第10章第5节《分式方程的应用题》分层讲义 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

分式应用题分类突破——从“列方程”到“建模型” ——苏科版数学八年级下册 第10章第5节《分式方程的应用题》分层讲义 讲解目录 章节 内容 一 知识导航（分式方程解应用题的步骤、基本数量关系模型、三类常用等量关系） 二 新知讲授 题型一 行程问题——速度·时间·路程的“三角关系”（基础） 题型二 工程问题——总量·效率·时间的“工作模型”（中等） 题型三 销售与利润问题——进价·售价·利润率的“经营思维”（提优） 三 分层达标检测（基础巩固/能力进阶/思维拓展） 四 解题方法口诀大全 五 答案解析 一、知识导航 1. 分式方程解应用题的一般步骤 步骤 内容 要点提醒 审 审清题意，分清已知量和未知量，找出等量关系 圈画关键词，如“同时到达”“时间相等”“少用×小时”等 设 设出恰当的未知数（注意单位和语言完整性） 一般直接设未知量，也可间接设参量 列 根据等量关系列出分式方程 用到“路程÷速度＝时间”“总量÷效率＝时间”等基本公式 解 解所列的分式方程 按解分式方程的四步完成：化→解→验→结 验 既要检验是否为分式方程的解，还要检验是否符合实际意义 时间不能为负数，速度不能为零或负值，人数必须为正整数等 答 写出完整答案（带单位） 别忘了写“答：……” 2. 三类常用基本等量关系 问题类型 基本数量关系 常见等量关系 行程问题 路程 = 速度 × 时间 时间差关系：“A时间 - B时间 = 差量”；路程相等：“路程₁ = 路程₂” 工程问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间 各阶段工作量之和 = 总工作量（通常设为“1”）；合作效率 = 各效率之和 销售问题 利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润/进价；总价 = 单价 × 数量 总价固定时“单价₁×数量₁ = 单价₂×数量₂”；利润比较关系 3. 找等量关系的基本方法 （1）关键词法：“相同时”“相等”“比……多（少）”等词语直接指示等量关系。 （2）图表法：用表格列出不同对象的“速度+时间+路程”或“效率+时间+工作量”，纵向对比找方程。 （2）分段法：工程问题中分为“单独做+合作+单独做”等阶段，各阶段工作量之和为总工作量。 二、新知讲授 题型一：行程问题——速度·时间·路程的“三角关系” 解法口诀：行程问题三要素：路程、速度与时间。用时相等列等式，一快一慢差为量。分母含未知速度，检验莫忘正与实。 ◆ 例题 1（基础）——速度与时间的“反比”关系 题目：（2025吉林长春中考）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点。求小林跑步的平均速度。 【解析】 设小林跑步的平均速度为 v 米/秒，则小吉的平均速度为 1.25v 米/秒。 小林跑800米所用时间：秒 小吉跑800米所用时间：秒 由“小吉比小林少用40秒”得等量关系：小林时间 - 小吉时间 = 40。 列方程： - = 40 计算： -= 40 = 40 v = 4 检验：v = 4 ，符合实际意义。小林用时= 200秒，小吉用时= 160秒，时间差恰好40秒，符合题意。 答：小林跑步的平均速度为 4 米/秒。 【方法总结】 行程问题中通常设速度为未知数，然后用“时间 = 路程/速度”列分式。两个对象的时间差是常见的等量关系。 变式训练 1-1 （2025山西中考）我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换 40 km 钢轨比人工更换30 km钢轨少用4小时。求工作队人工更换钢轨的速度。 【解析】设工作队人工更换速度为 x km/h，则换轨车速度为 2x km/h。 换轨车更换40km用时：小时；人工更换30km用时：小时。 等量关系：人工用时 - 换轨车用时 = 4。 列方程： - = 4 → - = 4 → = 4 x = 2.5 检验：x = 2.50，人工更换30km用时12小时，换轨车更换40km用时8小时，差4小时，符合。 答：人工更换钢轨速度为 2.5 km/h。 变式训练 1-2 （改编）甲、乙两班学生参加植树造林。已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等。求甲班每天植树多少棵。 【解析】设乙班每天植树 x 棵，则甲班每天植树 (x+5) 棵。 甲班时间 = ，乙班时间 =。时间相等： = 去分母：80x = 70(x+5) 80x = 70x + 350 10x = 350 x = 35。 检验：。x = 35是方程的解.甲班：x+5 = 40。 答：甲班每天植树40棵。 变式训练1-3 （2025云南中考改编）某化工厂采用机器人A、B搬运化工原料。机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等。求机器人A、机器人B每小时分别搬运多少千克。 【解析】设机器人B每小时搬运 x 千克，则A每小时搬运 (x-20) 千克。 A搬运800千克用时：；B搬运1000千克用时：。 时间相等： = 。 去分母：800x = 1000(x-20) 800x = 1000x - 20000 200x = 20000 x = 100。 检验：,x = 100是方程的解 A：x-20 = 80。 答：A搬运80千克/时，B搬运100千克/时。 题型二：工程问题——总量·效率·时间的“工作模型” 解法口诀：工程问题设“1”巧，效率时间好计算。总量除以效率得时间，各阶段工作量加起来等于1。合作效率各人加，检验步骤不可少。 例题 2（中等）——分段工程的“化整为零” 题目：（2025绥化中考改编）用A、B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等。若设B货车每小时运输化工原料 x 吨，则可列方程为（ ） A. = 　　B. = C. - 15 =　　D. = 【答案】A 变式训练2-1 某工程，甲队单独完成需要 a 天，乙队单独完成需要 b 天（a < b）。如果甲、乙两队合作，工期比甲单独完成提前了几天？ 【解析】甲独做需要 a 天。 合作完成天数：设合作完成需 x 天。 ( + ) × x = 1 x = 提前天数 = a - = 题型三：销售与利润问题——进价·售价·利润率的“经营思维” 解法口诀：销售问题三核心：进价、售价、利润率。利润等于售价减进价，利润率是利润除以进价。打折后售价再计算，总额相同列等式。百分数要化小数或分数，检验结果要合实际。 例题 3（提优）——售价变化中的分式关系 题目：（2025江西中考改编）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车。燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程，与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同。且每百公里的耗油费比耗电费约多50元。求纯电汽车每百公里的耗电费。 【解析】设纯电汽车每百公里的耗电费为 x 元，则燃油汽车每百公里的耗油费为 (x+50) 元。 两种车行驶的路程相同：路程 = 费用÷每百公里费用。 燃油汽车路程 = （单位：百公里），纯电汽车路程 =（单位：百公里）。 路程相等：= 两边同除以1000： 去分母：6x = x+50 5x = 50 x = 10。 检验：,x = 10是方程的解 答：纯电汽车每百公里耗电费为10元。 三、分层达标检测 ★ 基础巩固 1. （2025广东深圳中考改编）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵。设原计划人数为 x 人，则下列方程正确的是（ ） A. 　　B. - = 3 C. + = 3　　D. = 2. （2025四川自贡中考）去年暑假，小张和小李帮刘大爷掰玉米，他们各留了36筐和30筐，两人劳动时间相同。小张平均每小时比小李多掰2筐，则小李平均每小时掰玉米多少筐？ 3. 甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同。已知乙车每小时比甲车多行驶20千米，求甲车的速度。 4. 某工程甲单独做需12天完成，乙单独做需16天完成。现甲、乙两人合作，需要多少天完成？ ★★ 能力进阶 5. （2025云南中考改编）某化工厂用机器人A、B搬运化工原料。机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等。求机器人A每小时搬运多少千克。 四、解题方法口诀大全 题型 口诀 工程问题 路程除以速度得时间，快慢之差列等式；设速度未知数，时间相等来列方程 设总量为单位“1”，效率就是 1/天数；各阶段工作量加起来，等于“1”就搞定 销售问题 利润等于售价减进价，总价等于单价乘数量；折扣折算再计算，金额相同来列式 检验实际意义 数学解出还不够，实际意义要审查；负数零日不可能，增根歪解全淘汰 找等量关系 圈画关键词“相同”“差”“倍”，列表横向对比知与未知；两物体同一属性比，方程自然现眼前 教师寄语： 分式应用题是数学连接生活的重要纽带。从行程到工程，从销售到利润，分式方程让我们能够用数学语言描述和解决现实世界中的复杂关系。解题的关键不在于死记公式，而在于练就一双“寻找等量关系”的慧眼。愿同学们在分类训练中，逐步建立属于自己的数学模型思维，不仅能解题，更能用数学的眼光观察世界！ 五、答案 基础巩固 1. A 2. 设小李每小时掰 x 筐，则小张每小时掰 (x+2) 筐。 小李时间 = ，小张时间 = 。 时间相等：=。 30(x+2) = 36x 30x + 60 = 36x 60 = 6x x = 10。 检验：,x = 10是方程的解 答：小李平均每小时掰玉米10筐。 3. 设甲车速度为 x 千米/时，则乙车速度为 (x+20) 千米/时。 = 30(x+20) = 40x 30x + 600 = 40x 600 = 10x x = 60。 检验：,x = 60是方程的解 答：甲车速度为 60 千米/时。 4. 设合作需要 x 天完成。 ( + ) × x = 1 ( + ) × x = 1 = 1 x =,答：需天完成。 能力进阶 5. 设机器人B每小时搬运 x 千克，则A每小时搬运 (x-20) 千克。 A搬运800千克用时 = ，B搬运1000千克用时 = 。 时间相等：= 800x = 1000x - 20000 200x = 20000 x = 100。 检验：,x = 100是方程的解,A：100-20 = 80。 答：机器人A每小时搬运80千克。 学科网（北京）股份有限公司 $