22.1.3 函数的解析式 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

用函数解析式表示函数关系 函 数 22 学习目标 1.理解函数解析式的概念，能根据简单的实际问题写出函数解析式。 2.能确定简单实际问题中自变量的取值范围，会利用函数解析式求函数值。 3.经历“实际问题----变量分析----列出等式----确定范围”的思维过程。 2 复习导入 1.什么是函数？判断两个变量是否构成函数关系的关键是什么？ 在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y就是x的函数。 关键点有三个：变化过程、两个变量、唯一对应。 2.汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h。 （1）在这个变化过程中，有几个变量？分别是什么？ （2）s与t之间是否存在函数关系？为什么？ （3）你能用一个数学式子表示s与t之间的关系吗？ s=60t 3 探究新知 问题一：仿照上面的行程问题，下面的三个问题你能否也用含自变量的式子来表示自变量的函数呢？ （1）电影票售价为10元/张，售出x张，票房收入y元，则y = ______。 （2）圆的半径为r，面积为S，则S = ______。 （3）用10 m长的篱笆围一个长方形，一边长为x m，面积为y m²，则y = ______。 10x πr2 5x－x2 问题二：观察这些式子，它们有什么共同特点？ ①每个式子中都有两个变量； ②式子的一边是函数（如y、S），另一边是含有自变量的代数式； ③这些式子都精确地描述了自变量与函数之间的数量对应关系。 4 探究新知 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式（也叫函数表达式）. 函数解析式的结构有什么特征？ 通常左边是函数（因变量，如y，S等）， 右边是含自变量的代数式。 5 汽车油箱中有汽油 50 L . 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量 y（单位：L）随行驶路程 x（单位：km）的增加而减少. 已知该汽车平均每千米耗油 0.1 L . 例 2 （1）写出表示 y 与 x 的函数解析式； 自变量和因变量是什么？ 它们之间的等量关系是什么？ 列解析式： 探究新知 自变量是行驶路程 x，因变量是箱中剩余的油量 y 剩余油量=原有油量-每千米消耗油量×行驶路程 y = 50－0.1x （2）指出自变量 x 的取值范围； y = 50－0.1x 解：由题意得 x ≥ 0， 50－0.1x ≥ 0， 解得 0 ≤ x ≤ 500. 因此，自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500 . 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义. 思考：x能不能取任意实数？ 仅仅x ≥ 0就够了吗？看看这个油箱中剩余的油量有什么要求？ 探究新知 （3）汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少汽油？ y = 50－0.1x 将 x = 200 代入 y = 50－0.1x，得 因此，汽车行驶 200 km 时，油箱中还有 30 L 汽油. y = 50－0.1×200 = 30 求行驶200 km时剩多少油，就是求当x= ，y=？ 探究新知 探究新知 （4）当油箱中剩油量是5 L时，汽车会发出加油提醒，汽车大约行驶多少千米会收到加油提醒？ 题意是当y= ，x= ，会收到加油提醒？ 当y =5时，50 - 0.1x = 5，解得x = 450。 汽车大约是行驶了450 km，会收到加油提醒。 9 课堂练习 1.写出下列函数中自变量x 的取值范围. （1）y=2x+1 （2）y= （3）y= 使函数解析式有意义的自变量的全体. x为任意实数 x ≠ -1 x ≥ −3且x ≠ −2 （4）y= x ≥ -5且x ≠ −1 10 课堂练习 1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式. （1）水箱中原有水 10 L，漏水速度为 0.05 L/h，水箱中剩余的水量 V（单位：L）随时间 t（单位：h）的变化而变化； 自变量是时间 t，水箱中剩余的水量 V是 t 的函数. 函数解析式为 V = 10－0.05t . 【选自教材第95页 练习 第1题】 11 课堂练习 （2）绿水村的耕地面积是 106 m2，这个村的人均耕地面积 y（单位：m2）随人数 n 的变化而变化. 自变量是人数 n，人均耕地面积 y 是 n 的函数. 函数解析式为 y = 12 课堂练习 梯形的上底长为 2 cm，高为 3 cm，下底长 x（单位：cm） 大于上底长但不超过 5 cm，写出梯形面积 S（单位：cm2） 关于 x 的函数解析式，并指出自变量 x 的取值范围. 2 3 x 【选自教材第95页 练习 第2题】 S = = + 3 13 课堂练习 举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式 表示，并指出自变量的取值范围. 一个正方形的边长为 5 cm，它的各边减少 2x (单位：cm)后，得到新的正方形的周长 y（单位：cm）随 x的变化而变化. 用解析式表示：y = 4(5－2x) = 20－8x，0 < x < 2.5 . 【选自教材第95页 练习 第3题】 14 课堂练习 3.等腰三角形的周长为20 cm，腰长为x cm，底边长为y cm。（1）写出y与x的函数解析式；（2）求x的取值范围。 （1）y = 20 - 2x。 （2）需满足：腰长x > 0；底边长y > 0，且三角形任意两边之和大于第三边 即 x > 0 20 - 2x > 0 2x > 20 - 2x 解得，5 < x < 10。 15 课堂练习 4.某市出租车收费标准如下：3 km以内（含3 km）收费8元；超过3 km的部分，每千米收费2元。设行驶路程为x km，应收费用为y元。（1）写出y与x的函数解析式。（2）行驶5.5 km应付多少元？ （1）当0 < x ≤ 3时，y = 8；当x > 3时，y = 8 + 2x。 即y = （2）当x=5.5时，则y = 8 + 2×(5.5-3) = 13。 8，0 < x ≤ 3 y = 8 + 2x，x > 3 16 课堂练习 6. 如图，在一个长为 15 cm、宽为 10 cm 的矩形纸板的四个角上， 都剪去大小相同的小正方形，剩余部分为一个十字形纸板(图中 阴影部分)．当小正方形的边长 x (单位：cm) 由小到大变化时， 剩余部分的面积 S (单位：cm2) 也随之发生变化． （1）哪些量是自变量？哪些量是 自变量的函数？试写出题中 存在的函数解析式及自变量 的取值范围． 15 10 S x x 17 课堂练习 15 10 S x x 解: x 是自变量，S 是自变量的函数． 由剩余部分的面积＝矩形的面积 － 4 个小正方形的面积，得 S ＝ 15×10－4x2，即 y＝150－4x2 ． 因为剩余部分为十字形纸板, 所以小正方形的边长 x 应满足 x＞ 0 且 10－2x＞0． 因此，自变量 x 的取值范围是 0＜ x ＜5． 所以 S 关于 x 的函数解析式为 S ＝ 150－ 4x2 ( 0＜ x ＜5 ) 18 课堂练习 （2）当小正方形的边长为 3 cm 时，求阴影部分的面积． 将 x ＝ 3 代入 S ＝ 150－4x2， 得 S ＝150－4×32＝150－36＝114． 所以当小正方形的边长为 3 cm 时， 阴影部分的面积为 114 cm2 ． 15 10 S x x 19 课堂小结 函数解析式 自变量的取值范围 求函数值 1.使函数解析式有意义 2.符合实际意义 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 20 $