第二十章《勾股定理》练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

2026年春期人教版八年级下册数学第二十章《勾股定理》练习（新人教版） 时间：60分钟，总分：100分 班级____________姓名____________学号____________得分____________ 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个 选项中，有且只有一个是正确的）1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（   ） A．《孙子算经》B．《海岛算经》C．《周髀算经》 D．《九章算术》 2．在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 3．下列给出的四组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．， C．，， D．，， 4．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（    ）    A．10 B．13 C．15 D．17 6．下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．3，4，5 B．9，7，4 C．6，8，10 D．5，12，13 7．如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（   ） A． B． C．8 D． 8．如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 9．如图，以的各边为边向外作等边，等边和等边，，点G，H均在边上，且，，过点G作的平行线，交于点I，过点H作的平行线，交于点J，交于点K．若已知四边形的面积，则下列面积一定能求出来的是（   ） A． B． C． D． 10．有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意如下：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙分别走了多少步？根据以上信息，可求得甲、乙走的步数分别为（   ） A．24，30 B．24，32 C．32，36 D．36，24 11．下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等腰三角形的两个底角相等 D．若三角形三边长（其中）满足，则该三角形是直角三角形 12．如图，五边形的五条边相等，，现以为坐标原点建立平面直角坐标系，有点坐标为，则点E的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分）13．在中，已知，，，则的长为______． 14．如上图所示，中，，斜边上的高，以的长为三角形的三边构造一个新，若按角分类，是___________三角形．    15．如图，正方形网格中，点，，，均在格点上，则_____________      16．折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为220mm，宽为160mm的白纸，如图所示，以下面几个步骤折出纸飞机：（说明：第一步：白纸沿着折叠，边的对应边与边平行，将它们的距离记为x；第二步：将，分别沿着折叠，使与重合，从而获得边与的距离也为）．则： （1）的值是__________mm； （2）的长是__________mm． 三、解答题（共52分） 17．年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，．    (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 18．春天到了，奇奇和妙妙一同去春游．如图，有一座景观桥，他俩一同坐在离桥头A的凉亭D处，准备从桥的不同方向到达景点C．奇奇先走到桥尾B到岸边后再坐船到景点C，妙妙先走到桥头A到岸边，再沿与桥垂直的小路走到达景点C，若距离均以直线计算，且两人所经过的距离相等，请利用所学知识计算桥的长是多少？ 19．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点的坐标为___________，的坐标分别为___________； (2)标出点，作出； (3)在（2）的条件下，求的周长． 20．在所给的格点图中，每个小正方形的边长都是1.    (1)在图中画出一个，使其三边长分别为，，5，三个顶点都在格点上. (2)直接写出的面积. 21．三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形． (1)请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． (2)应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千AB的长． 22．如图，在中，把沿折叠使点B与点C重合折痕为，连接．    (1)若，，，求证：； (2)若，，，求的周长． 23．如图，小区有一块三角形空地，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路，隔开，E是的中点．经测量．    (1)求的长； (2)求的度数和小路的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年春期人教版八年级下册数学第二十章《勾股定理》练习（新人教版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B D B D A D D 题号 11 12 答案 A D 1．C 【分析】本题考查了数学历史文化，勾股定理；由周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”记载于《周髀算经》之中，即可求解． 【详解】解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于《周髀算经》之中． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：，，、的对应边分别是、、， ． 故选：． 3．D 【分析】根据题中所给线段长，利用三角形三边关系及勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案 【详解】解：A、， 不能组成三角形，故该选项不符合题意； B、，， ， 不能组成直角三角形，故该选项不符合题意； C、， 不能组成三角形，故该选项不符合题意； D、，， ， 能组成直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．B 【分析】根据勾股定理以及数轴上的点表示的数解答即可． 【详解】解：由题意得， 点A所表示的数为． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上的点表示的数，勾股定理，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解题的关键． 5．D 【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：设旗杆高度为x米，则，， 在中， 即 解得： 即旗杆的高度为17米． 故选：D．    【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线． 6．B 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵，∴3，4，5能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、∵，∴4，7，9不能作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； C、∵，∴6，8，10能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵，∴5，12，13能作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 7．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理与勾股逆定理，先得出垂直平分，则，根据勾股逆定理，得出则，即可作答． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，掌握翻折的性质是解题的关键，首先根据勾股定理求出的长，然后利用折叠的性质求出的长，在中，设，则，根据勾股定理求出x的值即可，即可求解． 【详解】解：，，， ， 根据折叠的性质，，， 在中，设，则，根据勾股定理得 解得 ， 的面积， 故选：． 9．D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，几何图形的面积之间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用等边三角形的性质以及勾股定理得出点D到的距离为，则，，，在中，，则，再根据，，得是等边三角形，，整理得，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵， 则， 即点D到的距离为， ， 同理可得，， 在中，， ， ，， 是等边三角形，， ， ， ， 即已知四边形的面积，则一定能求的面积． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，表示正东方向，表示正南方向，则，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】如图，AC表示正东方向，AB表示正南方向， ． 设甲、乙相遇时所走的时间为x，则． 又， ．在中， 由勾股定理，得，即， 解得（不合题意，舍去），， 甲走的步数为，乙走的步数为． 故选：D． 11．A 【分析】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，等腰三角形的判定方法，直角三角形的性质，勾股定理． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，该说法错误，故A符合题意； B、直角三角形的两锐角互余的逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，该说法正确，故B不符合题意； C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为有两个角相等的三角形是等腰三角形，该说法正确，故C不符合题意； D、若三角形三边长（其中）满足，则该三角形是直角三角形的逆命题为直角三角形三边长，，（其中，那么，该说法正确，故D不符合题意． 故选：A． 12．D 【分析】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识点；解题关键是构造旋转全等模型，得出是等边三角形． 将绕点逆时针旋转到如图所示位置，证明是等边三角形，从而求出，进而可得，由此得出是等边三角形，过点作，垂足为，求出，，从而可得点坐标为． 【详解】解：将绕点逆时针旋转到如图所示位置，旋转角为， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵五边形的五条边相等，即：， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵点坐标为， ∴， 过点作，垂足为， ∴，， ∴点坐标为， 故选D． 13． 【分析】根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：，，， 由勾股定理得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解题关键． 14．直角 【分析】勾股定理得到，等积法得到，进而推出，即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵斜边上的高， ∴，即， ∴， ∴为直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理和逆定理．熟练掌握两个定理，是解题的关键． 15． 【分析】根据正方形网格，可证．所以，．由，可得：．所以．进而利用平行线的性质即可得解． 【详解】解：连接，由题意得：，，    在和中 ∴， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的判定和性质、三角形外角性质．网格中每个正方形边长都相等．熟练掌握全等三角形的判定和性质、三角形外角性质，是解决本题的关键． 16． 20 【分析】（1）根据题意可得，进行计算即可得到答案； （2）延长交于，在上截取，设，根据等腰直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定与性质，可得，由勾股定理可得，最后由，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）根据题意可得： ， 则， 解得：， 故答案为：20； （2）延长交于，在上截取，设， 则，，由题意可得：，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，读懂题意，是解题的关键． 17．(1)的长度为 (2)共需花费元 【分析】（1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． （2）解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． 18．桥长． 【分析】设桥长为，则，利用两人所经过的距离相等，求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解. 【详解】解：设桥长为，则，由题可知，， ∴， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∴， 解得， 答：桥长． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出勾股定理并应用解决问题是关键． 19．(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系，勾股定理，掌握平面直角坐标系内点坐标的特点是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系即可写出点A，B的坐标； （2）根据平面直角坐标系作出点C，然后顺次连接即可得； （3）由勾股定理分别求出、、，即可得出的周长． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标分别为， 故答案为：，； （2）解：如图，点和即为所求； （3）解：，， ， 即的周长为． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，在网格中画出图形即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴边长分别为，，5的如图所示，    （2）解：， ∴的面积是； 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 21．(1)见解析 (2)秋千的长为4米 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）根据空白部分的面积等于边长为的正方形的面积减去两个直角三角形的面积，也等于边长为的两个正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，即可得证； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）， ， ∴， ∴． （2）设，， 在中，，即， 解得； 答：秋千的长为4米． 22．(1)证明见解析 (2)14 【分析】(1)根据折叠的性质，得到，运用勾股定理的逆定理计算判断即可． (2)根据折叠的性质，得到，运用勾股定理，求得,计算周长即可． 【详解】（1）证明：由折叠可得 ∴， 在中 ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：由折叠可得， ∴， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∵， ∴的周长． 答：的周长是14． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握性质和两个定理是解题的关键． 23．(1)9m (2)90°；7.5m 【分析】（1）由根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，从而，进而，再用勾股定理可求得的长； （2）由点E是的中点，可得 【详解】（1）∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴在中，； （2）由（1）可得， ∵在中，点E是的中点， ∴， 即小路的长为7.5 m． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $