第五章 四边形 2026年中考数学专题复习课件（四川）

第24节　特殊平行四边形 过教材 梳理知识 知识点1　矩形、菱形、正方形的性质 类别 矩形 菱形 正方形 图形 边 对边平行且相等 对边平行、四条边都　　   对边平行,四条边都 　   角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相　   互相　 　,且每一条对角线平分一组对角  互相　 . 　,且每一条对角线平分一组对角  对称性 既是中心对称图形,又是轴对称图形,有 　 条对称轴,对称中心为对角线的交点  既是中心对称图形,又是轴对称图形,有　 　条对称轴,对称中心为对角线的交点  既是中心对称图形,又是轴对称图形,有 　 条对称轴,对称中心为对角线的交点  相等 相等 平分且相等 垂直平分 垂直平分且 相等 2 2 4 知识点2　矩形、菱形、正方形的判定 类别 矩形 菱形 正方形 判定 有一个角是　 　角的平行四边形是矩形(定义)  有一组邻边　 　的平行四边形是菱形(定义)  有一组邻边相等的 　 　是正方形  对角线　 　的平行四边形是矩形  四边　 　的四边形是菱形  对角线互相垂直的 　 　是正方形  有三个角是　 　角的四边形是矩形  对角线互相　 　的平行四边形是菱形  对角线相等的　　是正方形  有一个角是直角的 　 　是正方形  直 相等 矩形 相等 相等 矩形 直 垂直 菱形 菱形 知识点3　平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 1.关系图: 2.从边、角的关系看: 3.从对角线的关系看: 知识点4　中点四边形 概念 顺次连接四边形各边的中点所得的四边形 依据 三角形的中位线定理 常见 结论 (1)特殊四边形的中点四边形: ①平行四边形→平行四边形; ②矩形→菱形; ③菱形→矩形; ④正方形→正方形 (2)对角线特殊的四边形的中点四边形: ①对角线相等的四边形→菱形; ②对角形垂直的四边形→矩形; ③对角形垂直且相等的四边形→正方形 【注意】中点四边形的形状是由原四边形对角形的数量关系和位置关系决定的,和原四边形的外在形状并无本质联系. 课时1　矩　形 微诊断 检测基础 1.【北师大九上P13随堂练习变式】如图所示,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,若AB=3,AC=6,则∠AOD的度数为( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 2.以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是( ) A.AB=CD,AD=BC,∠A=90° B.OA=OB=OC=OD C.AB=CD,AB∥CD,AC=BD D.AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD C D 3.【人教八下新教材P80习题T9变式】如图所示,已知在Rt△ABC中, ∠ABC=90°,BD⊥AC,垂足为点D,∠ACB=36°,E是AC的中点,则∠DBE的度数为( ) A.18° B.27° C.36° D.54° 4.【北师大九上P16例3变式】如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BE⊥AC于点E.若CE=3AE=6,则边AB的长是( ) A C 5.如图所示,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为　 　.  例题　一题多变　在四边形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC于点C,BC=2AD,F是BC的中点. (1)如图(1)所示,求证:四边形AFCD是矩形; 讲重点 精准备考 (2)如图(2)所示,若O是DC的中点,∠AOF=90°,四边形AFCD的周长为 30 cm,则AB的长为　 　cm;  (3)如图(3)所示,过点C作CE⊥AB于点E,连接DE,EF.求证:DE=DC. 命题点　矩形的性质与判定 1.(2024成都T6,4分)如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( ) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 研真题 靶向中考 C 2.(2025德阳T6,3分)如图所示,要使▱ABCD是矩形,需要增加的一个条件可以是( ) A.AB∥CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD D 3.(2023绵阳T10,3分)黄金分割由于其美学性质,受到摄影爱好者和艺术家的喜爱,摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法.其原理如图所示,将正方形ABCD的底边BC取中点E,以点E为圆心,线段DE为半径作圆,其与底边BC的延长线交于点F,这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG,称其为黄金矩形.若CF=4a,则AB的长为( ) D 4.(2023乐山T20,10分)如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF. (1)求证:四边形ECFD是矩形; (1)证明:∵FD∥CA,BC∥DE, ∴四边形ECFD为平行四边形. 又∵∠C=90°, ∴四边形ECFD为矩形. (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离. 新题型 新考法 5.如图所示,在矩形ABCD中,点E,F,M分别在AB,DC,AD边上,BE=2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G,H,且H是DE的中点.若CF=2,∠ABD=30°, 则HG的长为　　 .  6.(2025云南)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点,延长BO至点D,使OD=OB.连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (1)证明:∵O是AC的中点,∴OA=OC. ∵OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是矩形. (2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长. 基础巩固 分层练 实战提能 1.【北师大九上P16习题T1变式】如图所示,要使▱ABCD成为矩形,需添加的条件是( ) A.AB=BC B.AC⊥BD C.∠1=∠2 D.∠ABC=90° D D 3.(2024蜀山区一模)小米同学在喝水时想到了这样一个问题:如图所示,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图,杯中水面与AD的交点为E,当水杯底面AB与水平面的夹角为37°时,∠CED的度数为( ) A.27° B.37° C.53° D.63° C 4.如图所示,将矩形纸片ABCD沿AE折叠,使点D恰好落在BC边上的点F处,若AB=6,AD=10,则CF的长为( ) 5.(2025黑龙江)一个矩形的一条对角线长为10,两条对角线的一个交角为60°,则这个矩形的面积是( ) A B 6.如图所示,ABCD,AEFC都是矩形,而且点B在边EF上,其中AB=2,BC=2AB,则矩形AEFC的面积为　 　.  8 能力进阶 7.(2024德阳)如图所示,四边形ABCD是矩形,△ADG是正三角形,点F是GD的中点,点P是矩形ABCD内一点,且△PBC是以BC为底的等腰三角形,则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是　 　.  2 8.(2025内江)如图所示,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E,F分别是边AD, CD上的动点,连接BE,EF,点G为BE的中点,点H为EF的中点,连接GH,则GH的最大值是　 　.  5 思维拓展 A 9.如图所示,在矩形ABCD中,AB=8,AD=4,点E,F分别是AB,DC上的动点, EF∥BC,则AF+CE的最小值是( ) 谢谢观赏！ 33 周长 C=2(a+b) C=4a C=4a 面积 S=ab S=ah=mn(m,n分别表示两条对角线的长) S=a2=l2(l为对角线的长) A.2 B.2 C.4 D.6 证明:(1)∵F是BC的中点,∴BF=CF=BC. ∵BC=2AD,∴AD=BC.∴AD=CF. ∵AD∥BC,∴四边形AFCD是平行四边形. 又∵CD⊥BC,∴∠DCF=90°.∴四边形AFCD是矩形. 5 证明:(3)如图所示,连接DF交CE于点G, ∵BC=2AD,F是BC的中点, ∴AD=BF. ∵AD∥BC,∴四边形ABFD是平行四边形.∴AB∥DF. ∵CE⊥AB,∴CE⊥DF.∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°. ∵F是BC的中点,∴EF=BC=CF.∴GE=GC.∴DF是线段CE的垂直平分线.∴DE=DC. A.(-1)a B.(2-2)a C.(+1)a D.(2+2)a (2)解:如图所示,过点C作CH⊥EF于点H. ∵在Rt△ECF中,CF=2,CE=4, ∴EF===2. ∵S△ECF=CF·CE=EF·CH, ∴CH==. ∴点C到EF的距离为. (2)解:∵AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3, ∴l2-l1=BC-AB=b-a=2,l3=2(AB+BC)=2(a+b)=28. ∴∴ ∴AB=6,BC=8. ∴AC==10. 2.(2025辽宁)如图所示,在矩形ABCD中,点E在边AD上,BE=BC,连接CE,若AB=3,AE=4,则CE的长为( ) A.1 B.5 C.2 D. A.25 B.25 C.25 D.50 A.2 B.4 C.8 D. A.8 B.12 C.8 D.16 $课时3　正方形 微诊断 检测基础 1.如图所示,在正方形ABCD中,AB=10,E为AB的中点,连接DE,将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF,则BF的长为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 2.如图所示,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,以点B为圆心,BD长为半径画弧交BC延长线于点E,AO=2. (1)BD=　 　,BE=　 　,BC=　 　,CE=　 　;  (2)正方形的周长是　 　,面积是　 　.  D 4 4 8 3.【人教八下P67复习题T1变式】如图所示,以AD为边在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,则∠BED的度数为　 　.  45° 4.【人教八下P60练习T3变式】判断: (1)有一个角是直角的平行四边形是正方形;( ) (2)对角线互相垂直的矩形是正方形;( ) (3)有一组邻边相等的菱形是正方形;( ) (4)各边都相等的四边形是正方形.( ) × √ × × 5.【北师大九上P25T2变式】如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. ∵BE=DF, ∴OE=OF. ∴四边形AECF是菱形. ∵OE=OA, ∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC. ∴四边形AECF是正方形 例题　如图所示,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,EF⊥AD于点F,DG⊥AE于点G,DG与EF交于点O. (1)求证:四边形ABEF是正方形; 讲重点 精准备考 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAF=∠ABE=90°. ∵EF⊥AD,∴四边形ABEF是矩形, ∵AE平分∠BAD,∴EF=EB. ∴四边形ABEF是正方形. (2)若AD=AE,求证:AB=AG; (2)证明:∵AE平分∠BAD,∴∠DAG=∠BAE. 在△AGD和△ABE中, ∵∠DAG=∠EAB,∠AGD=∠ABE,AD=AE, ∴△AGD≌△ABE(AAS).∴AB=AG. (3)在(2)的条件下,已知AB=1,求OF的长. (1)根据角平分线的性质证得EF=EB,根据正方形的判定即可证得结论; (2)由全等三角形(△AGD≌△ABE)的性质即可得到结论; (3)首先证得△AGD≌△ABE,进而求解即可. 命题点1　正方形的性质与判定 研真题 靶向中考 1.(2025自贡T7,4分)如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边长为5,AB边在y轴上,B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到正方形A′B′C′D′,则点D′的坐标为( ) A.(-3,5) B.(5,-3) C.(-2,5) D.(5,-2) A 2.(2023绵阳T12,3分)如图所示,在边长为4的正方形ABCD中,点G是BC上的一点,且BG=3GC,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F,则tan ∠EDF的值为( ) A 10 4.(2024绵阳T22,12分)如图所示,在正方形ABCD中,AB=2,对角线AC与BD相交于点O,点E在线段AO上(与端点不重合),线段EB绕点E逆时针旋转90°到EF的位置,点F恰好落在线段CD上,FH⊥AC,垂足为点H. (1)求证:△OBE≌△HEF; (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD.∴∠BOE=90°. ∵FH⊥AC,∴∠EHF=90°=∠BOE. ∴∠BEO+∠OBE=90°. 由旋转得BE=EF,∠BEF=90°, ∴∠BEO+∠FEH=90°.∴∠OBE=∠FEH. 在△OBE和△HEF中, ∵∠BOE=∠EHF,∠OBE=∠HEF,BE=EF, ∴△OBE≌△HEF(AAS). (2)设OE=x,求OE2-CF的最小值. 命题点2　中点四边形 5.(2025德阳T10,3分)如图所示,点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若BD=AC,四边形EFGH的面积为24,HF=6,则GH等于 ( ) A.4 B.5 C.8 D.10 B 6.(2024凉山T16,4分)如图所示,四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H,若对角线AC=24,BD=18,则四边形EFGH的周长是　 　.  42 新题型 新考法 8.(2025浙江)[问题背景]如图所示,某兴趣小组需要在正方形ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上. [数学理解] (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成,请写出△ABE≌△CBE的证明过程; (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=CB,∠ABD=∠CBD. 又∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS). (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数; 基础巩固 分层练 实战提能 1.下列四边形中,是中心对称图形而不是轴对称图形的是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 A C 3.如图所示,在正方形ABCD中,点E为正方形ABCD内一点,连接BE,CE,AE, DE.若△BCE为等边三角形,则∠EAD的度数为( ) A.15° B.30° C.45° D.60° A 4.如图所示,P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB的距离为　 　.  5.(2024深圳)如图所示,四边形ABCD、四边形DEFG、四边形GHIJ均为正方形,且S正方形ABCD=10,S正方形GHIJ=1,则正方形DEFG的边长可以是 　 　(写出一个即可).  3 2(答案不唯一) 6.(2025绵阳一模)如图所示,将边长为6 cm的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°后,得到正方形AB′C′D′,则图中阴影部分的面积是 　 　cm2.  7.(2025南京模拟)如图所示,在矩形ABCD中,AE,BE,CF,DF分别是四个内角的平分线,AE,DF相交于点M,BE,CF相交于点N,求证:四边形MFNE是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴四个内角均为90°. ∵AE,BE,CF,DF分别是四个内角的平分线,∴∠EAB=∠EBA=45°. ∴△EBA为等腰直角三角形.∴AE=BE,∠E=90°. 同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°,∴四边形MFNE为矩形. ∵AD=BC,∠AMD=∠BNC=90°,∠DAE=∠CBN=45°, ∴△DAM≌△CBN(AAS). ∴AM=BN.∴ME=NE.∴矩形MFNE是正方形. 能力进阶 D 9.如图所示,在边长为5的正方形ABCD中,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为( ) A.1 B.2 C.5 D.10 C 10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E. (1)求证:四边形ADCE为矩形. (1)证明:∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠DAC. ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,∴∠MAE=∠CAE. ∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠MAE. ∵∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE=180°, ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°. ∵AD⊥BC,CE⊥AN, ∴∠ADC=∠CEA=90°. ∴四边形ADCE为矩形. (2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?请给出证明. (2)解:答案不唯一,如:当∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形. 证明:∵AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°. ∵AD⊥BC,∴∠CAD=∠ACD=45°. ∴DC=AD. ∵四边形ADCE为矩形, ∴矩形ADCE是正方形. 故当∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形. 思维拓展 11.如图所示,正方形ABCD的边长为3,点E,F,G分别在边AB,BC,CD上,且AF⊥EG.当CF=2BF时,EF+AG的最小值为　 　.  谢谢观赏！ 35 2 4-2 8 (3)解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAF=∠ABE=90°. ∵EF⊥AD,∴四边形ABEF是矩形. ∵AE平分∠BAD,∴EF=EB,∠BAE=∠DAG=45°. ∴四边形ABEF是正方形.∴AB=AF=1. ∵△AGD≌△ABE,∴DG=AB=AF=AG=1. ∴AD=,∠DAG=∠ADG=45°.∴DF=-1. ∵EF⊥AD,∴∠FDO=∠FOD=45°.∴OF=DF=-1. A. B. C. D. 3.(2023巴中T17,3分)如图所示,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点H,tan∠ABG=,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为　 　.  (2)解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=2,OB=OC=,∠ACD=45°. ∵△OBE≌△HEF,∴OE=FH=x,EH=OB=. ∴FH=CH=x.∴CF=FH=x.∴OE2-CF=x2-x=(x-)2-, ∵点E在线段AO上(与端点不重合), ∴0<x<.∴当x=时,OE2-CF的最小值是-. 7.(2025成都一模)如图所示,在正方形ABCD中,点E为AD的中点,CF⊥ BE于点G,则的值为　 　.  (2)解:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAD=90°,∠ADB=45°. ∵DE=DA, ∴∠DAE=∠DEA. ∴∠DAE=∠DEA=(180°-∠ADE)=67.5°. ∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°. (3)若在裁剪的过程中,△ABE中的点E是BD的黄金分割点(DE>BE),则这个机翼为黄金机翼,已知AB=+,求黄金机翼(阴影部分)的面积. (3)解:如图所示,连接AC, ∵AB=+,∴BD=AB=(+)=2+2. ∵E是BD的黄金分割点,且DE>BE, ∴DE=BD=×(2+2)=4.∴BE=BD-DE=2-2. ∵四边形ABCD为正方形,∴AC=BD. ∴黄金机翼(阴影部分)的面积=BE·AC=BE·BD=8. 2.如图所示,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=3,则正方形ABCD的面积为( ) A.2 B.6 C.8 D.10 12 8.(2025深圳)如图所示,将正方形ABCD沿EF折叠,使得点A与对角线的交点O重合,EF为折痕,则的值为( ) A. B. C. D. 2 $第五章　四边形 第23节　平行四边形与多边形 过教材 梳理知识 知识点1　多边形 多边形 的定义 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 多边形 的性质 内角和 n边形内角和为　 　  外角和 任意多边形的外角和为　 　  对角线 n边形,从一个顶点出发可以画　 　条对角线, 一共可以画　 　条对角线  (n-2)×180° 360° (n-3) 正多 边形 定义 各边　 　,各角　 　的多边形叫做正多边形  性质 正n边形的每一个内角的度数都是　　 , 每一个外角的度数都是　　   正n边形是轴对称图形,有n条对称轴;正偶数边形又是中心对称图形 相等 相等 知识点2　平行四边形 1.定义 两组对边分别　 　的四边形叫做平行四边形.  2.性质和判定(常考点) 平行 要素 边 角 对角线 性质 对边　   对角　   对角线互 相　   平行且相等 相等 平分 判定 两组对边分别　 　的四边形是平行四边形(定义);  两组对边分别　 　的四边形是平行四边形;  一组对边　 　的四边形是平行四边形  两组对角分别 　 　的四边形是平行四边形  对角线互相 　 　的四边形是平行四边形  平行 相等 平行且相等 相等 平分 3.面积 (1)S平行四边形=底×高; (2)平行四边形被两条对角线分成的四个三角形的面积　 　;  (3)平行四边形中的几种常见面积关系. 相等 特殊(一条对角线)S1=S2 一般(l过对称中心)S1=S2 两条对角线S1=S2=S3=S4 知识点3　两条平行线之间的距离 定义 两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离 性质 两条平行线之间的距离处处相等 几何 语言 如图所示,直线a∥b,A,C,E是直线a上任意三点,AB⊥b于点B,CD⊥b于点D,EF⊥b于点F,则线段AB,CD,EF的长就是a,b之间的距离,且AB=CD=EF 知识点4　梯形 1.定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 如图所示. 2.面积公式:S梯形=(上底+下底)×高÷2. 3.等腰梯形是　 　图形,等腰梯形的两底角　 　.  轴对称 相等 微诊断 检测基础 1.【北师大八下P137随堂练习T2变式】如图所示,在▱ABCD中,若∠A+ ∠C=100°,则∠D的度数为( ) A.50° B.80° C.100° D.130° 2.已知一个凸多边形的内角和与外角和的差是1 080°,则该多边形的边数为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 D A 3.【人教八下新教材P57练习T2变式】如图所示,▱ABCD的对角线相交于点O,BC=7 cm,BD=10 cm,AC=6 cm,则△AOD的周长为( ) A.14 cm B.15 cm C.16 cm D.17 cm 4.如图所示,已知l1∥l2,点A,D在l1上,点B,C在l2上. (1)若AB⊥l2,且AC=5,BC=4,则平行线l1和l2之间的距离为　 　;  (2)若AD=2BC,△ABC的面积为10,则△ADC的面积为　 　;  (3)若直线l1与l2之间距离为2,∠ACB=30°,则AC的长为　 　.  B 3 20 4 5.【北师大八下P159复习题T12变式】如图所示, 已知正八边形ABCDEFGH,回答下列问题: (1)正八边形ABCDEFGH的内角和为　 　,每个内角为　 　,外角和为　 　,每个外角为　 　,共有　 　条对角线;  (2)正八边形ABCDEFGH　 　轴对称图形,　 　中心对称图形(均选填“是”或“不是”).  1 080° 135° 360° 45° 20 是 是 例题　一题多变 如图(1)所示,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠BAD的平分线交DC的延长线于点E,交BC于点F,P是AF中点. (1)若AB=6,AD=8,则PO的长为　 　.  (2)求证:AD=DE. 讲重点 精准备考 1 图(1) (2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC.∴∠BAE=∠E.∵AE平分∠BAD, ∴∠DAE=∠BAE.∴∠DAE=∠E.∴AD=DE. 5 命题点1　多边形的相关计算 1.(2023绵阳T6,3分)蜜蜂的蜂巢美观有序,从入口处看,蜂巢由许多正六边形构成,则正六边形的对称轴有( ) A.4条 B.5条 C.6条 D.9条 研真题 靶向中考 C 2.(2025广元T7,3分)如图所示,在正八边形ABCDEFGH中,对角线HB,AC交于点K,则∠AKH的度数为( ) A.30° B.35° C.40° D.45° 3.(2025南充T7,4分)如图所示是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图 形,若正六边形的边长为2,那么矩形的面积是( ) D B 4.(2025成都T11,4分)正六边形ABCDEF的边长为1,则对角线AD的长为　. 2 命题点2　平行四边形的性质与判定 5.(2024眉山T5,4分)如图所示,在▱ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,有下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF.其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C D 新题型 新考法 7.跨学科融合　阅读材料:物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则,即F1和F2的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力F,如图所示. 解决问题:设两个共点的合力为F,现保持两力的夹角θ(0°<θ<90°)不变,使得其中一个力增大,则( ) A.合力F一定增大 B.合力F的大小可能不变 C.合力F可能增大,也可能减小 D.合力F一定减小 A 基础巩固 分层练 实战提能 1.(2025凉山)已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍,则从这个多边形的一个顶点处可以引对角线( ) A.6条 B.7条 C.8条 D.9条 B 2.(2024乐山)如图所示,下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( ) A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC 3.(2025湖北)如图所示,▱ABCD的对角线交点在原点.若A(-1,2),则点C的坐标是( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2) D C 4.(2025眉山)如图所示,直线l与正五边形ABCDE的边AB,DE分别交于点M,N,则∠1+∠2的度数为( ) A.216° B.180° C.144° D.120° 5.(2025成都模拟)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,AC⊥CD,若对角线AC的长为6,BD的长为10,则边CD的长为( ) A.8 B.6 C.5 D.4 C D 能力进阶 6.(2025遂宁模拟)如图所示,将四边形纸片ABCD沿MN折叠,若∠1+∠2= 130°,则∠B+∠C的度数为( ) A.115° B.130° C.135° D.150° A D 8.(2024成都模拟)如图所示,正八边形和正五边形按如图所示方式拼接在一起,则∠ABC的度数为　 　.  31.5° 思维拓展 C 谢谢观赏！ 28 　　 　S1+S2=S3=S▱　　 　　 S1=S2 (3)若∠ADC=60°,=k(k>1),连接OF. ①若k=2,AC=2,求▱ABCD的面积; (3)解:①∵AD=DE,∠ADC=60°,∴△ADE为等边三角形.∵=2, ∴DE=2CD.∴AC⊥DE. 在Rt△ACD中,AC=2,∠ADC=60°,由勾股定理得AD2=CD2+AC2, 即4CD2=12+CD2.∴CD=2. ∴▱ABCD的面积为CD·AC=2×2=4. ②设=m,试求m与k满足的关系. (3)解:②∵△ADE为等边三角形,AB∥CD, ∴∠BAF=∠E=60°,∠ABF=∠ADE=60°.∴△BAF为等边三角形. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.在△AOB和△COD中,OA=OC,∠AOB=∠COD,OB=OD,∴△AOB≌△COD(SAS).∴S△AOB=S△COD. ∵===1+=1+=1+=1+, ∴m=1+. (4)如图(2)所示,按下列步骤作图:①以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交AC于P,Q两点;②再分别以点P,Q为圆心,大于PQ长为半径作弧,两弧交于点M;③连接OM并延长交BC于点E,连接AE.若AB=2,AD=3,则 △ABE的周长为　 　.  A.12 B.8 C.16 D.12 6.(2024成都T8,4分)在▱ABCD中,按以下步骤作图:①以点B为圆心,以适当长为半径作弧,分别交BA,BC于点M,N;②分别以点M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点O;③作射线BO,交AD于点E,交CD延长线于点F.若CD=3,DE=2,下列结论错误的是( ) A.∠ABE=∠CBE B.BC=5 C.DE=DF D.= 7.如图所示,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为点E, AB=,AC=2,BD=4,则AE的长为( ) A. B. C. D. 9.(2024浙江)如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=2,BD= 2.过点A作BC的垂线交BC于点E,记BE长为x,BC长为y,当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是( ) A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2 $课时2　菱　形 微诊断 检测基础 1.如图所示,在菱形ABCD中,已知∠ABC=120°,若菱形ABCD的周长为16,则BD的长度为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2.(2024攀枝花)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,给出下列四个条 件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD.若添加其中一个条件,仍不能使四边形ABCD是菱形的为( ) A.① B.② C.③ D.④ A B 3.如图所示,四边形ABCD是菱形,其中A,B两点的坐标分别为(0,1), (2,0),则点D的坐标为　 .  4.如图所示,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且AE=CF.在不添加任何辅助线的情况下,现只需添加一个条件即可证明四边形BEDF是菱形,这个条件可以是　 　(写出一个即可).  BE=DE(答案不唯一) 5.如图所示,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. (1)若∠ABC=86°,则∠BAD=　 　,∠ABD=　 　, ∠AOB=　 　. (2)若AC=6,BD=8,则 ①AO=　 　,BO=　 　,AB=　 　;  ②四边形ABCD的周长为　 　,面积为　 　;  ③点A到边BC的距离为　 　.  94° 43° 90° 3 4 5 20 24 例题　如图所示,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥DC,垂足分别为点E,F,且BE= DF. (1)求证:▱ABCD是菱形; 讲重点 精准备考 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D.∵AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD=90°. 在△AEB和△AFD中,∵∠AEB=∠AFD,BE=DF,∠B=∠D, ∴△AEB≌△AFD(ASA).∴AB=AD.∴▱ABCD是菱形. (2)若AB=5,AC=6,求四边形ABCD的面积; 16 命题点　菱形的性质与判定 1.(2024攀枝花T11,5分)如图所示,在菱形ABCD中,∠C=120°,DC=4,点E为AB的中点,在对角线BD上有一动点P,则PA+PE的最小值为( ) 研真题 靶向中考 C 2.(2025凉山T17,4分)如图所示,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AC=12,BD= 16,则FG的长为　 　.  5 3.(2024广元T19,8分)如图所示,已知矩形ABCD. (1)尺规作图:作对角线AC的垂直平分线,交CD于点E,交AB于点F(不写作法,保留作图痕迹); (1)解:如图所示. (2)连接AE,CF,求证:四边形AFCE是菱形. (2)证明:如图所示,设EF与AC的交点为O. 由(1)可知,直线EF是线段AC的垂直平分线, ∴EA=EC,FA=FC,∠COE=∠AOF=90°,OA=OC. 又∵四边形ABCD是矩形,∴CD∥AB.∴∠ECO=∠FAO. 在△COE和△AOF中, ∵∠ECO=∠FAO,OC=OA,∠EOC=∠FOA, ∴△COE≌△AOF(ASA).∴EC=FA. ∴EA=EC=FA=FC.∴四边形AFCE是菱形. (2)将菱形ABCD向右平移,当点E恰好在反比例函数的图象上时,边BC与反比例函数图象交于点F,求点F到x轴的距离. 新题型 新考法 5.(2025北京模拟)图(1)是有一个内角为60°的平行四边形透明纸片,它的邻边的长分别为2m,2n(m<n).沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形,按图(2)的方式叠放在同一平面内.给出下面四个结论: ①△ABG是等边三角形;②四边形GTSH为菱形;③六边形ABCDEF是轴对称图形,不是中心对称图形;④存在m,n,使四边形GTSH的面积与△ABG的面积之比为1∶2. 上述结论中,所有正确结论的序号是( ) A.①② B.②④ C.①③ D.①②④ 图(1) 图(2) D 6.如图所示,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为　 　.  10 基础巩固 分层练 实战提能 1.(2025成都二模)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列说法正确的是( ) A.AB=AC B.∠ABC=∠BAC C.AC⊥BD D.AC=AD C 2.(2025湖南)如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平分, AB=3,则四边形ABCD的周长为( ) A.6 B.9 C.12 D.18 C B 4.新课标传统文化　 中国结象征着中华民族的历史文化与精神,小贤家有一个中国结挂饰,他想求两对边的距离,利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD,测得BD=24 cm,AC=32 cm,直线EF⊥AB交两对边于点 E,F,则EF的长为　 　cm.  5.(2024德阳旌阳区模拟)如图所示,在△ABC中,AB=BC,过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,连接CD. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC. ∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC. ∴∠ABD=∠ADB.∴AB=AD. ∵AB=BC,∴AD=BC. ∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形. 能力进阶 A 7.20世纪70年代,数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形,完成了非周期性密铺,如图所示,使用了A,B两种菱形进行了密铺,则菱形B的锐角的度数为　 　.  36° 8.(2025凉山模拟)在学习“特殊平行四边形”时,小华同学进行了这样的操作:如图所示,在▱ABCD中,作对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC, BC于点E,O,F,交CD,AB的延长线于点G,H,连接AG,CH. (1)判断四边形AGCH的形状,并说明理由; 解:(1)菱形.理由如下: 在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠HAO=∠GCO. ∵EF垂直平分AC, ∴OA=OC,∠AOH=∠COG=90°. ∴△AOH≌△COG(ASA).∴OH=OG. ∵OA=OC, ∴四边形AGCH为平行四边形. ∵AC⊥GH, ∴▱AGCH为菱形. (2)若∠BAC=60°,AC=2,求四边形AGCH的面积. 思维拓展 D 谢谢观赏！ 29 (0,1-) (2)解:如图所示,连接BD交AC于点O,∵四边形ABCD是菱形,AC=6, ∴AC⊥BD,AO=OC=AC=3,BO=DO.∵AB=5,AO=3, ∴BO===4.∴BD=2BO=8. ∴S菱形ABCD=AC·BD=×6×8=24. (3)连接EF,若∠CEF=30°,AE=2,则四边形ABCD的周长为　 　. A.4 B.2 C.2 D.2 4.(2024绵阳T23,12分)如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,边AB在x轴上,∠BAD=60°,B(-1,0),点C在反比例函数y=(k≠0)的图象上. (1)求点C,D,E的坐标及反比例函数的表达式; 解:(1)如图所示,过点D作DH⊥AB于点H. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD=4,DE=EB. ∵∠BAD=60°, ∴△ABD是等边三角形. ∵DH⊥AB, ∴AH=BH=2,DH=AH=2. ∵B(-1,0),∴OB=1.∴OH=OB+BH=3. ∴D(-3,2), C(1,2). ∵DE=EB, ∴E(-2,). ∵点C在反比例函数y=(k≠0)的图象上, ∴k=2.∴反比例函数的表达式为y=. 解:(2)对于反比例函数y=,当y=时,x=2, ∴当点E恰好在反比例函数的图象上时,点E的对应点E′(2,). ∴菱形向右平移了4个单位长度. ∴B,C的对应点分别为B′(3,0),C′(5,2). ∴直线B′C′的表达式为y=x-3. 由 解得x=或x=, ∵x>0,标为(,). ∴点F到x轴的距离为. 3.(2025泸州二模)如图所示,四边形ABCD是菱形,AC=4,DB=4,AE⊥BC于点E,则AE的长为( ) A.2 B.2 C.4 D.4 (2)AC与BD交于点O,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接EO,若EO=2,DC=5,求CE的长. (2)解:∵BO=DO,DE⊥BC, ∴OE=BD=2.∴BD=4. ∵∠BOC=∠BED=90°,∠CBO=∠DBE, ∴△BCO∽△BDE. ∴=,即=.解得CE=3. 6.(2025资阳一模)如图所示,在菱形ABCD中,AB=6,分别以点C,D为圆 心,大于CD长为半径画弧,两弧交于E,F两点,作直线EF交AD于点G,交CD于点H.若S△DGH=6,则AG的长为( ) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 解:(2)在菱形AGCH中,OA=OC=AC=1,GH=2OH,AC⊥GH, ∴在Rt△AOH中, tan∠OAH=tan 60°===, ∴OH=. ∴GH=2OH=2. ∴S菱形AGCH=AC·GH=×2×2=2. 9.(2025深圳模拟)如图所示,四边形ABCD与四边形AECF都是菱形,点E,F在BD上,已知∠BAD=120°,∠EAF=30°,则的值为( ) A. B.+1 C. D. $