO=EF=DF=x，则DE= ∵OD=OE+DE=， ∴解得 ∴DE=OD-OE=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与角平分线的性质，解题的关键是根据角平线的性质作出辅助线． 14．已知实数，若函数图象上存在点，则称该函数的图象存在“优点”，若二次函数的图象上不存在“优点”，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，判别式的应用，结合“优点”的定义，先建立新方程，因为二次函数的图象上不存在“优点”，所以，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 整理得， ∵二次函数的图象上不存在“优点”， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 15．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么______秒种后与直线相切． 【答案】4或8 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质． 分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作于，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作于，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在射线时，与相切，如图， 过作于， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒； 当点在射线时，与相切，如图， 过作与， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒． 故答案为4或8． 16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，以为边作等边，过点作于，连接，可证，得到，可知当有最小值时，有最小值，根据垂线段最短知当轴时，有最小值，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边，过点作于，连接， ∵点的坐标为， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 当轴时，有最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，先化简各数，再进行加减运算即可．掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解： ． 18．解方程组：． 【答案】 【分析】该题考查了解二元一次方程组，根据加减消元法解答即可． 【详解】解：， 整理得， 得， 解得， 将代入①得， 故方程组的解为． 19．先化简，并从，，，中选择一个合适的数字代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键：先根据分式混合运算顺序和运算法则将原式化简得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值即可．也考查了分式有意义的条件． 【详解】解： ， ∵且， ∴， ∴原式． 20．如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净． 现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片．求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为_____； (2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等可能事件的概率公式计算即可． （2）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到两次取出的张卡片中至少有张图案为“唐僧”的次数，计算即可. 【详解】（1）解：第一次从张卡片中取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为； （2）解：根据两次取出张卡片，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次取出的张卡片中有张图案为“唐僧”的结果共有7种. ∴两次取出的张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率为． 21．如图，在和中，，，，点在线段上，，交于点，连结． (1)求证：平分． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）先证明，得出，由得出，可得，即可得证； （2）根据等边对等角以及三角形内角和定理，得出，进而证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分． （2）∵，，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计表： 身高情况分组表 组别 身高（） 根据图表提供的信息，回答下列问题： (1)抽取的样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组； (2)抽取的样本中，女生身高在组的人数有多少人？ (3)已知该校共有男生840人，女生820人，请估计身高在组的学生人数． 【答案】(1) (2)2人 (3)估计身高在组的学生约有415人 【分析】本题考查的是频数分布直方图以及扇形统计图的应用，掌握用样本估计总体的方法，正确读懂扇形统计图的信息，理解中位数和众数的概念是解此题的关键． （1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可； （2）先求出女生身高在组的百分比，再求出总人数然后计算即可； （3）确定男、女学生身高在之间的百分比即可． 【详解】（1）解：∵直方图中，组的人数为12，最多， ∴男生的身高的众数在组， 男生总人数为：，按照从低到高的顺序，第20，两人都在组， ∴男生的身高的中位数在组， 故答案为：； （2）解：女生身高在组的百分比为：， ∵抽取的样本中，男生、女生人数相同， ∴样本中，女生身高在组的人数有：（人）； （3）解：， ∴估计身高在组的学生约有415人． 23．在综合与实践课上李老师准备了测角仪，如图1，要求同学们在教学楼完成测量校园内旗杆高度的实践任务． (1)如图2，小红在教学楼二层走廊上的点处，利用测角仪测得旗杆顶部处的仰角为，测得旗杆底部处的俯角为．已知李老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离为．请用小红所测得的数据求旗杆的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） (2)小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部处的仰角为，则他由此计算出旗杆的高度为．通过与（1）中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了，请你帮小明分析一下原因． 【答案】(1)小红所测得的数据求旗杆的高度约为 (2)见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交于点，解直角三角形求得即可解答； （2）小明测得仰角是以测角仪为基准，计算出的，应该要需要加上测角仪的高度才是正确的旗杆高度． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 由题意可得四边形为矩形， ， 在中，， 在中，， ， 答：小红所测得的数据求旗杆的高度约为； （2）解：小明测得仰角是以测角仪为基准，计算出的，应该要需要加上测角仪的高度才是正确的旗杆高度． 24．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，4 (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点、的坐标代入反比例函数解析式，即可得出、的值，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会，计算出直线与轴、轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解； （2）由，，再结合函数图象即可得解； （3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得： ， 解得：，， 则一次函数的解析式为， 当时，，当时，则， 解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴； （2）解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或； （3）解：∵， ∴， 设，即， ， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，． 25．如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过点A，E的分别交于点D，F，连接交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析 (2)3， 【分析】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用以及相似三角形的性质与判定： （1）连接，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出即可； （2）连接，根据三角函数求出和半径的长度，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （2）连接，   ，， ， ， ，即半径为3， 是直径， ∴， ， 又 ． 26．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，对称轴为，且． (1)直接写出抛物线的解析式为______． (2)如图1，点D为抛物线顶点，点E是第一象限抛物线上一点，使得，，求E点坐标． (3)将抛物线关于y轴翻折得到抛物线，如图2，它与x轴负半轴交于点P，与正半轴交于点Q，与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于M，N两点，且平分，求点P到直线的最大距离． 【答案】(1) (2) (3)点P到直线的最大距离 【分析】本题考查二次函数综合体，涉及到待定系数法求解析式，三角函数，二次函数与定点问题，相似三角形的判定与性质等知识点； （1）先求出，再由，得到，，求出抛物线对称轴为，解得，再根据交点式求解析式即可； （2）先求出顶点，过作交于，轴于，过作交直线于，则， ，，由可得，再证明得到，代入数值后即可求出，再求出直线解析式，最后联立二次函数解析式解方程即可得到； （3）先求出抛物线关于y轴翻折得到抛物线解析式为，得到，， ，则，过作轴，过作于，过作轴于，则，即可得到，，再分别设直线解析式为，直线解析式为，与抛物线联立后得到，，代入得到，设直线解析式为，与抛物线联立后得到，代入关系式消元后得到，即可得到直线过定点，最后由垂线段最短可得：点P到直线的距离不超过，据此求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∴，， ∴抛物线对称轴为， ∵对称轴为， ∴，解得， ∴，，， ∴， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴顶点， 如图，过作交于，轴于，过作交直线于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为，把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； （3）解：∵点关于y轴翻折得到点， ∴抛物线关于y轴翻折得到抛物线解析式为， 令，解得， ∴，， ∴， ∴， 如图，过作轴，过作于，过作轴于，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴设直线解析式为，直线解析式为， 联立，解得或， ∴， 同理， ∴，， ∴， 整理得， 设直线解析式为， 联立，整理得， ∴， ∴， 整理得， ∴， 整理得， ∴直线解析式为， 当时，，即直线过定点， ∴， ∵由垂线段最短可得：点P到直线的距离不超过， ∴点P到直线的最大距离． 27．问题情境 “综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A的对应点落在边上点D处，折痕为，若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕． 初步尝试： （1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；类比探究： （2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P，若，，求的值； 拓展应用： （3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若，折痕，点A到折痕的距离为2，求边的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【分析】对于（1），由折叠可知，有，则问题可证； 对于（2），由题意知和均是等腰三角形，可得，然后可得，，过点E作于点M，进而求出，最后根据相似三角形的性质得出答案； 对于（3），由题意得四边形是菱形，连接，交于点H，过点F作于点N，则有，然后可得，进而可得，接下来根据是的双等腰折痕，可得与均是等腰三角形，可得，再说明，可得，然后求出，最后根据可得答案． 【详解】（1）证明：由折叠可知 ∵点E，F分别是的边的中点， ∴， ∴， ∴与均是等腰三角形， ∴折痕是的双等腰折痕； （2）解：∵是的双等腰折痕， ∴和均是等腰三角形， ∵点E为的中点，且， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． 由折叠可知：， ∴点F是的中点， ∴， ∴． ∵， 根据勾股定理，得， ∴． 过点E作于点M， ∴， ∴， ∴， ∴； 对于（3），由折叠可知， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 连接，交于点H，过点F作于点N， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是的双等腰折痕， ∴与均是等腰三角形． ∵是的顶角， ∴． 在菱形中，， ∴， ∴， ∴． 过点D作于点R， ∴, ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 3 4 5 6 7 8 A B A C C D A 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9.mj 10.2 11.y>y2 12.2026 1 13.22-2 14.a> 4 15.4或8 16.3 三、解答题（本大题共11个小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(5分) 【详解】解： +2+5-2°- 6tan30° =3+25+1-9-6x5 3(2分) =3+2W5+1-9-25 =-5.(5分) 18.(5分) 2x+16=y 【详解】解： 105 5-x=4(x+y) x-y=-8① 整理得5x+4y=5②， ①×4+②得9x=-27, 1/13 解得x=-3,(2分) 将x=-3代入①得y=5, x=-3 故方程组的解为y=5,(5分) 19.(6分) 1）,x+1 【详解】解： x-33-xx2-9 x+1 x+1(x+3(x-3 x-3 x+1 =x+3, :x≠士3且x≠-1， ∴.x=0,(4分) ∴原式=0+3=3.(6分) 20.(6分) 【详解】(1)解：第一次从4张卡片中取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为4；(2分) (2)解：根据两次取出2张卡片，画树状图如下： 开始 共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中有1张图案为“A唐僧”的结果共有7种. 7 一两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率为16(6分) 21.(6分) 【详解】(1)证明：，∠BAC=∠DAE, .∠BAD=∠CAE, AB=AC,AD=AE ∴.△BAD≌△CAE 2/13 .∠B=∠ACE, 又：AB=AC, .∠B=∠ACB, ∴.∠ACE=∠ACB, 即AC平分∠BCE,(3分) (2):∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE, ∠4CB=1s0°-，B1C-180°-，∠DE-∠AED. 2 2 ∴∠AED=LACE. 又：∠CAE=∠EAO. ∴.△AEO∽△ACE, 、AOAE ∴.AEAC, :E=A04C=8 ：D=AE=2V .(6分) 22.(8分) 【详解】(1)解：：直方图中，B组的人数为12，最多， 男生的身高的众数在B组， 男生总人数为：4+12+10+8+6=40，按照从低到高的顺序，第20,21两人都在C组， ∴男生的身高的中位数在C组， 故答案为：B,C;(4分) (2)解：女生身高在E组的百分比为：1-17.5%-37.5%-25%-15%=5%， :抽取的样本中，男生、女生人数相同， ∴样本中，女生身高在E组的人数有：40×5%=2（人）；(6分) （3)解：840×0+820×25%=210+205=415， 40 ∴.估计身高在C组的学生约有415人(8分) 23.(8分) 【详解】(1)解：如图，过点P作PC⊥AB交于点C, 3/13 A 137 ----C B 777777777777777777777777 图2 由题意可得四边形PQBC为矩形， .PC=OB=12m 在Rt△APC中，AC=PC·tan37°≈9m, 在Rt△BPC中，BC=PC.tan22°≈4.8m, .AB=AC+BC≈14m, 答：小红所测得的数据求旗杆AB的高度约为14m;(6分) (2)解：小明测得仰角是以测角仪为基准，计算出的l2 tanam，,应该要需要加上测角仪的高度才是正确 的旗杆高度.(8分) 24.(8分) 3 【详解】(1)解：，反比例函数y=x的图象与一次函数y=x+b的图象交于Am,3)、B(-3,n)两点， 将A与B坐标代入反比例解析式得：m=1,n=-1, A1,3)B(-3,-1 代入一次函数解析式得： (k+b=3 -3k+b=-1. 解得：k=1,b=2, 则一次函数的解析式为y=x+2, 当x=0时，y=2,当y=0时，则x+2=0, 解得x=2, 直线'=x+2与x轴、y轴的交点坐标为 -2,0)(0,2 ·.S40B=2 2×2+号×2x1+×2×1=4: 2 :(2分) 4/13 (2)解：41,3到.8-3，-) ∴反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围为x>1或-3<x<0:(4分) (3)解：：S0=4 :Sh=2S408=8 设p.0,即0=D+2 S=5c+5c-p+2x3+×刘p+2k1=8, 2 解得：p=6或p=2, ÷B-6,0).(2,0 同理可得： B(0,6)P(0,-2) 综上所述，点P的坐标为-6,0，B(20),B0,6,P0-2.8分) 25.(10分) 【详解】(1)连接OE,则：OA=OE, 5/13 .∠OAE=∠OEA, :AE平分∠BAC, .∠BAE=∠OAE, ∴.∠BAE=∠OEA, ÷OE∥AB ∴.∠OEC=∠B=90°，即OE⊥BC, 又OE是半径， ∴.直线BC是⊙O的切线：(5分) (2)连接DF,OE M 3 CF=2 sin C=5 OE 3 .OF+CF 5 .OE=OF, ∴.OE=OF=3,即半径为3， AF是直径， .AF=6,∠ADF=90°=∠B .DF∥BC .∠AFD=∠C sin∠AFD=AD-3 AF5 5 OE⊥BC,DB=90° .OE∥AB .△AMD△EMO 6/13 18 DMAD-5-6 ·.OME035 又：OD=3 DM=6 OD=18 11 1· (10分) 26.(10分) 【详解】()解：令=0，则当=ar+hr+c=c ..C(oe) .0B=0C=30A=C, 1 Bc,0,36,0 1。 ∴抛物线对称轴为x= 3-1。 2 ”对称轴为x=1, 1 ·x=30可，解得c=3 ÷B3,0.A-10C(0,3) .=ax+bx+c-ax+bx+3-alx-3)(x+1-ar2-2ax-3a ∴.-3a=3,解得a=-1, 抛物线”的解析式为水=一r+2x+3 故答案为：乃=-+2x+3 (3分) (2)解：：乃=-x+2x+3=-(x-12+4 顶点 D1,4 7/13 如图，过D作DF⊥CD交CE于F,DM⊥y轴于M,过F作FN⊥DM交直线DM于V,则 DDMC=ON =DCDF=90°， D M -LN A 图1 D14C0,3) ∴.CM=DM=1,OM=4, cos∠ECD= √10CD 10CF, ..CF=OCD .DF=CF2+CD=3CD .DDMC=DN=DCDF=90°， ∴.DMDC=DDFN=90°-DNDF, ∴.aMDC∽aNFD DM MC _CD NE DN DF' 1=1=CD=I NF DN 3CD 3' .'NF =DN =3, :F41) 设直线CF解折式为y=x5,把F41代入得1=4%书，解得=克， 8/13 1 直线CF解析式为y=2x+3, 联立y= 23 1 ,解得〔x=0或 7 y=-x2+2x+3 y=3 4 (6分) (③)解：：点x少关于y轴翻折得到点 -x,y 六抛物线=-+2x+3关于y轴翻折得到抛物线解析式为少=--°+2-+3=--2x+3, 令为=-2x+3=0,解利5=1与=- P-3,0).g1,0) ∴.0C=0P=3, ∴.∠CP0=45°， 如图，过P作PG⊥x轴，过M作MG^PG于G,过N作WNH⊥x轴于H,则DG=DGPO=DNHP=90°， yA M G 图2 .DCP0=DCPG=45°， ,CP平分∠MPN, .∠CPM=∠CPN, .DCPO-DCPN=DCPG-DCPM,即∠MPG=∠NPH, tan DMPG =Mo =tanDNPH- PG 9/13 .P-3,0) :设直线PM解析式为'=(x+3引，直线PN解析式为)=(x+3), y=k(x+3) x=-3x=1-k 联立y2=-x2-2x+3,解得y=0或y=-k2+4k, :M1-4,62+46 同理1-，6+46)， :MG人3=4k,PG=kwk,PH司飞书=4-k,NH=k2+4k3 MG=4-k=WH_-k32+4k3 .PG -k2+4k PH 4-k2, kk2=1 整理得 设直线MN解析式为y=mr+n, y=mx+n 联立y2=-x2-2x+3,整理得x2+(m+2x+n-3=0, x+=-(m+2)=n-3 :16+1-6=-(m+2,1-k1-6)=n-3 整理得4+6，=m+4(1-1-)=1-(k+k)+kk,=n-3 1-(m+4到+1=m-3 整理得n=1-m, “直线MN解析式为'=m+n=mx+1-m=mx-1+1 当x=1时，=1，即直线W过定点1， 10/13 .P0=V1+3)+P=7 ~由垂线段最短可得：点P到直线MN的距离不超过P0=7 :点P到直线W的最大距离7.（10分) 27.(10分) AE=DE,AF=DF, 【详解】(1)证明：由折叠可知 △ABC AB,AC :点E,F分别是 的边 的中点， AE=BE,AF=CF BE=DE,FC=FD ,△BDE与△CDF均是等腰三角形， .折痕EF是△ABC的双等腰折痕；(2分) (2)解：，EF是△ABC的双等腰折痕， ∴，△BDE和△CDF均是等腰三角形， ,点E为AB的中点，且AE=DE, ∴.BE=DE, ∴.∠ABC-∠EDB ∠A=∠EDF=90° ∠ABC+∠C=90°，∠EDB=∠FDC=90°， .∠C=∠FDC, .FD=FC」 由折叠可知：AF=FD=FC, 点F是AC的中点， &ar-ac.BEF∥Bc. ∴.△EFPSADBP 11/13 ,AC=3,AB=4 根据勾股定理，得BC=VAB+AC=5 Cos∠ABC=AB-4 BC 5 B M D 过点E作EM⊥BC于点M, EF=-BC-2 BE=-AB=2.BD=2BM 2 48 .BM=BE·coS∠ABC=2x4= 55 BD=16 ， 5 EF2_25 .BD1632:(6分) AE=DE,AF=DF 对于(3)，由折叠可知 .AE=AF, ∴AE=DE=DF=AF, ∴.四边形AEDF是菱形. 连接AD,交EF于点H,过点F作FN⊥AB于点N, N F R B D 12/13 D1ER,H=m-F-号4M=DH=2 AE=AF=DF=DE= G+2:-5 2， 1 、、:≥S形r=2×2EF·1D=4X3×4=3, 2×312 FN=2SE=§5 AE 2 w=a-=-5=品. 7 :cos∠BAC=4W=0=7 AF525.(7分) 2 ,EF是△ABC的双等腰折痕， ∴.△BDE与ACDF均是等腰三角形. :∠B是△BDE的顶角， .'BD=BE 在菱形AEDF中，E∥AC, ∴.△BDEABCA, .AB=BC, ·∠BAC=∠C,FD=DC= 2. (8分) 过点D作DR⊥AC于点R, CR=7FC=DCos∠C=x7-7 2 Γ225-10 &FC=7 .AC=FC+AF= 7539 5210·(10分) 13/13 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．红细胞，也称为红血球，是血液中数量最多的血细胞，主要功能是运输氧气和部分二氧化碳．人体红细胞的直径约为米，将用科学记数法表示（   ） A． B． C． D． 3．某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 4．“天宫课堂”第二课3月23日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 6．甲乙两人开车同时从地出发，以各自的速度匀速向地行驶，甲先到地并停留半小时后按原路以另一速度匀速返回，与乙相遇后两人停止．设甲乙两人相距的距离为（单位：），乙行驶的时间为（单位：），与之间的对应关系如图所示．已知乙的速度为，则下列结论中，不正确的是（    ） A．、两地相距 B．点的坐标为 C．甲去时的速度为 D．甲返回的速度是 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，点A的坐标为，点D的坐标为．若双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解：_____________． 10．我国的《全民阅读促进条例》已经于年月日正式实施．某校团委会为了解本校学生一个月内的课外阅读量，随机抽取了名学生进行调查，具体信息如下表所示．则对于这组学生的课外阅读量的众数是________本． 阅读数量（本） 学生数量（个） 11．已知一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是________． 12．已知，，是方程的两个实数根，则______． 13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC，BD，相交于点O，CE平分交BD于点E，则__________． 14．已知实数，若函数图象上存在点，则称该函数的图象存在“优点”，若二次函数的图象上不存在“优点”，那么的取值范围是________． 15．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么______秒种后与直线相切． 16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为______． 三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算：． 18．解方程组：． 19．先化简，并从，，，中选择一个合适的数字代入求值． 20．如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净． 现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片．求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为_____； (2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 21．如图，在和中，，，，点在线段上，，交于点，连结． (1)求证：平分． (2)若，求的值． 22．为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计表： 身高情况分组表 组别 身高（） 根据图表提供的信息，回答下列问题： (1)抽取的样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组； (2)抽取的样本中，女生身高在组的人数有多少人？ (3)已知该校共有男生840人，女生820人，请估计身高在组的学生人数． 23．在综合与实践课上李老师准备了测角仪，如图1，要求同学们在教学楼完成测量校园内旗杆高度的实践任务． (1)如图2，小红在教学楼二层走廊上的点处，利用测角仪测得旗杆顶部处的仰角为，测得旗杆底部处的俯角为．已知李老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离为．请用小红所测得的数据求旗杆的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） (2)小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部处的仰角为，则他由此计算出旗杆的高度为．通过与（1）中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了，请你帮小明分析一下原因． 24．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 25．如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过点A，E的分别交于点D，F，连接交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的半径和的长． 26．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，对称轴为，且． (1)直接写出抛物线的解析式为______． (2)如图1，点D为抛物线顶点，点E是第一象限抛物线上一点，使得，，求E点坐标． (3)将抛物线关于y轴翻折得到抛物线，如图2，它与x轴负半轴交于点P，与正半轴交于点Q，与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于M，N两点，且平分，求点P到直线的最大距离． 27．问题情境 “综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A的对应点落在边上点D处，折痕为，若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕． 初步尝试： （1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；类比探究： （2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P，若，，求的值； 拓展应用： （3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若，折痕，点A到折痕的距离为2，求边的长 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $