第四章 三角形 2026年中考数学专题复习课件（四川）

第21节　解直角三角形 过教材 梳理知识 知识点1　锐角三角函数的概念 知识点2　特殊角的三角函数值 三角 函数 锐角α 图示 30° 45° 60° sin α 　　  cos α 　　  tan α 　　  　   　　  1 知识点3　直角三角形的边角关系 (1)三边之间的关系:a2+b2=　 　;  (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=　 　;  (3)边角之间的关系: sin A=cos B=　　;  cos A=sin B=　　;  c2 90° 微诊断 检测基础 B C 3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则sin A=　　,cos A= 　 　,tan A=　　.  4.(2025内江模拟)如图所示,在4×4正方形网格中,每个小正方形的边长为1,顶点为格点.若△ABC的顶点均是格点,则cos∠BAC的值是　 　.  15° 讲重点 精准备考 解直角三角形的方法 (1)若三角形是直角三角形,则直接应用直角三角形的边角关系和勾股定理求解; (2)若三角形是锐角三角形或钝角三角形,则通常作垂线构造直角三角形求解. 命题点1　求锐角三角函数值 1.(2023攀枝花T6,5分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,则cos A的值为( ) 研真题 靶向中考 C 2.(2023乐山T8,3分)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”,如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为25,小正方形面积为1,则sin θ的值为( ) A 3.(2024达州T8,4分)如图所示,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan ∠BCD的值为( ) B B 6.(2023绵阳T16,4分)如图所示,厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度BC=10 m,∠B=30°,则中柱AD(D为底边中点)的长为　 　m.  7.(2025南充T14,4分)如图所示,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧;再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是 　 　.  命题点3　解直角三角形中的最值问题 8.(2024南充T5,4分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6, AD平分∠CAB交BC于点D,点E为边AB上一点,则线段DE长度的最小值为 ( ) C 新题型 新考法 9.(2025深圳模拟)如图(1)所示是高铁受电弓装置,它是由两个四连杆BEDC和DFGH(这8根连杆在运动过程中长度保持不变)组成,工作原理是利用“四边形的不稳定性”,图(2)是受电弓抽象后得到的示意图.已知E,A,B是定点,HG= 1 dm,HD=8.2 dm,DC=1.1 dm,BC=4.9 dm,HG始终与AB垂直.当DB之间距离最大, H运动至最高点时,测得∠HDC=117°,∠CBP=70°,此时点G与水平直线AB的距离为(精确到0.1 dm.参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,sin 43°≈ 0.68,cos 43°≈0.73)( ) A.11.6 dm B.10.6 dm C.7.1 dm D.10.2 dm B 图(1) 图(2) D 基础巩固 分层练 实战提能 C C A 4 5.已知一次函数y=kx+3的图象如图所示,则k的值为　　.  6.如图所示,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A∶∠C=1∶2,AB=2, CD=1,求: (1)∠A,∠C的度数; 解:(1)在四边形ABCD中, ∵∠B=∠D=90°, ∴∠A+∠C=180°. 又∠A∶∠C=1∶2, ∴∠A=60°,∠C=120°. (2)AD,BC的长度. 解:(2)延长AD与BC,两延长线交于点E,如图所示. ∵∠B=90°,∠A=60°, ∴∠E=30°. 在Rt△CDE中,CD=1, ∴CE=2CD=2. 能力进阶 7.如图所示,在等边三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC, EF⊥AB,FD⊥BC,若△ABC的面积为48,则△DEF的面积为　 　.  16 8.(2025宜宾模拟)如图所示,在凸四边形ABCD中,AB=4,AD=5,BC=CD, ∠BAD=60°,连接AC,当∠BCD=120°时,对角线AC的长为　 　.  0.7 思维拓展 C 谢谢观赏！ 32 正弦 sin A==　　  余弦 cos A==　　  正切 tan A==　　  tan A==　 　.  1.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,sin B=,则BC的长是( ) A.3 B.6 C.8 D.9 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边长都放大2倍,则sin A的值( ) A.缩小为 B.放大2倍 C.不变 D.无法确定 5.(2025凉州模拟)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,已知 ∠BDC=45°,BD=10,AB=20,则∠ABD的度数为　 　.  例题　如图所示,在△ABC中,BC=12,tan A=,∠B=30°,求AC和AB的长. 解:如图所示,过点C作CH⊥AB于点H. 在Rt△BCH中,∵BC=12,∠B=30°, ∴CH=BC=6,BH=BC·cos 30°=6. 在Rt△ACH中,tan A==, ∴AH=8.∴AC===10. ∴AB=AH+BH=8+6. A. B. C. D. A. B. C. D. A.2 B.2 C. D.3 4.(2023内江T23,6分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为　 　.  命题点2　解直角三角形 5.(2025自贡T11,4分)如图所示,在平面直角坐标系中,将△ABO平移,得到△EFG,点E,F在坐标轴上.若∠A=90°,tan B=,A(-4,3),则点G的坐标为( ) A.(11,-4) B.(10,-3) C.(12,-3) D.(9,-4) A. B. C.2 D.3 10.(2025宿迁模拟)如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P,Q同时从点B出发,点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是每秒1个单位长度.设点P,Q同时出发t s时,△BPQ的面积为S,已知S与t的函数关系图象如图(2)所示(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:①BE=AD=5;②cos ∠AEB=;③当0≤t≤5时,S=t2;④当t=9时,S=5;⑤当t=时,△ABE与△QBP相似.其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,如果BD=9,DC=5,cos B=,E为AC的中点,那么sin ∠EDC的值为( ) A. B. C. D. 2.(2025南充模拟)如图所示,在△ABC中,AC=BC,cos C=,则sin B的值为 ( ) A. B. C. D.不能确定 3.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点D,E,再分别以点D,E为圆心,大于DE长为半径作弧,两弧交于点F,作射线AF,交BC于点G,若BG=2,则AC的长为( ) A.4 B.2 C.3 D.3 4.(2025乐山模拟)如图所示,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,cos C=,则AB边的长为　 　.  根据勾股定理得DE==, 在Rt△ABE中,AB=2, ∴AE=2AB=4. 根据勾股定理得BE==2, 则AD=AE-DE=4-,BC=BE-CE=2-2. 3 9.(2025成都模拟)如图所示,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,动点E从A出发沿射线AD以1 cm/s的速度运动,同时动点F从C出发沿射线DC以 cm/s的速度运动,G为EF的中点,连接CG,则CG的最小值为　 　cm.  10.(2025广元)如图所示,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,O是AC的中点,BO=2DO,已知AB=4,AD=2,tan ∠ACD=,则AC的长为　 　.  11.(2025绵阳模拟)如图所示,在▱ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,sin ∠BAE=,AB=BC,若△CEF的周长为8,则AE的长为( ) A.3 B. C.4 D. $第17节　一般三角形及其性质 过教材 梳理知识 知识点1　三角形的分类 直角 等腰 等边 知识点2　三角形的有关性质 1.三角形的三边关系定理 三角形的两边之和　 　第三边,三角形的两边之差　 　第三边.  只需要判断两条较短线段的长度之和是否大于最长线段,即可判断三条线段能否构成一个三角形. 大于 小于 2.三角形具有稳定性. 3.与三角形的角有关的定理 (1)内角和定理:三角形三个内角的和等于　 　;  (2)三角形三个外角的和等于　 　;  (3)内外角关系:三角形的一个外角等于与它　 　的两个内角的和,并且大于其中任何一个与它　 　的内角.  180° 360° 不相邻 不相邻 知识点3　三角形中的重要线段 DC BC S△ADC S△ABC 90° DAC BAC 微诊断 检测基础 1.若长度分别是a,3,5的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 2.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=50°,∠C=90°,线段AD是∠CAB的平分 线,则∠ADB的度数为( ) A.80° B.100° C.110° D.150° C C 3.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.如图所示,要测量被池塘隔开的A,B两点的距离,先在池塘外选一点C,连接AC,BC,然后分别找出它们的中点D,E,连接DE.测得AC=42 m,BC=64 m, DE=26 m,根据给定的条件,推断AB的长为( ) A.42 m B.52 m C.56 m D.64 m C B 5.(2025乐山)如图所示,∠1的度数为　 　.  100° 7.如图所示,在△ABC中,AE为边BC上的高,点D为边BC上的一点,连接AD. (1)若点D为边BC的中点,AE=5,△ABC的面积为30,求CD的长; (2)若AD平分∠BAC,∠C=68°,∠B=36°,求∠DAE的度数. 命题点1　三角形的三边关系 1.(2024乐山模拟)一木工有两根长分别为30 cm和50 cm的木条,要另找一根木条,钉成一个三角木架,记第三根木条的长度为x cm,则x的取值范围是( ) A.30<x<50 B.50<x<80 C.20<x<50 D.20<x<80 2.(2022德阳T7,4分)某中学九(2)班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km.那么杨冲,李锐两家的直线距离不可能是( ) A.1 km B.2 km C.3 km D.8 km 研真题 靶向中考 D A 命题点2　三角形的重要线段 3.(2025南充模拟)如图所示,在Rt△ABC中,AB=AC=5,AE=AF=2,G,H分别是BF,CE的中点,则GH的长为　 　.  4.(2025泸州模拟)如图所示,点A,B,C分别是线段BD,CE,AF的中点,若△DEF的面积为a,则△ABC的面积为　　(用含a的式子表示).  命题点3　三角形内角与外角的应用 5.(2025南充模拟)如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD于点D.若∠DAC=20°,∠C=38°,则∠ABD的度数为( ) A.28° B.29° C.31° D.32° D 新题型 新考法 7.(2025珠海模拟)如图所示,△ABC的中线BD,CE相交于点F,点M,N分别是BF,CF的中点,连接MN,DN,已知△BEF的面积为4,则△MND的面积为　 　. 4 基础巩固 分层练 实战提能 1.(2025成都模拟)下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.3,3,6 B.3,5,10 C.4,6,9 D.4,5,9 2.(2025资阳)三角形的周长为48 cm,则它的三条中位线组成的三角形的周长是( ) A.12 cm B.24 cm C.28 cm D.30 cm C B 3.(2025南充模拟)如图所示,将△ABC沿过点C的直线MN翻折得 △A′B′C,若∠ACA′=∠BCB′=100°,∠A=32°,则∠B的度数为( ) A.68° B.64° C.58° D.50° A 4.(2025福建)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质,用一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中点A,E,C,F在同一条直线上,∠BAC=∠EDF= 90°,∠B=45°,∠DEF=60°.当AD∥BC时,∠ADE的度数为( ) A.5° B.15° C.25° D.35° B 5.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且AD,AE,BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线,且AD与BF相交于点G,下列结论不一定正确的是( ) A.∠BAD=∠C B.∠AGF=∠AFG C.S△ABE=S△AEC D.AC-AE<DE D 6.我国建造的港珠澳大桥全长55 km,集桥、岛、隧于一体.如图所示,这是港珠澳大桥中的斜拉桥,那么你能推断出斜拉桥中运用的数学原理是　 　.  三角形具有稳定性 7.如图所示,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则△ABD的面积是　 　.  2 8.四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化,当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为　 　.  4 9.如图所示,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,点C为AE延长线上一点,点D为AB边上一点,DC交BE于点F,若∠ADC=80°,∠B=30°,求∠C的度数. 解:在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠B=30°, ∴∠A=90°-∠B=60°. 在△ADC中,∠A=60°,∠ADC=80°, ∴∠C=180°-60°-80°=40°. 能力进阶 10.如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠,使得点A与点P重合,若∠1+∠2=80°,则∠BPC的度数是( ) A.100° B.110° C.120° D.130° B 11.如图所示,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,AB=36 cm,BC=24 cm, S△ABC=144 cm2,则DE的长是　 　.  4.8 cm 12.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是　　.  10° 思维拓展 14.(2024达州)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠BAD=45°,若AC=4,CD=1,则△ABC的面积是　 　.  谢谢观赏！ 30 重要线段 图示 字母表示及重要结论 中线 (AD是中线) (1)BD=　 　=　 　;  (2)S△ABD=　 　=　 　  高 (AD是边BC上的高) (1)AD⊥BC,即∠ADB=∠ADC=　 　; (2)S△ABC=　　   BC·AD 角平 分线 (AD是角平分线) (1)∠BAD=∠　 　=∠　 　;  (2)点D到AB和AC的距离相等; (3)==; (4)三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心 中 位 线 (DE是中位线) (1)AD=DB,AE=EC; (2)DE∥BC,且DE=　 　BC  6.如图所示,在△ABC中,AD是中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若AB=6,AC=4,则的值为　 　.  解:(1)∵AE⊥BC,∴S△ABC=BC·AE=30. ∵AE=5,∴BC=12. ∵D是BC的中点,∴CD=BC=6. 解:(2)∵∠C=68°,∠B=36°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=76°. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠BAC=38°. ∴∠ADE=∠B+∠BAD=74°. ∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=16°. 6.(2024达州T14,4分)如图所示,在△ABC中,AE1,BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分线,且∠E1AD=∠CAB,∠E1BD=∠CBD,在△ABE1中,AE2,BE2分别是内角∠E1AB,外角∠E1BD的三等分线,且∠E2AD=∠E1AB,∠E2BD= ∠E1BD,…,以此规律作下去,若∠C=m°,则∠En的度数为　　 .  ()° 13.如图所示,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,AD是高,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点E,再分别以B,E为圆心,大于BE的长为半径画弧,两弧在∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF的度数为　 　. $第20节　特殊三角形及其性质 过教材 梳理知识 知识点1　等腰三角形 图形 性质 (1)等腰三角形的两腰相等(图中AB=AC); (2)等腰三角形的两个底角　 　(简称“等边对等角”,图中∠B=　 　);  相等 ∠C 平分线 中线 高 一 相等 等边 知识点2　等边三角形 性质 具有等腰三角形的所有性质 三边　   三个角　 　,且每个角都等于　 　  是轴对称图形,有 　 　条对称轴  相等 相等 60° 三 60° 知识点3　直角三角形 直角三角形的性质 直角三角形的判定 (1)直角三角形的两个锐角　 　; (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的　 　;  (3)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的　 　;  (4)勾股定理:在直角三角形中,两条直角边a,b的　 　等于斜边c的　 　,即　 　  (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形(定义); (2)两个锐角　 　的三角形是直角三角形;  (3)勾股定理的逆定理:如果三角形的两边的　 　等于第三边的　 　,那么这个三角形是直角三角形  互余 一半 一半 平方和 平方 a2+b2=c2 互余 平方和 平方 微诊断 检测基础 1.如图所示,△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,延长AB到点E,连接DE,AC=4. (1)∠CAD的度数为　 　;  (2)若BD=BE. ①AE的长为　 　;  ②∠ADE的度数为　 　;  (3)若F是AC的中点,连接DF,则△AFD是　 　三角形,△CFD是　 　三角形;(均按边分类)  (4)△ABC的面积是　 　.  30° 6 120° 等腰 等边 2.如图所示,在Rt△ABC中,AD是高,AE是中线,EF垂直平分AB交AB于点F,∠ACD的平分线CP交AD于点P. (1)若△AEF的面积是2,BC=8,则△ABE的面积是　　,△ABC的面积是　 , AD=　 　;  (2)若AB=6,BC=8,则△ABE的周长是　 　;  (3)若∠ACB=60°,则∠DAC=　 　,∠PCD=　 　;  (4)若PD=1,AC=2,则△APC的面积是　 　;  (5)若AC=2,则EF=　　,EF　 　AC(位置关系).  4 8 2 14 30° 30° 1 1 ∥ 3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,E为BC上一点,且∠BAE=25°, ∠CDE=65°,AE=2,DE=3,求AD的长. 一、构造等腰三角形解决倍角问题 例1　(1)模型研究　如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,点D为边BA延长线上一点,且∠C=n°,则∠CAD=　 　°;  (2)模型应用　如图(2)所示,在△ABC中,∠ABC=2∠ACB.若AB=3,BC=5,求AC的长. 讲重点 精准备考 2n 条件 在△ABC中,∠ABC=2∠C 作法 作2倍角的平分线:作∠ABC的平分线BD 内作双等腰:过点A作∠DAC=∠C 外作双等腰:延长CB至点D,使得BD=BA,连接AD 结论 △BCD是等腰三角形 △ABD与△ADC是等腰三角形 △ABD与△ADC是等腰三角形 二、三角形的特殊线段问题 例2　如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC的平分线交CD的延长线于点E,F是BE的中点,连接CF并延长交AD于点G. (1)求证:BC=EC; (2)若∠ADE=110°,∠ABC=52°,求∠CGD的度数. 例3　如图所示,在△ABC中,D是AB边上任意一点,E是CD的中点,点F在BE上,且BF=2EF.若△ABC的面积是8,求△ABF的面积. 命题点1　等腰三角形的性质与判定 1.(2025广安T14,4分)如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°, AB=AC=4,D是BC边上的一个动点,连接AD,则AD的最小值为　 　.  研真题 靶向中考 C 3.(2025资阳T14,4分)如图所示,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是 　.  (答案不唯一) ∠B=60° 命题点3　直角三角形 4.(2024成都T22,4分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的一条角平分线,E为AD中点,连接BE.若BE=BC,CD=2,则BD的长为　 　.  新题型 新考法 5.(2025龙东)如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,点D,E分别在边AB和BC上,且AD=4,CE=3,连接DE,点M,N分别是AC,DE的中点,连接MN,则MN的长度为( ) A 基础巩固 分层练 实战提能 1.(2025陕西)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC于点E,则图中与∠A互余的角共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C 2.(2025绵阳模拟)如图所示,AB∥CD,AD=CD,∠1=65°,则∠2的度数是 ( ) A.50° B.60° C.65° D.70° 3.(2025四川模拟)如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若 ∠A=26°,则∠BDC的度数是( ) A.26° B.38° C.42° D.52° A D 4.(2025成都模拟)如图所示,在△ABC中,D是AC的中点,且BD⊥AC, ED∥BC,ED交AB于点E,BC=7 cm,AC=6 cm,则△AED的周长等于　 　cm.  5.如图所示,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=30°,AD与CE是△ABC的两条高,点F是AC的中点,连接EF,若AD=3,则EF的长为　 　.  10 3 能力进阶 7.(2025乐山)如图所示,在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=60°,AC=2. (1)求AB的长; 图① (2)求点C到线段AB的距离. 图② 思维拓展 8.(2025成都模拟)如图所示,在等边三角形ABC中,AB=6,点D是等边三角形ABC外一点,连接BD,CD,在线段BD上取一点E,使得CD=2BE,连接CE,若∠A=∠D,则CE长度的最小值为　 　.  谢谢观赏！ 30 性质 (3)等腰三角形的顶角　 　、底边上的　 　、底边上的　 　重合(简称“三线合一”);  (4)等腰三角形是轴对称图形,有　 　条对称轴;  (5)面积:图中S△ABC=BC·AD 判定 (1)有两边　 　的三角形是等腰三角形(定义);  (2)等角对   判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形; (2)三个角都相等的三角形是等边三角形; (3)有一个角是　 　的等腰三角形是等边三角形  面积 S=　 　=　  (h=a)[h是任意边(长为a)上的高]  ah a2 4 解:如图所示,作EF∥AB,交AD于点F. ∵AB∥CD, ∴EF∥AB∥CD. ∴∠BAE=∠AEF=25°,∠DEF=∠CDE=65°. ∴∠AED=∠AEF+∠DEF=25°+65°=90°. ∴△ADE是直角三角形. 又∵AE=2,DE=3, ∴AD2=AE2+DE2=22+32=13.∴AD=. 解:(2)如图所示, 以A为圆心,AB长为半径画弧交BC于点D,作AE⊥BC于点E, ∴AD=AB.∴∠ADB=∠B=2∠C. ∴∠C=∠CAD,∴CD=AD=AB=3. ∴BD=BC-CD=5-3=2. ∴DE=BE=BD=1.∴CE=DE+CD=4. ∴AE2=AD2-DE2=32-12=8. ∴AC===2. (1)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF=∠ABC. ∵AB∥CD,∴∠ABF=∠E.∴∠CBF=∠E.∴BC=EC. (2)解:∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°. ∵∠ABC=52°,∴∠BCD=128°. ∵F是BE的中点,BC=CE,∴CG平分∠BCD.∴∠GCD=∠BCD=64°. ∵∠ADE=110°,∠ADE=∠CGD+∠GCD,∴∠CGD=110°-64°=46°. 解:如图所示,连接AE, ∵BF=2EF,∴S△ABF=S△ABE. ∵S△ABE=S△ADE+S△BDE,∴S△ABF=(S△ADE+S△BDE). ∵E是CD的中点,△ABC的面积是8, ∴S△ADE=S△ADC,S△BDE=S△BDC. ∴S△ABF=(S△ADC+S△BDC). ∴S△ABF=(S△ADC+S△BDC). ∴S△ABF=S△ABC=. 2 命题点2　等边三角形的性质与判定 2.(2023绵阳T8,3分)如图所示,在等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,延长BC至点E,使CE=CD,若DE=4,则AB的长为( ) A.4 B.6 C.8 D.8 A. B. C.2 D. 6.(2025南充模拟)如图所示,D是等边三角形ABC中边BA延长线上一点,E是边BC上一点,DE=DC.若BD+BE=6,CE=2,则等边三角形ABC的边长是 　 　.  解:(1)如图①所示,过点A作BC的垂线,垂足为点D,则∠ADC=∠ADB=90°. ∵在Rt△ADC中,∠ACB=60°,AC=2, ∴CD=1,AD=AC×sin∠ACD=. ∵∠B=45°,∴∠DAB=90°-∠B=45°=∠B. ∴DB=DA=.∴AB==. 解:(2)如图②所示,过点C作CE⊥AB于点E. ∵DC=1,DB=,∴BC=DB+DC=1+. ∵BC×AD=AB×EC, ∴CE===. ∴点C到线段AB的距离为. - $第19节　相似三角形(含位似) 过教材 梳理知识 知识点1　比例与成比例线段 1.比例的基本性质 2.平行线分线段成比例 (1)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例; (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段　 　.  成比例 0.618 知识点2　相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的判定 判定1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形　   判定2 三边对应成比例的两个三角形　   判定3 两边对应成比例且　 　相等的两个三角形相似  判定4 两角分别　 　的两个三角形相似  相似 相似 夹角 相等 2.相似三角形的判定思路 3.相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应角　 　,对应边成　 　  性质2 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于　   性质3 相似三角形周长的比等于　 　,面积的比等于相似比的　 　  相等 比例 相似比 相似比 平方 知识点3　相似多边形 概念 两个边数相同的多边形,如果它们的角分别　 　,边　 　,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比  性质 (1)相似多边形的对应角　 　,对应边　 　;(2)相似多边形的周长比等于　 　,面积比等于　 　  相等 成比例 相等 成比例 相似比 相似比的平方 知识点4　图形的位似 1.定义:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过　 　,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 2.性质: (1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比; (2)一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(　 　)或(　 　).  同一个点 kx,ky -kx,-ky 微诊断 检测基础 1.【北师大九上P79随堂练习T3变式】若a,b,b,c是成比例的线段,其中a=3,c=12,则线段b的长为( ) A.2 B.4 C.6 D.15 C A 3.如图所示,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器板面上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,C,D之间的距离为　 　cm(结果保留根号).  4.如图所示,已知六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2∶1. (1)∠E=∠　 　;  (2)BC=　 　HI;  (3)S六边形ABCDEF=　 　S六边形GHIJKL.  K 2 4 5.(2025内江模拟)如图所示,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上, ∠ACD=∠ABE. (1)求证:△ABC∽△AEB; (1)证明:∵四边形ABCD为菱形, ∴BC=AB,AB∥CD. ∴∠BAC=∠BCA,∠ACD=∠BAC. ∴∠BCA=∠ACD.∵∠ACD=∠ABE, ∴∠ABE=∠BCA. ∵∠BAC=∠BAE,∴△ABC∽△AEB. (2)当AB=6,AC=4时,求S△BCE. 命题点1　比例的性质 研真题 靶向中考 4 -1或2 命题点2　平行线分线段成比例 3.(2025乐山T6,3分)如图所示,l1∥l2∥l3,AB=2,DE=3,BC=4,则EF的长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 B A C 命题点4　位似 6.(2025眉山T7,4分)如图所示,在4×3的方形网格中,每个小正方形的边长均为1,将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△OAB与 △OCD的周长之比是( ) A.2∶1 B.1∶2 C.4∶1 D.1∶4 B 7.(2025宜宾模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C′的坐标为　 　(结果用含a,b的式子表示).  (6-2a,-2b) 基础巩固 分层练 实战提能 1.(2025南充一模)已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是( ) A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 2.(2025成都二模)如图所示,已知∠B=30°,∠D=130°,△ABC∽△DAC,则∠BCD的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.60° B B 3.(2025重庆模拟)如图所示,△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形,且OD∶OA=2∶3,若EF=8,则BC的长度为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 C 5.(2025成都模拟)如图所示,△ABC≌△DAE,点A,C,E在同一条直线上,AD交BC于点F,BC∥DE.若AC=5,CF=3,则BF的长为　　.  6.如图(1)所示,AD为△ABC的中线,点E在AD上,且∠CED=∠BAD. (1)求证:AB=CE; 证明:如图所示,延长AD到点F,使DF=AD,连接CF. ∵AD为△ABC的中线, ∴CD=BD.在△ADB与△FDC中,CD=BD,∠ADB=∠FDC,AD=FD,∴△ADB≌△FDC(SAS). ∴CF=BA,∠F=∠BAD. ∵∠CED=∠BAD,∴∠CED=∠F. ∴CE=CF.∴AB=CE. (2)如图(2)所示,连接BE,若BC=AC=2DE,∠ABE=14°,求∠DAC的度数. (2)解:∵2DE=BC,AD为△ABC的中线, ∴DE=BD=DC.∴∠DEB=∠DBE. ∴∠ABC=∠DBE+∠ABE=∠DEB+14°. ∵∠DEB=∠DAB+∠ABE,∴∠DAB=∠DEB-14°. ∵AC=CB,∴∠CAB=∠ABC=∠DEB+14°. ∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=28°. 能力进阶 B 8.(2025绵阳)如图所示,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,BE,CF交于点G,AB∶AD=2∶3,则BG∶GE等于( ) A.3∶1 B.3∶2 C.5∶2 D.7∶3 A 10.(2025成都模拟)在数学活动课上,老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动,探究与角的度数、线段长度有关的问题.对直角三角形纸片ABC(∠BAC=90°)进行如下操作: 【初步探究】(1)如图(1)所示,折叠三角形纸片ABC,使点C与点A重合,得到折痕DE,然后展开铺平,则AB与DE的位置关系为　 　,AB与DE的数量关系为　 　;  DE∥AB 【拓展提升】(3)在(2)的条件下,在顺时针旋转一周的过程中,当CN∥AB时,求AM的长. 图① 图② 思维拓展 5 谢谢观赏！ 36 如果=(b≠0,d≠0),那么ad=bc; 如果ad=bc,那么=　 　(b≠0,d≠0).  3.黄金分割:如图所示,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC).如果==　　 ≈　 　,那么点C叫做线段AB的黄金分割点.  2.【北师大九上P112习题T7变式】如图所示,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,△ADE∽△ABC,且相似比为3∶5,则的值为( ) A. B. C. D. (80-160) (2)解:如图所示,连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD为菱形,AC=4, ∴AC⊥BD,OA=AC=2. ∵AB=6, ∴OB===4. ∵△ABC∽△AEB, ∴=,即=. ∴AE=9.∴CE=AE-AC=5. ∴S△BCE=CE×OB=×5×4=10. 1.(2025成都T9,4分)若=3,则的值为　 　.  2.(2025成都模拟)若===k,则k的值为　 　.  4.(2025成都模拟)如图所示,E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点,CE交AD于点F.下列各式中,错误的是( ) A.= B.= C.= D.= 命题点3　相似三角形的判定与性质 5.(2025宜宾T10,4分)如图所示,一张锐角三角形纸片ABC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=2DB,沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分,则的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.(2025烟台)如图所示,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(6,),△ABC的顶点A的坐标为(4,3).以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似,相似比为2,且与△ABC位于点P同侧;以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似,相似比为2,且与△A1B1C1位于点P同侧……按照以上规律作图,点A3的坐标为　 　.  (-10,) 4.(2025内江模拟)若=,则的值为　 　.  7.(2025南充模拟)如图所示,在矩形ABCD中,E是边BC上一动点,∠AEF= 90°,=,=,则的值为( ) A. B. C. D.2 9.(2025成都模拟)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,AC为对角线,BE⊥AC于点E,CF∥BE,=,则S△BCE∶S△ACF的值为　 　.  DE=AB 【再次探究】(2)如图(2)所示,将△CDE绕点C顺时针旋转得到△CMN,连接BM,AN,若BC=5,AB=3,求的值; 解:(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得 AC==4,由(1)可得==, ∴CD=BC=2.5.由旋转的性质可得CM=CD=2.5,CN=CE=AC=2,NM=DE=, ∠ACB=∠NCM,∴∠ACN=∠BCM.∵==,∴△ACN∽△BCM.∴==. 解:(3)如图①所示,当CN∥AB时,延长MN交AB于点T, ∵CN∥AB,∴∠ACN=180°-∠BAC=90°.又∵∠BAC=∠CNT=90°, ∴四边形ACNT是矩形.∴NT=AC=4,∠ATM=90°,AT=CN=2. ∴TM=NT+MN=.在Rt△ATM中,由勾股定理得AM==. 如图②所示,当CN∥AB时,过点M作MH⊥AC于点H, ∵CN∥AB,∴∠ACN=∠BAC=90°. 又∵∠CNM=∠CHM=90°, ∴四边形CHMN是矩形.∴CH=MN=,HM=CN=2.∴AH=AC-CH=. 在Rt△AHM中,由勾股定理得AM==.综上所述,AM的长为或. 11.(2025成都模拟)如图所示,四边形ABCD对角线AC,BD交于点E, ∠ADB=90°,∠DAE+2∠ACB=90°,若DE=1,AB=2,点E恰好在AB的中垂线上,则EC的长为　 　.  $第22节　解直角三角形的实际应用 过教材 梳理知识 知识点　解直角三角形的应用 仰角、俯角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫做　 　,视线在水平线下方的角叫做　 　  坡度、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线的夹角α叫做坡角,i=tan α= 　　(如图所示)  仰角 俯角 方位角 如图所示,A点位于O点的北偏东　 　方向,B点位于O点的　 　60°方向,C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向) 30° 南偏东 微诊断 检测基础 A 2.为出行方便,越来越多的市民使用起了共享单车,图(1)为某单车实物图,图(2)为该单车示意图,AB与地面平行,坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE=70°,车轮半径为30 cm,当BC=60 cm时,小明体验后觉得骑着比较舒适,此时坐垫C离地面高度约为　 　cm(结果精确到1 cm,参考数据: sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.74).  86 60 命题点　解直角三角形的实际应用 研真题 靶向中考 新题型 新考法 3.(2024成都T16,8分)中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短,冬至时日影最长,春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索,如图所示,在示意图中,产生日影的杆子AB垂直于地面,AB长8尺.在夏至时,杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC;在冬至时,杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD.已知∠ACB=73.4°,∠ADB= 26.6°,求春分和秋分时日影长度(结果精确到0.1尺.参考数据:sin 26.6°≈ 0.45,cos 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50,sin 73.4°≈0.96,cos 73.4° ≈0.29,tan 73.4°≈3.35). 基础巩固 分层练 实战提能 A D B 4.(2025南充模拟)如图所示,某摩天轮的半径OA为20 m,轮子的中心O距离地面28 m.小伟乘坐的座舱从最低点A处上升至点B处,若∠AOB=60°,则点B处距离地面　 　m.  18 能力进阶 5.(2025绵阳模拟)如图所示,有甲、乙两座建筑物,从甲建筑物点A处测得乙建筑物点D的俯角α为45°,点C的俯角β为58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6 m,则甲建筑物的高度AB约为 (sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)( ) A.14 m B.15 m C.16 m D.17 m C (1)求平台BN的高度; (2)求建筑物的高度(即CD的长). 思维拓展 (1)求圆心角∠PON的度数; 谢谢观赏！ 28 1.如图所示,在坡角为α的山坡上有A,B两棵树,两树间的坡面距离AB=6 m,则这两棵树的竖直距离BC可表示为( ) A.6sin α m B. m C.6cos α m D. m 3.如图所示,小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB=30°,测量这栋高楼底部的俯角∠DAC=60°,热气球与高楼的水平距离AD=15 m,则这栋高楼的高BC为　 　m.  4.【北师大九下P26复习题T18变式】如图所示,在一条笔直的高速公路l上有A,B两个观测站,AB=2 100 m,从A站测得文物保护点C在其北偏东45°方向上,从B站测得文物保护点C在其北偏东23°方向上,若现在想修建一个以文物保护点C为中心,半径为3 000 m的文物观赏园,试问公路l是否在文物观赏园的范围内(参考数据:sin 23°≈0.4,cos 23°≈0.9,tan 23°≈0.4,≈1.4). 解:如图所示,过点C作CD⊥l于点D, 设CD=x m, 在Rt△ACD中,∠CAD=45°,∴AD=CD=x m. 在Rt△BCD中,∠BCD=23°,tan∠BCD=, ∴BD=CD·tan∠BCD≈0.4x. ∵AD-BD=AB, ∴x-0.4x=2 100.∴x=3 500. ∵3 500>3 000,∴公路l不在文物观赏园的范围内. 1.(2025成都T16,8分)在综合与实践活动中,某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离.如图所示,无人机从西门A处垂直上升至C处,在C处测得东门B的俯角为30°,然后沿AB方向飞行60 m到达D处,在D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45, tan 63.4°≈2.00,≈1.73). 解:由题意,得∠CAB=∠ACD=90°,∠ABC=30°,CD=60 m. 在Rt△ACD中,AC=CD·tan 63.4°≈120 m; 在Rt△ABC中, AB==120≈207.6(m). 答:校园西门A与东门B之间的距离约为207.6 m. 2.(2025广安T17,8分)随着科技的发展,无人机在实际生活中应用广泛.如图所示,O,C是同一水平线上的两点,无人机从O点竖直上升到A点,在A点测得C点的俯角为30°,A,C两点的距离为24 m.无人机继续竖直上升到B点,在B点测得C点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(结果精确到0.1 m.点O,A,B,C在同一平面内,参考数据:sin 36.9°≈0.60,cos 36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75,≈1.73). 解:由题意,得∠AOC=90°,∠ACO=30°,∠BCO=36.9°,AC=24 m. 在Rt△AOC中,∠ACO=30°,AC=24 m, ∴AO=AC=12 m,OC===12(m). 在Rt△BOC中,∠BCO=36.9°, ∴BO=CO·tan∠BCO=CO·tan 36.9°≈12×0.75=9(m). ∴AB=BO-AO=9-12≈9×1.73-12=3.57≈3.6(m). 答:无人机从A点到B点的上升高度AB为3.6 m. 解:∵∠ACB=73.4°,杆子AB垂直于地面,AB长8尺. ∴tan∠ACB=,即BC≈≈2.39(尺). ∵∠ADB=26.6°, ∴tan∠ADB=,即BD≈=16(尺). ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数. ∴春分和秋分时日影长度为≈9.2(尺). 答:春分和秋分时日影长度约为9.2尺. 1.(2025南充模拟)如图所示,将教室两扇窗户向外推开相同的角度,形成通风的缝隙CD,已知AC=BD=AB=1 m,∠CAB=∠DBA=45°,则缝隙CD宽为( ) A.(2-)m B. m C.(1-)m D. m 2.(2025绵阳模拟)一座楼梯的示意图如图所示,BC是铅垂线,CA是水平线,BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4 m,楼梯宽度为3 m,则地毯的面积至少需要( ) A. m2 B.(4+4tan θ)m2 C.3(4+)m2 D.3(4+4tan θ)m2 3.如图所示,拦水坝的横断面为梯形ABCD,AF=DE=6 m,斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比,则斜坡AB的长为( ) A.13 m B.3 m C.3 m D.11 m 6.(2025资阳)如图所示,已知水平地面AM上方有一个平台BN,该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°,在B处测得C的仰角为60°,斜坡AB的坡度i=1∶3,AB=10 m,CD⊥BN(点A,B,C,D在同一竖直平面内). 解:(1)如图所示,过点B作BE⊥AM于点E, 则∠AEB=90°. ∵斜坡AB的坡度i==,∴AE=3BE. ∵在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2, 即(3BE)2+BE2=(10)2. ∴BE=10 m. ∴平台BN的高度是10 m. 解:(2)如图所示,延长CD交AM于点F. ∵CD⊥BN,BN∥AM,∴CD⊥AM. ∴四边形BDFE是矩形. ∴DF=BE=10 m,BD=EF. 设CD=x m,则CF=CD+DF=(x+10)(m). ∵在Rt△ACF中,∠CAF=30°, ∴AF===(x+10)(m). ∵在Rt△BCD中,∠CBD=60°, ∴BD===x(m).∴EF=BD=x m. 由(1)有AE=3BE=3×10=30(m), ∵AF=AE+EF,∴(x+10)=30+x,解得x=15-15. ∴CD=(15-15) m, 即建筑物的高度(即CD的长)为(15-15)m. 7.(2025宜宾)如图所示,扇形PON为某运动场内的投掷区,所在圆的圆心为O,点A,B,N,O在同一直线上.直线AP与所在☉O相切于点P,此时测得∠PAO=45°;从点A处沿AO方向前进8.0 m到达B处.直线BQ与所在 ☉O相切于点Q,此时测得∠QBO=60°(参考数据:≈1.41,≈1.73,π≈3.14). 解:(1)∵直线AP与所在☉O相切于点P, ∴∠APO=90°. ∵∠PAO=45°, ∴∠PON=90°-∠PAO=45°. (2)求的弧长(结果精确到0.1 m). 解:(2)∵直线BQ与所在☉O相切于点Q, ∴∠BQO=90°. ∵∠QBO=60°,∴cos∠QBO=cos 60°==. 设BQ=x,BO=2x, ∴OQ=OP==x. ∵AB=8.0 m,∴AO=AB+BO=(8.0+2x)m. ∵在Rt△APO中,∠A=45°,∴sin A=sin 45°==. ∴=,解得x=(4+8)m. ∴OP=×(4+8)=(12+8)m. ∴的弧长为≈24.1(m). 答:的弧长约为24.1 m. $第四章　三角形 第16节　线段、角、相交线与平行线(含命题) 过教材 梳理知识 知识点1　直线、射线、线段 直线的基本事实 两点确定　 　条直线  线段的基本事实 两点之间,　 　最短  两点的距离 连接两点间的线段的　 　,叫做这两点的距离  线段的中点 把一条线段分成相等的两条线段的点 一 线段 长度 知识点2　角(常考点) 1.角的分类(α为角的大小): 锐角 直角 钝角 平角 周角 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° α=180° α=360° 2.角的换算:1周角=　 　°,1平角=　 　°,1°=　 　′,1′= 　 　″(角的度、分、秒是60进制).  360 180 60 60 3.角的平分线的概念:一般地,从一个角的顶点出发,把一个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.如图所示,OC平分∠AOB,则∠AOC= 　 　.  ∠COB 4.余角和补角 余 角 定义 如果两个角的和等于　 　,那么这两个角互为余角  性质 同角或等角的余角　   补 角 定义 如果两个角的和等于　 　,那么这两个角互为补角  性质 同角或等角的补角　   90°(直角) 相等 180°(平角) 相等 知识点3　相交线与平行线 1.相交线 对顶角 特征 有公共顶点,角的两边互为反向延长线 性质 对顶角　   邻补角 有公共顶点,有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角 三线 八角 同位角:∠1和∠5,∠4和∠8,∠2和∠6,∠3和∠7; 内错角:∠3和∠5,∠4和∠6; 同旁内角:∠3和∠6,∠4和∠5 相等 2.垂线的性质 (1)性质1:在同一平面内,过一点有且只有　 　条直线与已知直线垂直. (2)性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,　 　最短. 3.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的　 　的长度,叫做点到直线的距离.  4.垂直平分线的概念:经过线段　 　并且　 　这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.  一 垂线段 垂线段 中点 垂直于 5.平行线的性质与判定 (1)平行公理:经过直线外一点,　 　一条直线与这条直线平行.  (2)如果b∥a,c∥a,那么　 　.  (3)性质与判定 ①同位角相等 两直线　 　;  ②内错角相等 两直线　 　;  ③同旁内角互补 两直线　 　.  有且只有 b∥c 平行 平行 平行 知识点4　角的平分线、线段的垂直平分线的性质与判定 项目 角的平分线 线段的垂直平分线 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离　   线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离　   判定 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在角的 　 　上  到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的　 　上  相等 相等 平分线 垂直平分线 知识点5　命题与定理 1.命题 判断一件事情的语句叫做命题,它包括条件和结论两部分.如果条件成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.条件成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题. 2.互逆命题 两个命题的条件、结论正好相反,我们就把这样的两个命题叫做互逆 命题. 3.判断一个命题是真命题需要经过推理,判断一个命题是假命题,只要举出一个　 　,它符合命题的条件,但不满足结论就可以了.  4.反证法 假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立. 例子(反例) 微诊断 检测基础 1.如图所示是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹,表示该运动员成绩的是( ) A.线段AP1的长 B.线段BP1的长 C.线段CP2的长 D.线段CP3的长 B 2.(2025河南)如图所示,有一个六边形零件,利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数,则所量内角的度数为( ) A.100° B.110° C.120° D.130° C 3.(2024凉山)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC等于( ) A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm C 4.【人教7上P128练习T3变式】如图所示,点C,D在线段AB上. (1)①AB=　 　+CB=　 　+BD=　 　+CD+　 　;  ②BD=BC-　 　=　 　-AD.  (2)已知C是线段AD的中点. ①若AB=10,BD=2,则CD=　 　;  ②若BD=1,BC=3,则AB=　　.  AC AD AC BD CD AB 4 5 5.下列命题:①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③同位角相等;④两直线平行,同旁内角互补. (1)其中真命题是　 　(填序号);  (2)命题①的条件是　 　,结论是　 　;  (3)命题①和②互为　 　.  ①④ 两个角是对顶角 这两个角相等 逆命题 6.【七上北师新教材P127T9改编】如图所示,∠AOC和∠BOD都是直角. (1)如果∠DOC=30°,那么∠AOB的度数为　 　;  (2)找出图中相等的角:　 　.  150° ∠AOC=∠DOB,∠AOD=∠COB 命题点1　判断真假命题 1.(2025成都T7,4分)下列命题中,假命题是( ) A.矩形的对角线相等 B.菱形的对角线互相垂直 C.正方形的对角线相等且互相垂直 D.平行四边形的对角线相等 研真题 靶向中考 D 2.(2023达州T8,4分)下列命题中,是真命题的是( ) A.平行四边形是轴对称图形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 D.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则△ABC是直角三角形 C 命题点2　平行线的性质与判定 3.(2023绵阳T4,3分)光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此当光线从水中射向空气时,要发生折射,由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图所示,∠1=122°,则∠2的度数为( ) A.32° B.58° C.68° D.78° B 4.(2024绵阳T16,4分)如图所示,直线a∥b,点O在b上,以O为圆心画弧,交a于不同两点A,B.若θ=44°,则∠AOB=　 　°.  92 5.(2025达州T9,4分)如图所示,在△ABC中,AB=AC=8,BC=5,线段AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,连接BD,则△BDC的周长为( ) A.21 B.14 C.13 D.9 C 6.(2024绵阳T7,3分)如图所示,在△ABC中,AB=5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为点E,△ABD的面积为5,则DE的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.5 B 新题型 新考法 7.(2025兰州)如图所示是集热板示意图,集热板与太阳光线垂直时,光能利用率最高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若光能利用率最高,则集热板与水平面夹角α度数是( ) A.26° B.30° C.36° D.54° C 基础巩固 分层练 实战提能 1.(2025广安)若∠A=25°,则∠A的余角为( ) A.25° B.65° C.75° D.155° B 2.(2025德阳)如图所示,一条水渠两次转弯后和原来方向相同,如果第一次拐角∠CAB=135°,则第二次拐角∠ABD的度数为( ) A.45° B.55° C.105° D.135° D 3.(2025自贡)如图所示,一束平行光线穿过一张对边平行的纸板,若∠1=115°,则∠2的度数为( ) A.75° B.90° C.100° D.115° 4.(2025烟台)如图所示是一款儿童小推车的示意图,若AB∥CD,∠1= 30°,∠2=70°,则∠3的度数为( ) A.40° B.35° C.30° D.20° D A 5.近年来,随着大家对身体健康的重视,骑自行车健身渐渐流行开来.如图(1)所示是某品牌自行车放在水平地面的实物图,图(2)是其示意图,其中AB,CD都与地面平行,AM∥BC,∠BCD=65°,∠MAC=60°,则∠BAC的度数为　 　.  55° 能力进阶 6.(2025成都模拟)如图所示,是某射箭运动员射箭瞬间的示意图.已知AB∥CD,AF∥DE,∠1=90°,∠2=110°,∠C=135°,则∠CBE的度数是 ( ) A.60° B.65° C.70° D.75° B 7.(2025成都模拟)已知直线AB∥CD,将一个直角三角尺如图所示放置,使得30°角的顶点E落在CD上,直角顶点F落在AB上,点G落在AB,CD之间,当∠BFG=40°时,∠GED的度数是( ) A.30° B.20° C.35° D.25° B 8.(2022绵阳)两个三角形如图所示摆放,其中∠BAC=90°,∠EDF= 100°,∠B=60°,∠F=40°,DE与AC交于点M,若BC∥EF,则∠DMC的度数为　 　.  110° 思维拓展 9.(2025西昌模拟)如图所示,线段AB∥CD,AE∥CF,∠D-∠C=α,EP⊥AB于点P,EM平分∠AEB交AB于点M,则∠PEM的度数是( ) A 谢谢观赏！ 33 A.α B.α C.α D.2α $第18节　全等三角形 过教材 梳理知识 知识点1　全等三角形的概念和性质 1.概念:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.平移、翻转、折叠前后的图形全等. 2.全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边　 　,全等三角形的对应角　 　;  (2)全等三角形的　 　相等,全等三角形的　 　相等;  (3)全等三角形对应的角平分线、高、中线都　 　.  相等 相等 周长 面积 相等 知识点2　全等三角形的判定 已知相等条件 图形 是否全等 判定依据 三边 是 　 　  两角一边 两角夹边 是 ASA 两角对边 是 　 　  SSS AAS 两边 一角 两边 夹角 是 SAS 两边 对角 直角三角形 是 　 　  斜三角形 不一定 无 三角 不一定 无 HL 讲重点 精准备考 全等三角形的性质与判定 例题　(2025河北)如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC= AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED上,∠BAF=∠EAD. (1)求证:△ABC≌△AFD; 证明:(1)∵∠BAF=∠EAD, ∴∠BAC=∠FAD. ∵AC=AD,∠ACB=∠ADB, ∴△ABC≌△AFD(ASA). (2)若BE=FE,求证:AC⊥BD. 证明:(2)∵△ABC≌△AFD, ∴AB=AF. ∵BE=FE, ∴AE⊥BF,即AC⊥BD. 命题点1　全等三角形的性质 1.(2024成都B卷T19,4分)如图所示,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB= 45°,则∠DCE的度数为　 　.  研真题 靶向中考 100° 2.(2023成都T11,4分)如图所示,已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长为　 　.  3 命题点2　全等三角形的判定 3.(2025成都模拟)如图所示,已知∠ACB=∠BDA=90°,添加以下条件仍不能判定△ACB≌△BDA的是( ) A.AC=BD B.BC=AD C.∠CAD=∠DBC D.∠CBA=∠DAB C 4.(2025成都模拟)如图所示,已知AB=DE,∠A=∠E,添加下列条件不能使△ABC≌△EDC的是( ) A.AC=EC B.BC=DC C.∠B=∠D D.∠DCB=∠ECA B 5.(2025遂宁T18,4分,节选)如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线BD上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD.求证:△ABF≌△CDE. 证明:∵AB∥CD, ∴∠ABF=∠CDE. ∵AF⊥AB,CE⊥CD,∴∠BAF=∠DCE=90°. ∵BE=EF=FD, ∴BE+EF=FD+EF,即BF=DE. 在△ABF和△CDE中, ∠ABF=∠CDE,∠BAF=∠DCE=90°,BF=DE, ∴△ABF≌△CDE(AAS). 命题点3　全等三角形性质与判定的综合 6.(2025凉山T11,4分)如图所示,AB=AC,AE=AD,点E在BD上,∠EAD=∠BAC, ∠BDC=56°,则∠ABC的度数为( ) A.56° B.60° C.62° D.64° C 7.如图所示,C是线段AB的中点,∠A=∠ECB,CD∥BE. (1)求证:△DAC≌△ECB; (2)连接DE,若AB=16,求DE的长. 8.(2025宜宾模拟)如图所示,分别以△ABC的边AB,AC为一边向外作等边三角形ABD、等边三角形AEC,BE和DC相交于点M. (1)求证:BE=DC; (1)证明:∵△ABD和△ACE都是等边三角形, ∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°. ∴∠BAE=∠DAC=60°+∠BAC. 在△BAE和△DAC中, AB=AD,∠BAE=∠DAC,AE=AC, ∴△BAE≌△DAC(SAS).∴BE=DC. (2)求∠DME的度数. (2)解:由(1)得△BAE≌△DAC, ∴∠ABE=∠ADC.∴∠DME=∠DBE+∠BDC=∠ABD+∠ABE+∠BDC=∠ABD+∠ADC+∠BDC=∠ABD+∠ADB. ∵∠ABD=∠ADB=60°, ∴∠DME=60°+60°=120°. ∴∠DME的度数是120°. 新题型 新考法 9.(2025河南)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在网格线的交点上,点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点,连接DE,则DE的长为( ) B 基础巩固 分层练 实战提能 1.如图所示,△ABC≌△ADE,∠E=35°,则∠C的度数为( ) A.35° B.40° C.50° D.65° A 2.(2024自贡)如图所示,在平面直角坐标系中,D(4,-2),将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置,则点B的坐标为( ) A.(2,4) B.(4,2) C.(-4,-2) D.(-2,4) 3.如图所示,在△ABC和△DBE中,再添两个条件,不能使△ABC和△DBE全等的是( ) A.AB=BD,AE=DC B.AB=BD,DE=AC C.BE=BC,∠E=∠C D.∠EAF=∠CDF,DE=AC A B 4.(2024遂宁)如图(1)所示,△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1,AC=A1C1, BC=B1C1,∠C≠∠C1,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图(2)所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E在线段BC上,且BE=CD,则图中共有“伪全等三角形”( ) 图(1) 图(2) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 D 5.如图所示,已知∠1=∠2,若添加一个条件使△ABC≌△ADC,则可添加 　 　.  AB=AD(答案不唯一) 6.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.求证:BE=FC. 证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°, ∴DC=DE,∠C=∠DEA=90°. 在Rt△DCF和Rt△DEB中,DC=DE,DF=DB, ∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL). ∴FC=BE,即BE=FC. 能力进阶 7.如图(1)所示,小丽在公园里荡秋千.图(2)为其示意图,在起始位置A处摆绳OA与地面垂直,摆绳长2 m,向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3 m,摆动水平距离BD为1.6 m,然后向后摆到最高点C处.若前后摆动过程中绳始终拉直,且OB与OC成90°角,则小丽在C处时距离地面的高度是( ) A.0.9 m B.1.3 m C.1.6 m D.2 m A 思维拓展 谢谢观赏！ 27 (1)证明:∵CD∥BE,∴∠DCA=∠B. ∵点C是线段AB的中点,∴AC=CB=AB. 在△DAC和△ECB中, ∠A=∠ECB,AC=CB,∠DCA=∠B, ∴△DAC≌△ECB(ASA). (2)解:∵AB=16, ∴AC=CB=AB=8. 由(1)可知:△DAC≌△ECB, ∴CD=BE. 又∵CD∥BE, ∴四边形BCDE是平行四边形. ∴DE=BC=8. A. B.1 C. D. 8.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,DF平分∠ADC交AE于点F,若AD=AE,AF=5,BE=3,则CD的长为　 　.  8 9.(2025宜宾模拟)如图所示,在△ABC中,∠BAC=60°,点P,M,N分别是边BC,AB,AC上的动点,满足PM=PN,∠MPN=120°,且四边形AMPN的面积为4,则△ABC面积的最小值是　 　.  $