第三章 函　数 2026年中考数学专题复习课件（四川）

第11节　二次函数 课时1　二次函数表达式的确定(含图象变换) 过教材 梳理知识 知识点1　二次函数的概念及表达式 1.一般地,形如　 　(a,b,c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数. 2.三种表达形式 一般式:　 　(a,b,c为常数,a≠0);  顶点式:　 　(a,h,k为常数,a≠0);  交点式:　 　(a,x1,x2为常数,a≠0).  y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) 知识点2　确定二次函数表达式 已知条件 选用表达式的形式 形式 抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数, a≠0) 抛物线的顶点坐标或对称轴与最大(小)值 一般选用顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)为抛物线的顶点坐标 抛物线与x轴的两个交点的横坐标 一般选用交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1, x2分别为抛物线与x轴两交点的横坐标 知识点3　二次函数图象的平移 保持抛物线y=ax2的形状不变,使其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法 如下: 点坐标的平移规律:“左减右加,上加下减”;函数图象的平移规律:“左加右减,上加下减”,两者要区分开. 微诊断 检测基础 1.若函数y=(2-k)x|k|+kx+3是y关于x的二次函数,则k的值为( ) A.2 B.-2 C.±2 D.k≠2 2.将抛物线y=x2+2x-1向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为( ) A.(-4,-1) B.(-4,2) C.(2,1) D.(2,-2) B D 3.【北师大九下P41习题T2变式】若将抛物线y=x2-2x+1先沿x轴方向向右平移1个单位长度,再沿y轴方向向下平移2个单位长度,得到一条新抛物 线,则新抛物线的表达式变为( ) A.y=x2-2 B.y=x2+2 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2-2 4.一条抛物线的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则该抛物线的函数表达式是　 　.  D y=-x2+4x-3 5.【北师大九下P45习题T2变式】已知二次函数的图象经过(1,10),(-1, 4),(-2,7)三点,求该函数的表达式. 命题点1　二次函数表达式的确定 1.(1)若二次函数图象的顶点坐标为(-1,4),且经过点M(2,-5),求该函数的表达式; 研真题 靶向中考 解:(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(-1,4), ∴设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+4(a≠0). 把(2,-5)代入,得-5=a(2+1)2+4,解得a=-1. ∴二次函数的表达式为y=-(x+1)2+4. (2)若二次函数图象与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),求该函数的表达式. 解:(2)设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-2)(a≠0),将(0,4)代入, 得4=-2a, 解得a=-2. ∴y=-2(x+1)(x-2)=-2x2+2x+4. ∴二次函数的表达式为y=-2x2+2x+4. 命题点2　二次函数图象的变化 2.(2023南充T7,4分)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是( ) A.(m,n+1) B.(m+1,n) C.(m,n-1) D.(m-1,n) D D 4.(2024内江T15,5分)已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移2个单位长度得到抛物线C,点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C上,则y1　 　(选填“>”或“<”)y2.  < 新题型 新考法 5.(2025南通)在平面直角坐标系中,五个点的坐标分别为A(-1,5), B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5).若抛物线y=a(x-2)2+k(a>0)经过上述五个点中的三个点,则满足题意的a的值不可能为( ) C 基础巩固 分层练 实战提能 C 2.(2025南充模拟)将抛物线y=(x-2)2+3先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到抛物线y=a(x-h)2+k,则a+h+k的值为( ) A.-4 B.0 C.4 D.12 3.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( ) A.y=-2x2+4x+6 B.y=-x2+2x+6 C.y=-2x2-4x-6 D.y=x2-2x+6 D A 4.将抛物线y=2(x+2)2-1向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后得到的抛物线的表达式为( ) A.y=2(x-1)2-2 B.y=2(x+1)2+3 C.y=2(x+1)2-3 D.y=2(x+2)2+1 C 5.已知抛物线C1:y1=x2+2x+1经过平移后得到抛物线C2:y2=x2+2x-1.若抛物线C1上点P的坐标是(m,n),则点P平移后的对应点Q的坐标是( ) A.(m,n+2) B.(m-2,n) C.(m,n-2) D.(m-2,n-2) 6.若二次函数y=mx2+x+m2-2m的图象经过原点,则m的值为　 　.  7.已知抛物线C1与C2关于原点成中心对称,若抛物线C1的表达式为y= -5(x-2)2-1,则抛物线C2的表达式为　 　.  C 2 y=5(x+2)2+1 8.(2024德阳节选)如图所示,抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式; 解:(1)∵抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A(-1,0), ∴1+1+c=0,解得c=-2, ∴抛物线的表达式为y=x2-x-2. (2)当0<x≤2时,求y=x2-x+c的函数值的取值范围. 9.已知二次函数y=ax2-4x的图象经过点(-1,6). (1)求a的值和该二次函数图象的顶点坐标; 解:(1)将点(-1,6)代入二次函数y=ax2-4x,得 6=a×(-1)2-4×(-1),解得a=2, ∴y=2x2-4x=2(x-1)2-2. ∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,-2). (2)若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度,求得到的抛物线与y轴交点的坐标. 解:(2)将二次函数y=2(x-1)2-2的图象向右平移2个单位长度, 则新抛物线的函数表达式为y=2(x-1-2)2-2=2(x-3)2-2. 令x=0,则y=2×(0-3)2-2=16, ∴新抛物线与y轴交点的坐标为(0,16). 能力进阶 D 11.开放性题　一个二次函数的图象经过点(t,0),则称t的值是这个函数的“零点”.例如:二次函数y=a(x-3)(x+2)(a≠0),无论a取何值,二次函数的图象始终经过点(3,0)和(-2,0),所以3和-2是这个函数的“零点”.如果一个二次函数有且只有一个“零点”-1,那么这个二次函数的表达式可以是　 　(写出一个符合要求的函数表达式即可).  12.(2025广元模拟)已知二次函数y=x2-2x+3的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到抛物线C,M(-3,y1),N(2,y2)在抛物线C上,则y1　 　(选填“>”“<”或“=”)y2.  y=(x+1)2(答案不唯一) > 思维拓展 谢谢观赏！ 25 解:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0). 把(1,10),(-1,4),(-2,7)代入y=ax2+bx+c,得 解得 ∴二次函数的表达式为y=2x2+3x+5. 3.抛物线y=-x2+x+1经平移后,不可能得到的抛物线是( ) A.抛物线y=-x2+x B.抛物线y=-x2-4 C.抛物线y=-x2+2 025x-2 026 D.抛物线y=-x2+x+1 A. B. C. D. 1.下列函数不属于二次函数的是( ) A.y=(x-1)(x+2) B.y=(x+1)2 C.y=2(x+3)2-2x2 D.y=1-x2 解:(2)∵抛物线y=x2-x-2的对称轴为直线x=-=,而0<x≤2, ∴函数最小值为y=--2=-, 当x=0时,y=-2,当x=2时,y=4-2-2=0, ∴当0<x≤2时,函数值的取值范围为-≤y≤0. 10.新定义题　 定义:在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”.设抛物线L:y=ax2+(a+1)x-2a(a≠0)与y轴相交于点M,将抛物线L关于y轴对称,且向上平移1个单位长度后得到抛物线L′.若抛物线L上的完美点也在抛物线L′上,给出下列结论:①抛物线L上的完美点是(1,1)或(-2,-2);②a的值是-或-;③存在某条定直线l,与抛物线L′交于点A,使得AM平行于x轴.其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 13.新定义题　(2025成都模拟)定义:若存在实数m>0,对于任意的函数值y,都满足-m≤y≤m,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的m中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,如图所示的函数是有界函数,其边界值是1.将函数y=-x2+1(t-3≤x≤t,t>0)的图象向上平移t个单位长度,得到的图象对应的函数的边界值n满足2≤n≤,则t的取值范围是　 　. ≤t≤ $第9节　一次函数 过教材 梳理知识 知识点1　一次函数的概念 1.正比例函数:一般地,形如　 　(k是常数,k≠0)的函数.  2.一次函数:一般地,形如　 　(k,b是常数,k≠0)的函数.  注意　 正比例函数是一次函数y=kx+b当b=0时的一种特殊形式. y=kx y=kx+b 知识点2　一次函数的图象与性质 1.一次函数的图象 正比例函数的图象是一条过　 　的直线;一次函数y=kx+b的图象是经过点(　 　,0)和(0,　 　)的一条直线.  2.一次函数的性质(常考点) 原点 b 一次函数 y=kx+b(k≠0) k,b的 符号 k>0 k<0 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 图 象 位置 第 . 象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 增减性 y随x的增大而　   y随x的增大而　   一、 二、三 一、三 一、 三、四 一、 二、四 二、四 二、 三、四 增大 减小 两个一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2的图象和性质 (1)k1=k2,且b1≠b2时,两函数图象平行; (2)k1≠k2,且b1=b2时,两函数图象交于点(0,b1); (3)k1=-k2,且b1=k2时,两函数图象关于y轴对称. 3.一次函数图象的平移 平移前 平移方向(m>0) 平移后 规律 y=kx+b(k≠0) 向左平移m个单位长度 y=k(x+m)+b 左加 向右平移m个单位长度 y=k(x-m)+b 右减 向上平移m个单位长度 y=kx+b+m 上加 向下平移m个单位长度 y=kx+b-m 下减 对于两个一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2: (1)若两个一次函数的图象平行,则k1=k2,且b1≠b2; (2)若两个一次函数的图象垂直,则k1·k2=-1. 知识点3　一次函数表达式的确定及应用 1.用待定系数法确定一次函数的表达式 主要步骤有“设”“列”“解”“写”四步,对于正比例函数只要　　个条件[如点的坐标(非原点)或一组x,y的值(x≠0,y≠0)],对于一次函数需要　 　个条件.  2.一次函数的应用 (1)已知自变量的值求函数值; (2)已知函数值求自变量的值; (3)利用图象分析实际问题,做出决策; (4)利用增减性确定最值. 一 两 微诊断 检测基础 1.将直线y=3x-2沿y轴向下平移2个单位长度后得到的直线表达式为( ) A.y=3x+2 B.y=3x C.y=3x-4 D.y=-3x+1 2.若k<0,b>0,则函数y=kx+b的图象可能是( ) C B A B C D 3.在正比例函数y=kx中,y的值随着x值的增大而增大,则点P(3,k)在第 　 　象限.  4.已知点A(1,y1),B(2,y2)在直线y=kx+5(k<0)上,则y1　 　y2(选填“>” “<”或“=”).  5.【人教八下P98习题T2变式】已知一次函数y=kx+2. (1)若k<0,则其图象经过的象限是　 　;  (2)若k=-1,则其图象与坐标轴的交点是　 　,此时图象与坐标轴围成的三角形的面积是　 　;  (3)若y随x的增大而减小,则k的取值范围是　 　.  一 > 第一、二、四象限 (0,2),(2,0) 2 k<0 6.如图所示,已知过点B(1,0)的直线l1与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a). (1)求直线l1的表达式; (2)求四边形PAOC的面积. 一、一次函数的图象与性质 例1　已知一次函数y=(2m-1)x+2-m. (1)当m=　 　时,此函数是y关于x的正比例函数,y随x的增大而　 　; (2)若此函数的图象不经过第二象限,则m的取值范围是　 　;  (3)若点P(1,y1),Q(-4,y2)是此一次函数图象上的两个点,且y1<y2,则m的取值范围是　 　;  (4)若m=1,则其图象与坐标轴的交点是　 　,此时图象与坐标轴围成的三角形的面积是　　.  讲重点 精准备考 2 增大 m≥2 (0,1),(-1,0) 二、一次函数表达式的确定 1.待定系数法求表达式 例2　如图所示,已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A,一次函数y=kx+b的图象经过点B(0,-1),与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C,D,且点D的坐标为(1,n). (1)求k,b,n的值; 解:(1)对于直线y=x+1,令x=0,得y=1,即A(0,1), 把B(0,-1)代入y=kx+b中,得b=-1, 把D(1,n)代入y=x+1中,得n=2,即D(1,2), 把D的坐标代入y=kx-1中,得2=k-1,即k=3. (2)求点C的坐标; (3)求四边形AOCD的面积. 2.利用平移的规律求表达式 例3　已知一次函数y=(m+6)x-m+3.若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象,求该一次函数的表达式. 解:由平移得,正比例函数的表达式为y=(m+6)x-m+3+5=(m+6)x-m+8, ∴-m+8=0,解得m=8. ∴一次函数的表达式为y=14x-5. 基础巩固 分层练 实战提能 1.(2025成都模拟)已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,则一次函数y=-kx+2k的图象所经过的象限是( ) A.一、二、四 B.一、二、三 C.一、三、四 D.二、三、四 C 2.(2024德阳)正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则k的值可能是 ( ) A 3.(2025绵阳模拟)已知点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)都在直线y=-3x+b上,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y3<y2<y1 B.y2<y1<y3 C.y1<y3<y2 D.y1<y2<y3 A 4.关于一次函数y=-2x+1,下列结论正确的是( ) A.函数图象必过点(-2,1) B.y的值随着x的增大而增大 C 5.(2025东营)一次函数y=kx+2(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,当x=-1时,y的值可以是( ) A.3 B.2 C.1 D.-1 A 6.(2025德阳模拟)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx和y=x+k(k≠0,k为常数)的图象可能是( ) 7.(2025成都模拟)在平面直角坐标系中,将点(a,3)向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后恰好落在直线y=2x上,则a的值为　 　.  D 8.开放性题　(2025广安)已知一次函数y=-3x-6,当x<-1时,y的值可以是 　 　(写出一个合理的值即可).  9.(2025成都模拟)已知一次函数y=(-2k+1)x+k+2,若y随x的增大而减小,且函数图象与y轴的交点在原点上方,则实数k的取值范围是　 　.  0(答案不唯一) 10.在平面直角坐标系中,一次函数y=-2x+b的图象向下平移3个单位长度后经过原点. (1)求b的值; 解:(1)将一次函数y=-2x+b的图象向下平移3个单位长度后,得到y= -2x+b-3, ∵平移后的图象过原点, ∴将(0,0)代入,得0=b-3,解得b=3. (2)当x≤3时,对于x的每一个值,函数y=-2x+b的值大于函数y=mx(m≠0)的值,求出m的取值范围. 解:(2)由(1)知,b=3, ∵当x=3时,y=-2x+b=-2×3+3=-3, ∴-3>3m,解得m<-1. 如图所示,当直线y=mx与函数y=-2x+b的图象平行时,m=-2, 此时直线y=mx在函数y=-2x+b图象的下方. 综上,m的取值范围是-2≤m<-1. 能力进阶 11.(2025成都模拟)在平面直角坐标系中,将函数y=x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°,再向下平移2个单位长度,所得直线的函数表达式为 ( ) A.y=x+2 B.y=x-2 C.y=-x+2 D.y=-x-2 12.(2025扬州)已知m2 025+2 025m=2 025,则一次函数y=(1-m)x+m的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D D 13.(2025广元模拟)已知直线l1:y=x+1与直线l2:y=kx-2(k≠0)在第二象限交于点M,则k的取值范围是( ) A.k<-2 B.-2<k<0 C.0<k<2 D.k>2 A 15.如图所示,直线l:y=-2x+b与坐标轴交于A,B两点,点A的坐标是(0,4). (1)求直线l的函数表达式和点B的坐标; 解:(1)把点A的坐标(0,4)代入直线l:y=-2x+b,得b=4,∴直线l:y=-2x+4. 令y=0,则x=2,即B(2,0). (2)点P在第一象限,若△ABP是等腰直角三角形且∠ABP=90°,求点P的坐标. 解:(2)如图所示,过点P作PC⊥x轴于点C,∴∠PCB=90°. ∴∠CBP+∠BPC=90°. ∵△ABP是等腰直角三角形且∠ABP=90°, ∴AB=BP,∠CBP+∠ABO=90°. ∴∠ABO=∠BPC. 在△ABO和△BPC中, ∵∠ABO=∠BPC,∠AOB=∠BCP,AB=BP, ∴△ABO≌△BPC(AAS). ∴PC=BO=2,BC=AO=4. ∴OC=OB+BC=2+4=6. ∴点P的坐标为(6,2). 思维拓展 2 004 谢谢观赏！ 32 - 解:(1)∵点P是两直线的交点, ∴将(-1,a)代入y=2x+4,得2×(-1)+4=a, 即a=2.∴点P的坐标为(-1,2), 设直线l1的表达式为y=kx+b(k≠0), 那么解得 ∴直线l1的表达式为y=-x+1. 解:(2)∵直线l1与y轴相交于点C,直线l2与x轴相交于点A, ∴点C的坐标为(0,1),点A的坐标为(-2,0),则AB=3. ∴S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC=×3×2-×1×1=. m< 解:(2)对于直线y=3x-1, 令y=0,即3x-1=0,解得x=. ∴点C的坐标为(,0). 解:(3)过点D作DE⊥x轴,垂足为点E,如图所示, 由(2)知C(,0), ∴CE=1-=. ∴S四边形AOCD=S梯形AOED-S△CDE=(AO+DE)·OE-CE·DE= ×(1+2)×1-××2=-=. A. B.- C.-1 D.- C.函数图象与x轴交于点(,0) D.函数图象经过第一、三、四象限 - k> 14.(2025南充)已知直线y=m(x+1)(m≠0)与直线y=n(x-2)(n≠0)的交点在y轴上,则+的值是　 　.  - 16.规律探究　(2025德阳)如图所示,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0, 2),点C在直线m:y=x-上,且AC=3,连接AB,BC.将△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C1,点B的对应点B1落在直线m上,再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转到△A2B2C2,点A1的对应点A2也落在直线m上……如此下去,A1 001的纵坐标是　 　.  $第15节　二次函数综合题 讲重点 精准备考 一、线段问题 例1　一题多设问　如图所示,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC,点P为直线BC下方抛物线上一点,设点P的横坐标为m. 考向1　表示抛物线上的动点的坐标 (1)点P的坐标为　 　(用含m的代数式表示),m的取值范围为 　 　;  (m,m2-2m-3) 0<m<3 考向2　表示竖直方向的线段长 (2)如图(1)所示,过点P作PD⊥x轴于点D,交BC于点E,则点D的坐标为 　 　,点E的坐标为　 　,并分别写出PD,PE的长(均用含m的代数表示);  图(1) (m,0) (m,m-3) 解:PD=-m2+2m+3, PE=m-3-(m2-2m-3)=-m2+3m. 考向3　表示水平方向的线段长 (3)如图(2)所示,过点P作PF∥x轴,交直线BC于点F,交y轴于点G,则点F的坐标为　 　,点G的坐标为　 　,并分别写出PF,PG的长(均用含m的代数式表示);  图(2) (m2-2m,m2-2m-3) (0,m2-2m-3) 解:PF=m-(m2-2m)=-m2+3m.PG=m. 考向4　表示不与坐标轴平行的线段长 (4)如图(3)所示,过点P作PH⊥BC于点H,请用含m的代数式表示PH的长. 图(3) 1.表示动点坐标 设出动点的横坐标,代入函数表达式得到动点的纵坐标. 2.表示竖直方向的线段长 特点:竖直方向直线上点的横坐标相等. 计算方法:如图所示,AB=|yA-yB|. 3.表示水平方向的线段长 特点:水平方向直线上点的纵坐标相等. 计算方法:如图所示,AB=|xB-xA|. 二、面积问题 例2　综合与探究　(2025成都模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2(a≠0)经过点P(2,1),直线y=kx+1(k≠0)与抛物线交于A,B两点(点A在y轴左侧,点B在y轴右侧),与y轴交于点M. (1)求抛物线的函数表达式. (2)若△AMP与△BMP的面积之比是1∶4,求k的值. (3)作点P关于y轴的对称点P′,直线AP′与直线BP相交于点Q,试探究: △PP′Q的面积是否为定值?若为定值,请求出△PP′Q的面积;若不为定值,请说明理由. 三、存在性问题 例3　如图所示,已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0)和点C(2,3),与y轴交于点D. (1)求抛物线的表达式和直线AC的表达式. (2)若抛物线的顶点为E,连接AE,CE,试判断△ACE的形状. 解:(1)抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. 直线AC的表达式为y=x+1. (2)△ACE是直角三角形. (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使△QAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. ②当∠QCA=90°时,QA2=AC2+QC2,即4+n2=18+n2-6n+10,解得n=4.∴点Q的坐标为(1,4). 解决特殊三角形的存在性问题时,利用两点间的距离公式分别求出三角形各条边的长度后,经常需要分类讨论.若三角形的形状为等腰三角形,也可以利用线段垂直平分线的性质进行求解. 例4　如图(1)所示,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式. 图(1) 解:(1)抛物线的表达式为y=-x2+4x+5. (2)如图(2)所示,P是抛物线上一点,Q是x轴上一点.若四边形ACPQ是平行四边形,求点Q的坐标. 图(2) 解:(2)点Q的坐标为(3,0). (3)如图(3)所示,P是抛物线上一点,连接BC,则BC所在直线上是否存在点Q,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点Q坐标;若不存在,请说明理由. 图(3) (1)注意第(2)问和第(3)问说法的不同,第(2)问已经确定平行四边形顶点的顺序,第(3)问存在多种情况. (2)平行四边形的顶点坐标公式:记▱ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA), B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),则xA+xC=xB+xD,yA+yC=yB+yD,即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等. (2)若以C,P,E为顶点的三角形与△BDE相似,求点D的坐标. 解:(2)∵PD⊥OB,∠CEP=∠BED, ∴当∠CPE=∠BDE=90°时,△BDE∽△CPE, 如图①所示,∴CP∥BD,∴C,P关于抛物线对称轴对称.∵抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,4), ∴P(4,4),D(4,0). 图① 图② 1.(2025绵阳三模节选)如图所示,抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=3. (1)求该抛物线的函数表达式; 分层练 实战提能 解:(1)抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3. (2)连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S△COF∶S△CDF=3∶2时,求点D的坐标. 2.(2024成都模拟)如图所示,二次函数y=x2-2mx-2m-1(m>0)的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,二次函数图象的顶点为D. (1)若m=2,求顶点D的坐标及线段AB的长; (2)当1≤x≤4时,二次函数的最小值为-6,求m的值; 解:(1)D(2,-9).AB=6.　 (3)连接AC,BC,DC,若∠ACB=∠BCD,求点C的坐标. 解:(3)由抛物线的表达式知,点A,B,C,D的坐标分别为(-1,0), (2m+1,0),(0,-2m-1),(m,-m2-2m-1), 则直线BC的表达式为y=x-2m-1, CD的表达式为y=-mx-2m-1, 如图所示,过点A作AH⊥BC于点N,交CD的延长线于点H, 3.综合与探究　(2025成都模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-8a(a<0)与x轴相交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴相交于点C. (1)求线段AB的长; (2)当△ABC为等腰三角形时,求△ABC的面积; 解:(1)AB=6.　 (3)过点A的直线l1:y=kx+b(k≠0)与抛物线在第一象限相交于点M,过点M的直线l2:y=mx+n与抛物线有唯一公共点,与x轴正半轴相交于点N.当AM= MN时,k与a之间是否存在某种数量关系?若存在,求出这个数量关系;若不存在,请说明理由. 4.(2025绵阳模拟)已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,作直线BC. (1)求抛物线y=ax2+bx+3的表达式; 解:(1)y=-x2+2x+3. (2)如图(1)所示,点P是抛物线上位于直线BC上方的一点,连接AP交BC于点E,过点P作PF⊥x轴于点F,交BC于点G,若EP=EG,求点P的坐标; 设P(m,-m2+2m+3)(0<m<3),则G(m,-m+3), PG=-m2+3m,∵OB=OC=3,∠COB=90°, ∴△BOC是等腰直角三角形.∴∠OCB=45°. ∵PF∥CO,∴∠PGE=∠OCB=45°. ∵EP=EG,∴∠EPG=∠EGP=45°. ∴△AFP是等腰直角三角形.∴AF=PF. ∴m+1=-m2+2m+3, 解得m=2,m=-1(舍去).∴P(2,3). (3)如图(2)所示,将抛物线位于x轴下面的部分不变,位于x轴上面的部分作关于x轴对称,得到新的图形,将直线BC向下平移n个单位长度,得到直线l,若直线l与新的图形有四个不同交点,请直接写出n的取值范围. 谢谢观赏！ 38 解:由(2),得PE=-m2+3m. ∵∠PHE=∠BDE=90°,∠PEH=∠BED,∴∠HPE=∠CBO=45°. 在Rt△PHE中,cos∠HPE=, ∴PH=(-m2+3m). 解:(1)抛物线的函数表达式为y=x2. 解:(2)如图所示,若△AMP与△BMP的面积之比是1∶4, 则AM∶BM=1∶4, ∵点A,M,B在同一直线上, 则4(xM-xA)=xB-xM,即xB=-4xA①, 联立直线y=kx+1(k≠0)与抛物线y=x2,得 x2=kx+1,整理得x2-4kx-4=0, ∴xA+xB=4k,xAxB=-4②,由①②,得xA×(-4xA)=-4, 解得xA=±1,∵点A在y轴左侧,∴xA=-1. ∴-1×xB=-4,即xB=4.∴-1+4=4k,即k=. 解:(3)△PP′Q的面积为定值.点P关于y轴的对称点P′(-2,1), 直线y=kx+1(k≠0)与y轴交于点M,则点M(0,1), 设点A,B的坐标分别为(m,2),(n,n2),由点A,B的坐标,得直线AB的表达式为y=(m+n)(x-m)+m2,将(0,1)代入上式,得1=(m+n)(0-m)+m2, 整理得mn=-4,由点P,B的坐标,得直线PB的表达式为y=(n+2)(x-2)+1, 同理可得,P′A的表达式为y=(m-2)(x+2)+1,联立上述两式,得(n+2)(x-2)+1=(m-2)(x+2)+1,解得x=, ∵mn=-4,则y=(m-2)(+2)+1=×+1=-×+1=-1,∴点Q的纵坐标为-1,为定值,即△PP′Q的面积为定值, ∵PP′=|2-(-2)|=4,Q到PP′的距离为|1-(-1)|=2, ∴S△PP′Q=×4×2=4. 解:(3)存在.设点Q的坐标为(1,n),QC2=(1-2)2+(n-3)2=n2-6n+10, QA2=(-1-1)2+(0-n)2=n2+4.AC2=18,要使△QAC为直角三角形,分三种情况讨论:①当∠AQC=90°时,AC2=QC2+AQ2,即18=n2-6n+10+n2+4, 解得n1=,n2=. ∴点Q的坐标为(1,)或(1,). ③当∠QAC=90°时,QC2=AC2+QA2,即n2-6n+10=18+4+n2,解得n=-2. ∴点Q的坐标为(1,-2).综上所述,符合条件的点Q的坐标为(1,),(1,),(1,4)或(1,-2). 解:(3)存在.设BC所在直线的函数表达式为y=kx+d(k≠0),则解得∴BC所在直线的函数表达式为y=-x+5.设P(n,-n2+4n+5),Q(m,-m+5). 分三种情况讨论:①当AC为对角线时, 则解得(舍去)或 ∴点Q的坐标为(-7,12). ②当PC为对角线时, 则解得(舍去)或 ∴点Q的坐标为(7,-2). ③当PA为对角线时, 则解得或∴点Q的坐标为(1,4)或(2,3).综上所述,点Q的坐标为(-7,12),(7,-2),(1,4),(2,3). 例5　如图所示,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C,D是线段OB上的一个动点(不与端点重合),过点D作x轴的垂线,交抛物线于点P,交直线BC于点E. (1)求抛物线的表达式; 解:(1)抛物线的表达式为y=-x2+x+4. 当∠PCE=∠BDE=90°时,则△CEP∽△DEB, 如图②所示,过点P作PG⊥y轴于点G, ∴∠COB=90°=∠PGC=∠PCE, ∴∠PCG=90°-∠BCO=∠CBO, ∴△PGC∽△COB.设P(m,-m2+m+4), ∴=,∴=, 解得m1=0,m2=-(都不符合题意,舍去) , 综上,点D的坐标为(4,0). 解:(2)∵S△COF∶S△CDF=3∶2,∴S△COF=S△COD, 即xD=xF.设F点横坐标为3t,则D点横坐标为5t. 设直线BC的表达式为y=kx+3(k≠0),把(3,0)代入,得3k+3=0,解得k=-1, ∴直线BC的表达式为y=-x+3.∵点F在直线BC上, ∴F(3t,3-3t). 设直线OF的函数表达式为y=mx,把(3t,3-3t)代入,得3t×m=3-3t,解得m=, ∴直线OF的表达式为y=x,则点D(5t,5-5t).把D点的坐标代入抛物线表达式,得-(5t)2+2×5t+3=5-5t,解得t1=或t2=,则点D的坐标为(1,4)或(2,3). (2)m=-1+. 则直线AH的表达式为y=-x-1,联立直线AH和直线BC的表达式,得x-2m-1=-x-1,解得x=m, 则点N(m,-m-1),∵∠ACB=∠BCD,∴AN=NH. 由中点坐标公式得点H的坐标为(2m+1,-2m-2), 将点H的坐标代入直线CD的表达式,得 -2m-2=-m(2m+1)-2m-1,解得m=-1(舍去)或m=,则点C(0,-2). (2)△ABC的面积为6或12. 解:(3)存在.k=-2a. 直线AM过点A,则直线AM的表达式为y=k(x+2),联立上式和抛物线的表达式,得ax2-2ax-8a=k(x+2),解得x=-2或4+,即点M的横坐标为4+, ∵AM=MN,则点M在AN的中垂线上且AM和MN关于该中垂线对称, 由中点坐标公式得,点N(10+,0),直线MN表达式中的kMN值为-k, 则直线MN的表达式为y=-k(x-10-), 联立上式和抛物线的表达式,得ax2-2ax-8a=-k(x-10-), 则Δ=(k-2a)2+4a(8a+10k+)=0, 整理,得(k+2a)2=0,即k=-2a. 解:(2)∵y=-x2+2x+3,令x=0,得y=3,即C(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx+t,将(3,0),(0,3)代入, 得解得 ∴直线BC的表达式为y=-x+3. 解:(3)4<n<. $第10节　反比例函数 过教材 梳理知识 知识点1　反比例函数的概念 概念 一般地,形如　 　(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数  形式 y=　　,或xy=k,或y=　 　(k≠0)  kx-1 知识点2　反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 双曲线 原点 2.反比例函数的性质 k的符号 k>0 k<0 图象的 大致位置 所在象限 在第　 　象限(xy>0)  在第　 　象限(xy<0)  性质 在每一象限内,y随x的增大而 　   在每一象限内,y随x的增大而　   一、三 二、四 减小 增大 3.k的几何意义 |k| 4.常见的与反比例函数有关的图形面积 S矩形OAPB=|k| S△AOP=　　  S△ABC=　 　  |k| 2|k| 知识点3　反比例函数表达式的确定 用待定系数法确定反比例函数表达式的步骤: 微诊断 检测基础 1.【北师大九上P151习题T3变式】下列函数中,y是x的反比例函数的是 ( ) B A A B C D A D 5.【人教九下P17习题T8变式】已知蓄电池的电压U(V)为定值,使用此电源时,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系,其图象如图所示,则蓄电池的电压是　 　.  36 V 一、反比例函数的图象与性质 讲重点 精准备考 (1)若反比例函数的图象在第二、四象限,则m的取值范围为　 　;  (2)若点A(-3,2),B(a,6)在该反比例函数的图象上,则a的值为　 　;  (3)若m=9,点A(x1,4),B(x2,-2),C(x3,1)都在该反比例函数的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是　 　(用“<”连接);当y>-2时,x的取值范围是　 　.  m<1 -1 x2<x1<x3 x<-4或x>0 比较反比例函数值的大小的方法 (1)在同一象限内的点,可以通过比较横坐标的大小来判断函数值的大小; (2)在不同象限内的点,依据与x轴的相对位置来进行函数值的大小比较; (3)根据题目的特点选择合适的方法进行大小比较,常用的方法有性质法、数形结合法、特殊值法. 二、函数图象中的面积问题 (1)求a的值; (2)求△AOB的面积; 分割法 补全法 3.补全法(适用于三角形的三边都不在坐标轴上或都不平行于坐标轴) S△ABC=S△ACD-S△ABD-S△BCD 4.和差法 S△ABC=S△OCA+S△OBA-S△OBC 5.平行线转移面积法:AD∥BC,S△ABC=S△DBC,将一般三角形转化为“坐标三角形”. 命题点1　反比例函数的图象与性质 研真题 靶向中考 A A.0 B.1 C.2 D.3 > 四 命题点2　反比例函数表达式的确定 (1)求k与m的值; 命题点3　反比例函数k的几何意义 -4 3 -6 (1)求k的值; (2)当点P的横坐标为-1时,求△POQ的面积. 新题型 新考法 基础巩固 分层练 实战提能 D D C A.函数图象在第一、三象限 B.y随x的增大而减小 C.函数图象在第二、四象限 D.y随x的增大而增大 B A.3 B.4 C.5 D.6 D A A.0<x≤2 B.x≥2 C.0<x≤4 D.x≥4 -2 8.(2025上海)已知一个反比例函数在各个象限内,y随x的增大而减小,那么这个反比例函数的表达式可以是　 　(只需写出一个). (1)求反比例函数的表达式; (2)连接OA,OB,P是x轴上一点,且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍,求点P的坐标. 能力进阶 A.5 B.-5 C.10 D.-10 B (2)直线EF分别与x轴,y轴交于点F,E,且B,C两点关于直线EF对称,连接AE,BE,求△ABE的面积. 思维拓展 D 谢谢观赏！ 55 y= 反比例函数y=(k≠0)的图象是　 　,它关于直线y=x或直线y=-x成轴对称,也关于　 　成中心对称.  反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=(k≠0)上任意一点P作x轴,y轴的垂线,设垂足分别为A,B(如图所示),则所得矩形OAPB的面积为　 　,S△POA=S△POB=|k|.  =　 　 设函数表达式为y=(k≠0)→列方程→解方程确定k的值→写出表达式. A.y=2x-1 B.y= C.y= D.y=- 2.已知点A(a,-2)在双曲线y=-上,则a的值是( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.函数y=-的图象大致是( ) 4.关于反比例函数y=-,下列说法正确的是( ) A.图象在第一、三象限 B.图象与x轴有一个交点 C.当x>0时,y随x的增大而减小 D.如果点A(-1,y1)和点B(-3,y2)均在该函数的图象上,那么y1>y2 6.如图所示,在平面直角坐标系中,已知四边形OABC为矩形,其中B(4,3).反比例函数y=(x>0)的图象与矩形的边BC,AB分别相交于点E,D,连接OD, OE,ED,则△ODE的面积为　 　.  7.【华师八下P59习题T4】已知y是x的反比例函数,且当x=3时,y=8. (1)求这个函数的表达式. 解:(1)设反比例函数的表达式为y=(k是常数,k≠0).把x=3,y=8代入函数表达式,得k=24. ∴这个函数的表达式为y=. (2)当x=2时,求y的值. (3)当x取何值时,y=? 解:(2)把x=2代入y=,得y=9. (3)把y=代入y=,得x=16. 例1　已知反比例函数y=. 例2　如图所示,点A(3,6),B(6,a)是反比例函数y=(m>0)的图象上的两点. 解:(1)把A(3,6)代入y=,得m=18,即y=. 把B(6,a)代入,得a==3. 解:(2)过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N,如图所示. ∵A(3,6),B(6,3), ∴AM=6,OM=3,ON=6,BN=3. ∴S△AOB=S△AMO+S梯形AMNB-S△BNO=×3×6+×(6+3)×(6-3)-×6×3=. (3)设点C的坐标为(9,0),点P是反比例函数y=(m>0)的图象上一点,若 △POC的面积等于△AOB的面积的3倍,求点P的坐标. 解:(3)设P的坐标是(c,), ∵C(9,0),△POC的面积等于△AOB的面积的3倍,S△AOB=, ∴×9×||=3×,解得c=±2, 即P的坐标是(2,9)或(-2,-9). 求三角形的面积 1.公式法(适用于三角形一边在坐标轴上或平行于坐标轴),直接用三角形面积公式S=AB·h求解. 2.分割法(适用于三角形的三边都不在坐标轴上或都不平行于坐标轴) S△ABC=S△ABD+S△CBD=BD·(AE+CF)=BD·(yC-yA) 1.(2024泸州T8,3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根,则函数y=kx与函数y=的图象交点个数为( ) 2.(2023成都T10,4分)若点A(-3,y1),B(-1,y2)都在反比例函数y=的图象上,则y1　 　(选填“>”或“<”)y2.  3.(2024遂宁T12,4分)反比例函数y=的图象在第一、三象限,则点(k,-3)在第　 　象限.  4.(2024甘孜T19,9分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(2,3), B(m,-2)两点在反比例函数y=的图象上. 解:(1)∵A(2,3),B(m,-2)两点在反比例函数y=的图象上.∴k=2×3=6. ∴y=. 将点B(m,-2)代入,得-2=,解得m=-3. (2)连接BO,并延长交反比例函数y=的图象于点C.若一次函数的图象经过A,C两点,求这个一次函数的表达式. 解:(2)∵连接BO,并延长交反比例函数y=的图象于点C,B(-3,-2), ∴C(3,2). 设一次函数的表达式为y=kx+b, 把(2,3)(3,2)代入,得解得 ∴y=-x+5. 5.如图所示,已知在平面直角坐标系中,点A在x轴负半轴上,点B在第二象限内,反比例函数y=的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C,如果△OAB的面积为6,那么k的值是　 　.  6.如图所示,▱ABCD的顶点A在x轴上,点D在反比例函数y=(k>0)的图象上,且AD⊥x轴,CA的延长线交y轴于点E.若S△ABE=,则k=　 　.  7.(2023内江T25,6分)如图所示,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,MN垂直于x轴,以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形,对称轴MN与线段DE相交于点F,点D的对应点B恰好落在反比例函数y=(x<0)的图象上,点O,E的对应点分别是点C,A.若点A为OE的中点,且S△EAF=,则k的值为　 　.  8.如图所示,直线l分别交x轴,y轴于A,B两点,交反比例函数y=(k≠0)的图象于P,Q两点.若AB=2BP,且△AOB的面积为4. 解:(1)过点P作PE垂直于x轴,垂足为点E,如图所示, ∴PE∥BO. ∴△ABO∽△APE. ∵AB=2BP,S△AOB=4, ∴AO=2OE,=()2=.∴S△APE=9,S△PEO=3.∴|k|=×3,|k|=6. ∴k=6(舍去)或k=-6. 解:(2)由(1)知y=,∴P(-1,6). ∵AB=2PB,∴S△PBO=2.∴|BO|=4,B(0,4). 设直线PB的表达式为y=k1x+b(k1≠0), 将点P(-1,6),B(0,4)代入y=k1x+b, 得解得 ∴直线PB的表达式为y=-2x+4. 联立方程组解得或 ∴Q(3,-2).∴S△POQ=S△POB+S△QOB=|OB|×(xQ-xP)=×4×4=8. 9.(2025青岛)如图所示,正八边形ABCDEFGH的顶点A,B,G,H在坐标轴上,顶点C,D,E,F在第一象限.点F,C在反比例函数y=(x>0)的图象上,若AB= ,则k的值为　　 .  2+ 1.(2025乐山模拟)已知点(-2,3)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值为( ) A.-2 B.3 C.6 D.-6 2.(2025重庆)反比例函数y=-的图象一定经过的点是( ) A.(2,6) B.(-4,-3) C.(-3,-4) D.(6,-2) 3.(2025浙江)已知反比例函数y=-.下列选项正确的是( ) 4.(2025绵阳模拟)如图所示,反比例函数y=在第一象限的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别是1,3,则△AOB的面积是( ) 5.(2025德阳模拟)已知反比例函数y=-的图象上有点A(x1,y1),B(x2,y2), C(x3,y3),且x1>x2>0>x3,则关于y1,y2,y3的大小关系正确的是( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 6.(2025山东)如图所示,在平面直角坐标系中,A,C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数y=(x>0)的图象经过点B,则满足y≥2的x的取值范围为( ) 7.(2025福建)若反比例函数y=的图象过点(-2,1),则常数k=　 　.  y=(答案不唯一) 9.(2025广安模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=-3x+3与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(-1,m),B(n,-3)两点,与y轴交于点C. 解:(1)将A(-1,m)代入y=-3x+3,得-(-3)+3=m,解得m=6,∴点A(-1,6). 把A(-1,6)代入y=,得k=-6, ∴反比例函数的表达式为y=-. 解:(2)由题意,得点C(0,3). 把B(n,-3)代入y=-3x+3,得-3n+3=-3, 解得n=2,∴点B(2,-3). ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×2=. 设点P(m,0), 由题意,得|m|×3=×2,解得m=±6. ∴点P的坐标为(6,0)或(-6,0). 10.(2025绵阳模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,点A在反比例函数y=(k<0)的图象上,直线AO与反比例函数的图象的另一支交于点B,BC⊥y轴于点C,连接AC.若△ABC的面积为5,则k的值为( ) 11.(2025成都模拟)如图所示,在菱形AOBC中,∠AOB=60°,其顶点A落在反比例函数y=的图象上,顶点B落在x轴的正半轴上,顶点C落在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值为　 　.  3 12.如图所示,已知点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在x轴正半轴上,若△OAB为等腰三角形,且腰长为5,则AB的长为　 　. 5或2或 13.(2025绵阳模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,直线y=2x-与反比例函数y=(k>0)的图象交于A,B(2,yB)两点,与y轴交于点C. (1)求反比例函数y=的表达式; 解:(1)由已知得点B(2,yB)在函数y=2x-图象上,∴2×2-=yB,解得yB=.∴B(2,). ∵点B(2,)也在函数y=的图象上, ∴k=2×=.∴反比例函数的表达式是y=. 解:(2)如图所示,过点B作BH⊥y轴,垂足为点H, ∵B,C两点关于直线EF对称, ∴BE=CE. ∵y=2x-与y轴交于点C, ∴C(0,-). 设E(0,a),则CE=a+,BH=2,HE=-a. ∵BE2=CE2,∴22+(-a)2=(a+)2, 解得a=,即E(0,).∴CE=+=. 联立方程组整理,得3x2-x-10=0, 即(3x+5)(x-2)=0,解得x1=2,x2=-, 即点A横坐标xA=-.∴S△ABE=CE·|xB-xA|=××(2+)=. 14.(2025宜宾)如图所示,O是坐标原点,反比例函数y=-(x>0)的图象与直线y=-2x交于点A,点B在函数y=-(x>0)的图象上,直线AB与y轴交于点C,连接OB.若AB=3AC,则OB的长为( ) A. B. C. D. $第三章　函　数 第8节　平面直角坐标系及函数 过教材 梳理知识 知识点1　平面直角坐标系及点的坐标特点 1.对应关系:平面直角坐标系内的点和有序实数对是一一对应的. 2.各象限内点的坐标特征 如图所示,第一象限⇔x>0且y>0; 第二象限⇔x　 　0且y　 　0;  第三象限⇔x　 　0且y　 　0;  第四象限⇔x>0且y<0. < > < < 3.坐标轴上点的坐标特征 如图所示,点M1(x,y)在x轴上⇔　 　=0;点M2(x,y)在y轴上⇔　 　=0;点M3(x,y)在原点⇔　 　.  注意　 坐标轴上的点不属于任何象限,原点既在x轴上,又在y轴上. y x x=0,y=0 4.关于原点及坐标轴对称的点的坐标特征 如图所示,点P(a,b)关于x轴对称的点P1的坐标为　 　;  点P(a,b)关于y轴对称的点P2的坐标为　 　;  点P(a,b)关于原点对称的点P3的坐标为　 　.  (a,-b) (-a,b) (-a,-b) 5.点的平移 如图所示,点P(x,y)向左平移a个单位长度得到点P1　 　;  点P(x,y)向右平移a个单位长度得到点P2　 　;  点P(x,y)向上平移b个单位长度得到点P3　 　;  点P(x,y)向下平移b个单位长度得到点P4　 　.  (x-a,y) (x+a,y) (x,y+b) (x,y-b) 知识点2　平面直角坐标系中的距离 1.点到坐标轴及原点的距离 如图所示,点P(a,b)到x轴的距离是　 　;点P(a,b)到y轴的距离是 　 　;点P(a,b)到原点的距离是　 　.  2.中点坐标公式 已知点P(a1,b1)与点Q(a2,b2)为平面直角坐标系中任意两点,那么线段PQ 的中点坐标为　 　.  |b| |a| 3.两点间的距离公式 已知点P(a1,b1)与点Q(a2,b2)为平面直角坐标系中的任意两点,那么线段 PQ =　 　.  知识点3　函数的概念 1.函数 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有　 　的值与它对应,那么就说x是　 　,y是x的函数.  2.函数常用的三种表示方法 列表法、　 　、关系式法.在解决一些与函数有关的问题时,有时可以同时使用两种或两种以上的方法来表示函数.  唯一确定 自变量 图象法 3.由函数的关系式作函数的图象的一般步骤 (1)列表; (2)　 　;  (3)连线.以上作图方法通常称为描点法. 描点 4.函数自变量取值范围的确定 不等于0 非负数(≥0) 不等式组 微诊断 检测基础 1.下列图象中,表示y是x的函数的是( ) D 2.在平面直角坐标系中,点P(2m-1,3)在第二象限,且点P到x轴和y轴的距离相等,则m等于( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 3.【人教七下新教材P68练习T1】方格纸上有A,B两点,若以点B为原点建立平面直角坐标系,则点A的坐标为(-2,1).若以点A为原点建立平面直角坐标系,则点B的坐标为( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(-2,-1) D.(2,1) D B B A.x>5 B.x≠5 C.x<5 D.x≠-5 5.【北师大八上新教材P73复习题T4变式】若点A(a,b)在第二象限,则点B(a,-b)在第　 　象限.  6.在平面直角坐标系中,点A(2,3)关于x轴的对称点的坐标是　 　;关于y轴的对称点的坐标是　 　;关于原点的对称点的坐标是 　 　.  三 (2,-3) (-2,3) (-2,-3) 7.在平面直角坐标系中,已知点P(2,m),请回答下列问题. (1)若点P在第四象限,则m的取值范围是　 　;  (2)若点P在x轴上,则m=　 　;  (3)若点P在第一、三象限角平分线上,则点P到x轴的距离为　 　,到y轴的距离为　 　,到原点的距离为　 　;  (4)点Q的坐标为(1,3),若PQ∥x轴,则m=　 　.  m<0 0 2 2 3 命题点1　坐标系中点的坐标特征 1.(2025成都T4,4分)在平面直角坐标系中,点P(-2,a2+1)所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2024成都T4,4分)在平面直角坐标系中,点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标是( ) A.(-1,-4) B.(-1,4) C.(1,4) D.(1,-4) 研真题 靶向中考 B B 3.(2024雅安T7,3分)在平面直角坐标系中,将点P(1,-1)向右平移2个单位长度后,得到的点P1关于x轴的对称点的坐标是( ) A.(1,1) B.(3,1) C.(3,-1) D.(1,-1) 4.(2024广元T6,3分)如果单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式,则在平面直角坐标系中点(m,n)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(2023绵阳T14,4分)在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到点B(a,b),则a+b=　 　.  B D 0 命题点2　函数图象的分析与判断 6.(2025成都T8,4分)小明从家跑步到体育馆,在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书,然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一直线上),如图所示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正确的是( ) A.小明家到体育馆的距离为2 km B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min C.小明家到书店的距离为1 km D.小明从书店到家步行的时间为40 min C 7.(2024凉山T7,4分)匀速地向如图所示的容器内注水,直到把容器注满.在注水过程中,容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是( ) C A B C D 8.(2023攀枝花T9,5分)如图所示,正方形ABCD的边长为4,动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动,设点P运动的路程为x,△PAB的面积为y,下列图象能表示y与x之间函数关系的是( ) D 9.(2024广元T9,3分)如图(1)所示,在△ABC中,∠ACB=90°,点P从点A出发沿A→C→B以1 cm/s的速度匀速运动至点B,图(2)是点P运动时,△ABP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象,则该三角形的斜边AB的长为 ( ) A 图(1) 图(2) 新题型 新考法 10.(2025威海)某广场计划用如图(1)所示的A,B两种瓷砖铺成如图(2)所示的图案.第一行第一列瓷砖的位置记为(1,1),其右边瓷砖的位置记为(2,1),其上面瓷砖的位置记为(1,2),按照这样的规律,下列说法正确的是( ) A.(2 024,2 025)位置是B种瓷砖 B.(2 025,2 025)位置是B种瓷砖 C.(2 026,2 026)位置是A种瓷砖 D.(2 025,2 026)位置是B种瓷砖 B 基础巩固 分层练 实战提能 1.水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,周长为C,则C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( ) A.2是变量 B.π是变量 C.r是变量 D.C是常量 C 2.(2025乐山)如图所示,在平面直角坐标系中,点P的坐标是( ) A.(-3,-2) B.(-3,2) C.(3,2) D.(3,-2) 3.(2025成都模拟)在平面直角坐标系中,点A(1,-8)关于x轴的对称点的坐标为( ) A.(1,-8) B.(1,8) C.(-1,8) D.(-1,-8) C B 4.将点A(2,1)向下平移2个单位长度得到点A′,则点A′的坐标是( ) A.(0,1) B.(2,-1) C.(4,1) D.(2,3) B C A.x≥-2 B.-2≤x<0 C.x≥-2且x≠0 D.0<x≤2 6.(2025广东)在理想状态下,某电动摩托车充满电后以恒定功率运行,其电池剩余的能量y(W·h)与骑行里程x(km)之间的关系如图所示.当电池剩余能量小于100 W·h时,摩托车将自动报警.根据图象,下列结论正确的是( ) A.电池能量最多可充400 W·h B.摩托车每行驶10 km消耗能量300 W·h C.一次性充满电后,摩托车最多行驶25 km D.摩托车充满电后,行驶18 km将自动报警 C 7.一辆快车从A地匀速驶向B地,一辆慢车从B地匀速驶向A地,两车同时出发,各自到达目的地后停止.两车之间的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示,下列结论错误的是( ) C 8.(2025泸州)若点(1, a-2)在第一象限,则a的取值范围是　 　.  9.(2025广安)在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(a,b),且a,b满足(a-2)2+=0,则点A在第　 　象限.  10.开放性题　(2025德阳)△ABC在平面直角坐标系中,已知A(1,0), B(3,0),如果△ABC的面积为1,那么点C的坐标可以是　 . 　(只需写出一个即可).  a>2 四 (2,1)(答案不唯一, 纵坐标绝对值为1即可) 11.(2025湖南)甲、乙两人在一次100 m赛跑比赛中,路程s(m)与时间t(s)的函数关系如图所示,　 　(选填“甲”或“乙”)先到终点.  甲 能力进阶 12.(2025河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 13.新定义题　 在平面直角坐标系中,将点(-b,-a)称为点(a,b)的“关联点”.例如,点(-2,-1)是点(1,2)的“关联点”.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内,那么这一点所在的象限为( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第一、三象限 C 14.(2025甘肃)如图(1)所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点D为边AB的中点.动点P从点A出发,沿边AC→CB方向匀速运动,运动到点B时停止.设点P的运动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函数图象如图(2)所示,当点P运动到CB的中点时,PD的长为( ) A 思维拓展 A 谢谢观赏！ 34 (,) 函数关系式类型 自变量的取值范围 整式型(如y=3x+1) 一切实数 分式型(如y=) 使分母　 　的一切实数  偶次根式型(一般为二次根式,如y=) 使被开方数为　 　的一切实数  0次幂或负整数指数幂型 使底数不为0的一切实数 混合型(如y=) 使所有式子同时有意义,可列　 　求其解集  实际问题型 既要使函数关系式本身有意义,又要符合问题的实际意义 4.函数y=中自变量x的取值范围是( ) 2 A.5 B.7 C.3 D.2 5.(2025绵阳模拟)在函数y=中,自变量x的取值范围是( ) A.两车出发2 h后相遇 B.A,B两地相距280 km C.快车比慢车早 h到达目的地 D.快车的速度为80 km/h,慢车的速度为60 km/h A.2 B.2.5 C.2 D.4 15.规律探究 (2025内江)对于正整数x,规定函数f(x)=在平面直角坐标系中,将点(m,n)中的m,n分别按照上述规定,同步进行运算得到新的点的横、纵坐标(其中m,n均为正整数).例如,点(8,5)经过第1次运算得到点(4,16),经过第2次运算得到点(2,8),经过第3次运算得到点(1,4),经过有限次运算后,必进入循环圈.按上述规定,将点(2,1)经过第 2 025次运算后得到点是( ) A.(2,1) B.(4,2) C.(1,2) D.(1,4) $第12节　函数与方程(组)、不等式(组)的 关系 过教材 梳理知识 知识点1　一次函数与方程(组)、不等式的关系 1.一次函数与一元一次方程的关系 横坐标 2.一次函数与一元一次不等式的关系 (1)从“数”上看: ①kx+b>0的解集是y=kx+b中,y>　 　时x的取值范围;  ②kx+b<0的解集是y=kx+b中,y<　 　时x的取值范围;  (2)从“形”上看: ①kx+b>0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴　 　时,对应的点的横坐标的取值范围;  ②kx+b<0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴　 　时,对应的点的横坐标的取值范围.  0 0 上方 下方 m n 知识点2　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点的　 　坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.  (1)如图(1)(2)所示,当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点,方程ax2+bx+c=0有　 　的实数根;  横 两个相等 图(1) 图(2) (2)如图(3)(4)所示,当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点,方程ax2+bx +c=0有两个不相等的实数根; 图(3) 图(4) (3)如图(5)(6)所示,当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实数根. 图(5) 图(6) 2.二次函数与不等式的关系 (1)不等式ax2+bx+c>0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方部分所对应的点的横坐标的取值范围; (2)不等式ax2+bx+c<0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方部分所对应的点的横坐标的取值范围. [可以借助如图(1)(2)所示的抛物线加以理解] 图(1) 图(2) 微诊断 检测基础 1.一次函数y=kx+b的图象分别交x轴,y轴于A(2,0),B(0,2)两点,则关于x的不等式kx+b>2的解集是( ) A.x>0 B.x<0 C.x>2 D.x<2 2.如图所示,直线l1:y1=x+b1与l2:y2=-2x+b2相交于点A(2,3),则关于x的不等式x+b1>-2x+b2的解集是( ) A.x>2 B.x>3 C.x<2 D.x<3 B A C 4.如图所示,是二次函数y=ax2+bx+c的图象,若关于x的方程ax2+bx+c=m有一正一负两个实数根,则m的取值范围是( ) A.m>3 B.m<3 C.m≥3 D.m≤3 A 5.【北师大九下P53习题T3变式】二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程-(x+1)2+b(x+1)+c=0的解为( ) A.x=0或x=6 B.x=-2或x=4 C.x=0或x=4 D.x=-2或x=6 B 6.若二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的图象如图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为　 　.  x<1或x>3 7.如图所示,二次函数y=ax2+bx与一次函数y=-x的图象交于点A(-2,2)和原点O,则关于x的不等式ax2+bx>-x的解集是　 　.  -2<x<0 ①②④ 一、一次函数与方程(组)、不等式的关系 例1　在平面直角坐标系中,一次函数y=-2x+3和y=ax+b的图象如图所示. (1)关于x的方程ax+b=0的解为　 　;  讲重点 精准备考 x=3 x<2 二、二次函数与方程、不等式 例2　如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于(-1,0),(3,0)两点. (1)一元二次方程ax2+bx+c=0的根为　 　;  (2)若抛物线与直线y=5交于(-2,5),(4,5)两点,则关于x的方程ax2+bx+c= 5的解为　 　,关于x的不等式ax2+bx+c<5的解集为　 　,关于x的不等式ax2+bx+c>5的解集为　 ;  (3)若抛物线与直线y=kx+b交于(-2,5),(3,0)两点,则关于x的方程ax2+bx +c=kx+3的解为　 　.  x1=-1,x2=3 x1=-2,x2=4 -2<x<4 x<-2或x>4 x1=-2,x2=3 基础巩固 分层练 实战提能 A A 3.(2025乐山模拟)如图所示,直线y=kx+b交坐标轴于A(-3,0),B(0,1)两点,则关于x的不等式-kx-b>0的解集为( ) A.x>-3 B.x>3 C.x<-3 D.x<3 C 4.(2025成都模拟)某同学用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出了下面的表格,请你根据获得的信息分析下列四个结论,其中正确的是 ( ) D x … -1 0 1 2 3 … y … -4 -3 0 5 12 … A.二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=1 B.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0只有一个根x=1 C.当x<3时,y随x的减小而减小 D.二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(-1,-4) 5.(2025德阳模拟)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点A(m,0),当x≤3时,不等式kx+2>2x-1恒成立,则m的取值范围是( ) A.m<-1 B.-2<m≤-1 C.-2≤m<-1 D.m>-2 6.(2025成都模拟)二次函数y=4(x+3)2-1的图象与x轴交于M,N两点,下列说法正确的是( ) A.抛物线的对称轴为直线x=1 B.抛物线的顶点坐标为(-3,-1) C.M,N两点之间的距离为7 D.当x<-1时,y的值随x值的增大而增大 B B (3,4) 2<x<3 10.在平面直角坐标系中,函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1). (1)求k,b的值; (2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也大于函数y=-kx+3的值,直接写出m的取值范围. 解:(2)m的取值范围为m≥1. 11.如图所示,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1,0)及点B. (1)求二次函数与一次函数的表达式; (2)根据图象,直接写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围. 解:(2)由图象可知,满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤-4或x≥-1. 能力进阶 12.(2025陕西)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两个交点,且这两个交点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是( ) A.图象的开口向下 B.当x>0时,y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时,y<0 D 13.(2025成都模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0)经过 A(-2,1),B(6,1)两点,下列四个结论:①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2,x2=6;②若点C(-5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1>y2;③对于任意实数t,总有at2+bt≥4a+2b;④对于a(a>0)的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数)有根,则p≥1-16a.其中正确的结论是 　 　(填写序号).  ②③④ 14.(2025泸州模拟)已知二次函数y=x2-2tx-3(t>0). (1)如图所示,当t=1时,若二次函数的图象与x轴的交点为A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C. ①求点A,B的坐标; 解:(1)①当t=1时,y=x2-2tx-3=x2-2x-3,当x2-2x-3=0时,解得x1=3,x2=-1, ∴A(-1,0),B(3,0). ②在坐标平面内是否存在点E,使以点A,B,C,E为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. (2)如果点A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上,且a<b<-3,求m的取值范围. 思维拓展 15.新定义题　定义:[a,b,c] 为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为实数)的“图象数”.如:二次函数y=x2-2x+3的“图象数”为[1,-2,3].若“图象数”是[m,2m-4,2m+4] 的二次函数的图象与x轴只有一个交点,则m的值为　 　.  谢谢观赏！ 35 关于x的方程kx+b=0的解x=-⇔一次函数y=kx+b的图象与x轴交点A的 　 　.  3.如图所示,二元一次方程组的解是对应的两个一次函数图象交点B的横坐标、纵坐标. 3.如图所示,一次函数y=2x-m的图象与一次函数y=-x-n的图象相交于点A,则关于x,y的方程组的解为( ) A. B. C. D. 8.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a<0)经过(-1,1),(m,1)两点,且0<m<1.下列结论:①abc>0;②若m=,则b+c=1;③关于x的不等式ax2+bx<cx-x的解集为-1<x<0;④若关于x的方程a(x+1)(x-m)=1无实数根,则b2-4ac<-8a.其中正确的结论是　 　(填序号).  (2)关于x,y的二元一次方程组的解是　 　;  (3)关于x的不等式ax+b<-2x+3的解集为　 　.  1.若函数y=x+1和y=ax-2的图象交于点A(m,4),则关于x的方程ax-2=4的解为( ) A.x=2 B.x=-2 C.x=6 D.x=-6 2.(2025南充模拟)关于x的不等式kx+b>x+3的解集为x>3,则关于x,y的方程组的解为( ) A. B. C. D. 7.已知关于x,y的二元一次方程组的解是 则一次函数y=kx+b与y=x+1的图象的交点坐标是　 　.  8.已知二次函数y=kx2-4x-3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是 　 　.  k≥-且k≠0 9.如图所示,一次函数y=-x+3的图象与一次函数y=2x+m的图象交于点(2,n),则关于x的不等式组的解集为　 　.  解:(1)由题意,将(2,1)代入y=-kx+3,得-2k+3=1,解得k=1.将k=1,(2,1)代入函数y=kx+b(k≠0)中,得解得∴k=1,b=-1. 解:(1)∵抛物线y=(x+2)2+m经过点A(-1,0), ∴0=1+m.∴m=-1.∴抛物线的表达式为y=(x+2)2-1=x2+4x+3. ∴点C坐标为(0,3). ∵对称轴为直线x=-2,B,C关于对称轴对称, ∴点B坐标为(-4,3).∵y=kx+b经过点A(-1,0),B(-4,3), ∴解得 ∴一次函数的表达式为y=-x-1. 解:②存在.由y=x2-2x-3,得C(0,-3),当线段AB为对角线时,假设E(x1,y1),则线段AB中点坐标为(,0),即(1,0).∴解得 ∴E(2,3). 当线段AB为边时,此时,CE∥AB,CE=AB,AB=3-(-1)=4.假设E(x2,-3), ∴|x2-0|=4,解得x2=4,或x2=-4.∴E(4,-3)或E(-4,-3). 综上,E(2,3),E(4,-3)或E(-4,-3). 解:(2)∵A(m-2,a),C(m,a),∴两点是对称点. ∴=-=t,解得t=m-1.∴y=x2-2(m-1)x-3(m-1>0). ∴a=m2-2(m-1)m-3=-m2+2m-3,b=16-8(m-1)-3=-8m+21. ∵a<b<-3,∴-m2+2m-3<-8m+21<-3,整理,得 解得3<m<4或m>6. 2-4或-2-4 $第14节　函数的实际应用 微诊断 检测基础 C 2.某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600 kg.根据以往的销售经验,甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量,但不能超过乙种西瓜进货量的3倍.若甲种西瓜每千克获利1.2元,乙种西瓜每千克获利1.4元,则该超市每天能获得的最大利润是　 　元.  780 3.跨学科融合　在化学实验中,将一定质量的锌粒放入足量的稀硫酸中,发生反应:Zn+H2SO4 ZnSO4+H2↑.反应过程中,生成氢气的质量随时间变化的图象如图所示(横坐标表示反应时间,纵坐标表示生成氢气的质量).若该图象的第一段是一条过原点的线段,且当t=5 min时,m=0.2 g,则该倾斜线段的函数表达式为m=　 　(用含t的代数式表示,不写t的取值范围);当生成氢气质量为0.3 g时,反应进行了　 　min.  0.04t 7.5 4.在一定温度下,对一个弹性良好的气球不断充入气体,气球内气体的压强p(kPa)与气球的半径r(cm)成反比例关系,p关于r的函数图象经过点(5,30).若压强从20 kPa增加到30 kPa,则气球半径缩小了　 　cm.  5.跨物理学科　 已知某蓄电池的电压为定值,使用此蓄电池时,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示.若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A,则该用电器的可变电阻R(Ω)的取值范围为 　 　.  2.5 R≥3.6 Ω 10 7.图(1)是一个瓷碗,图(2)是其截面示意图,碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计),碗口宽CD=12 cm,此时面汤最大深度EG=8 cm.当面汤的深度ET为4 cm时,汤面的直径PQ长为　 　cm.  讲重点 精准备考 一、一次函数的实际应用 例1　甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量的水时,壶中水的温度y(℃)随时间x(s)变化的函数关系图象如图所示. (1)甲、乙两个水壶加热前水的温度都为　 　℃,甲壶中的水温在达到80 ℃之前每秒上升的温度为　 　℃;  (2)当0≤x≤120时,乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为　 　;  (3)当甲壶中水温刚好达到80 ℃时,乙壶中的水温为　 　.  20 1 50 ℃ 一次函数y=kx+b中k的实际意义是y随x变化而变化的速度,即x每增加1,y增加k(k>0)或减少|k|(k<0). 例2　(2024广安)某小区物管中心计划采购A,B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元. (1)求A,B两种花卉的单价. (2)该物管中心计划采购A,B两种花卉共计10 000株,其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别采购多少株时,总费用最少?并求出最少总费用. 解:(2)设采购A种花卉m株,则采购B种花卉(10 000-m)株,总费用为W元,由题意,得 W=3m+5(10 000-m)=-2m+50 000. ∵m≤4(10 000-m),解得m≤8 000. 在W=-2m+50 000中, ∵-2<0, ∴W随m的增大而减小. ∴当m=8 000时,W的值最小. W最小=-2×8 000+50 000=34 000, 此时10 000-m=2 000. 答:当购进A种花卉8 000株,B种花卉2 000株时,总费用最少,最少费用为34 000元. 二、反比例函数的实际应用 例3　通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标y随时间x(min)变化的函数图象如图所示,当0≤x≤10和10≤x≤20时,图象都是一条线段;当20≤x≤45时,图象是反比例函数图象的一部分. (1)求点A对应的指标值. (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17 min,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36?请说明理由. 三、二次函数的实际应用 例4　某商店出售一款成本价为每件40元的商品,据市场调查反映,该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其部分对应数据如下表: 销售单价x/元 50 65 日销售量y/件 300 150 (1)求y关于x的函数关系式. (2)每件商品的售价为多少元时,才能使每天的销售利润最大?最大销售利润是多少元? 解:(2)设每天销售利润为W元,则 W=(x-40)(-10x+800)=-10(x-60)2+4 000. ∵-10<0,∴当x=60时,W最大=4 000. 故每件商品的售价为60元时才能使每天的销售利润最大,最大销售利润是4 000元. (3)若该商店每天需要支付房租等其他费用共600元,为保证支付其他费用后剩余的利润每天不低于3 150元,请求该商品的销售单价x的取值范围 [备注:销售利润=(销售单价-成本单价)×销售量]. 解:(3)设支付其他费用后每天的利润为W′元,则 W′=-10(x-60)2+4 000-600=-10(x-60)2+3 400, 当W′=3 150时, 即-10(x-60)2+3 400=3 150, 整理得(x-60)2=25, 解得x1=55,x2=65. ∵-10<0,对称轴为x=60, ∴当55≤x≤65时,W′不低于3 150元. 故为保证支付其他费用后每天的利润不低于3 150元,销售单价不低于 55元,且不超过65元. 应用二次函数模型解决利润最值问题的步骤 (1)根据题意确定二次函数的关系式; (2)根据已知条件确定自变量的取值范围; (3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围确定最大(小)值,注意二次函数的最大(小)值不一定是实际问题的最大值,要结合自变量的取值范围确定最大(小)值. 例5　如图所示,某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽,为充分利用现有资源,该矩形场地一面靠墙(墙的长度为18 m),另外三面用篱笆围成,中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽,计划购买篱笆的总长度为32 m,设矩形场地的长为x m,宽为y m,总面积为S m2. (1)分别求出y与x,S与x的函数表达式. (2)当x为何值时,矩形场地的总面积最大?最大总面积为多少? (3)若购买的篱笆总长增加8 m,矩形场地的最大总面积能否达到100 m2?若能,请求出x的值;若不能,请说明理由. (1)求y关于x的函数表达式; (2)根据中考体育考试评分标准(男生版),投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7 m时,即可得满分10分.该男生在此项考试中能否得满分,请说明理由. 命题点1　一次函数的实际应用 1.(2023成都T24,8分)2023年7月28日至8月8日,第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行.“当好东道主,热情迎嘉宾”,成都某知名小吃店计划购买A,B两种食材制作小吃.已知购买1 kg A种食材和1 kg B种食材共需68元,购买5 kg A种食材和3 kg B种食材共需280元. 研真题 靶向中考 (1)求A,B两种食材的单价; (2)该小吃店计划购买两种食材共36 kg,其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍,当A,B两种食材分别购买多少千克时,总费用最少?并求出最少总费用. 解:(2)设购买A种食材x kg,则购买B种食材(36-x)kg,根据题意,得x≥2(36-x),解得x≥24, 设总费用为y元,根据题意,得 y=38x+30(36-x)=8x+1 080, ∵8>0,∴y随x的增大而增大.∴当x=24时,y最小. ∴最少总费用为8×24+1 080=1 272(元). 2.(2025广安T25,8分)某景区需要购买A,B两种型号的帐篷.已知用1 800元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等,且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元. (1)求A,B两种帐篷的单价各多少元? ∵-400<0,∴W随m的增大而减小 ∴当m=15时,W取最小值,W最小=-400×15+20 000=14 000,此时20-m=5, 答:当购买A种帐篷15顶,B种帐篷5顶时,总费用最低,最低总费用为 14 000元. 减小 4.如图所示,一块砖的A,B,C三个面的面积比是5∶3∶1.如果B面向下放 在地上,地面所受压强为a Pa,那么C面向下放在地上时,地面所受压强为 　 　Pa.  3a 命题点3　二次函数的实际应用 5.(2024自贡T18,4分)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地.地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图所示),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m.班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是　 　m2.  46.4 6.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(m)与物体运动的时间t(s)之间满足函数关系h=-5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20 m,物体从发射到落地的运动时间为 3 s.设w(m)表示0 s到t s时h的值的“极差”(即0 s到t s时h的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1时,w的取值范围是　 ;当2≤t≤3时, w的取值范围是　 　.  0≤w≤5 5≤w≤20 7.(2025达州T22,8分)为弘扬达州地方文化,让更多游客了解巴人故里,某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元/件,当售价为40元/件时,每天可以售出60件,经调查发现,售价每件每降价 1元,每天可以多售出10件. (1)设该款巴小虎吉祥物每件降价x元,则每天售出的数量是　 　 件. (60+10x) (2)为让利于游客,该款巴小虎吉祥物每件应该降价多少元,文旅公司每天的利润是630元. 解:(2)设该款巴小虎吉祥物每件降价x元, 根据题意,可得(40-30-x)(60+10x)=630, 整理,可得x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3, 由于要让利于游客,x=1舍去, ∴该款巴小虎吉祥物每件降价3元时,文旅公司每天的利润是630元. (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元,当每件的售价为多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少? 解:(3)设该款巴小虎吉祥物每件降价x元, 则W=(40-30-x)(60+10x)=(10-x)(60+10x)=-10x2+40x+600=-10(x-2)2+ 640, ∵-10<0, ∴当x=2时,W取最大值为640元,此时销售价为38元/件. 答:售价为38元/件时,每天的利润最大,最大利润是640元. 新题型 新考法 8.(2025南通)如图所示,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.若AB=4,AD=x,△DEF的面积为y,则y关于x的函数图象大致为 ( ) B 1.(2025广元)某校开展阳光体育大课间活动,需购买一批球类用品.在采购中发现,篮球的单价比足球的单价高20元,用10 000元购买篮球的数量和用8 000元购买足球的数量相同. 分层练 实战提能 (1)求篮球和足球的单价; ∵两种球都要购买, ∴72≤x<120,且x为整数. ∵y=20x+9 600,20>0, ∴y随x增大而增大. ∴当x=72时,y有最小值,此时120-x=48. 答:总费用y(元)与x(个)的函数关系式为y=20x+9 600,72≤x<120,且x为整数,当购买篮球72个,足球48个时,总费用最低. 2.小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升20 ℃,加热到100 ℃,会沸腾1 min后自动停止加热,水温开始下降,此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系,直至水温降至20 ℃时热水壶又自动开机加热,重复上述程序(如图所示). (1)求反比例图象CD段的函数关系式,并求自变量x的取值范围. (2)小明服用某种活菌制剂药物,医嘱要求:至少在饭后半小时用温开水 (水温不能高于40 ℃)送服.若小明在早饭后立即通电开机,请问他至少需要等多长时间才可以直接用热水壶的水送服活菌制剂药物? 3.如图所示,某学校计划在一块足够大的场地上,利用已有的直角墙角建造一个矩形花圃,已知墙AE=6 m,AF=10 m. (1)如图(1)所示,若矩形花圃使用的篱笆总长为12 m,花圃两边靠墙,其余两边用篱笆围成,围成的花圃面积为35 m2,求这个花圃较短边的长度; 解:(1)设这个花圃较短边的长度为x m, 由题意,得x(12-x)=35, 整理,得x2-12x+35=0, 解得x1=5,x2=7, 当x=5时,较长的边为12-5=7(m),符合题意; 当x=7时,较长的边为12-7=5(m),不合题意; 故这个花圃较短边的长度为5 m. (2)如图(2)所示,若矩形花圃使用的篱笆总长为32 m,花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成,另一边AB由墙AE和篱笆BE构成,其余两边BC,CD由剩下的篱笆围成.当篱笆BE的长为多少时,围成的花圃面积最大?并求出最大面积. 4.某音乐喷泉广场一个泉眼从点O向四周喷水,喷出的水柱为抛物线的一部分,且形状相同,在泉眼中心竖直放置一根水管,在水管的顶端A处安装一个喷水头,喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为4 m处达到最高,高度为9 m,水柱落地处离泉眼中心10 m.如图所示,以水平地面为x轴,水管OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. (1)求水管OA的长度. 解:(1)由题意得抛物线顶点N的坐标为(4,9),点B的坐标为(10,0), ∴设第一象限抛物线的表达式为y=a(x-4)2+9(a≠0). 把(10,0)代入,得36a+9=0, 解得a=-0.25, ∴第一象限抛物线的表达式为y=-0.25(x-4)2+9. ∵当x=0时,y=5,∴OA=5 m. 答:水管OA的长度为5 m. (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为2.75 m的景观射灯EF,且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱. ①求景观射灯EF与OA之间的水平距离; 解:(2)①当y=2.75时,2.75=-0.25(x-4)2+9, 解得x1=9,x2=-1(不合题意,舍去). 答:景观射灯EF与OA间的水平距离为9 m. ②现计划降低水管高度,使落水点恰好在点F处,已知水管下降后,喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变,则水管OA要降低多少? 解:②设降低水管后,水柱所在的抛物线的表达式为 y=-0.25(x-4)2+b, ∵经过点F(9,0), ∴-0.25×25+b=0,解得b=6.25. ∴y=-0.25(x-4)2+6.25. 当x=0时,y=2.25,∴5-2.25=2.75(m). 答:水管OA要下降2.75 m. 谢谢观赏！ 57 1.【人教九上P51探究3变式】如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥,当水面宽4 m时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m,当水面上升 m时,水面的宽度为( ) A.2 m B.2 m C.2 m D. m 6.【北师大九下P57习题T2变式】在体育课上,小颖站在操场上的O点练习掷实心球,发现若不考虑空气阻力,实心球的飞行路线是一条抛物线.如图所示,已知实心球出手时的高度OA= m,当飞行到与点O的水平距离为4 m时达到最大高度3 m,则小颖这次实心球训练的成绩(即OB的长度)为　　m. 6 y=x+20 解:(1)设A种花卉的单价为x元,B种花卉的单价为y元.由题意,得解得 答:A种花卉的单价为3元,B种花卉的单价为5元. 解:(1)令反比例函数为y=(x>0), 由题图可知点(20,45)在y=的图象上, ∴k=20×45=900.∴y=. 将x=45代入,得点A对应的指标值为=20. 解:(2)能.理由如下:设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0), 将(0,20),(10,45)代入y=kx+b中, 得解得 ∴直线AB的表达式为y=x+20. 由题意得解得≤x≤25. ∵25-=>17,∴张老师经过适当的安排,能使学生在听综合题的讲解时,注意力指标都不低于36. 解:(1)设y=kx+b(k≠0),根据题意可得 解得 ∴y关于x的函数关系式为y=-10x+800. 解:(1)由题意,得x+4y=32,∴y=-x+8. ∴S=xy=x(-x+8),即S=-x2+8x. (2)∵-<0,∴S有最大值. 当x=-=16时,S最大=-×162+8×16=64. 即当x=16时,矩形场地的总面积最大,最大总面积为64 m2. 解:(3)不能.理由如下: 由题意,得x+4y=32+8, ∴y=-x+10.∴S=xy=x(-x+10)=100.解得x1=x2=20. ∵18<20, ∴矩形场地的最大总面积不能达到100 m2. 例6　掷实心球是中考体育考试项目之一.实心球行进路线是一条抛物线,行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图所示.掷出时,起点处高度为 m.当水平距离为4 m时,实心球行进至最高点5 m处. 解:(1)根据题意设y关于x的函数表达式为y=a(x-4)2+5,把(0,)代入表达式,得=a(0-4)2+5,解得a=-, ∴y关于x的函数表达式为y=-(x-4)2+5,即y=-x2+x+. 解:(2)不能得满分.理由如下:根据题意,令y=0,且x>0, ∴-x2+x+=0,解方程,得x1=9,x2=-1(舍去). ∵9<9.7,∴不能得满分. 解:(1)设A种食材的单价为a元,B种食材的单价为b元,根据题意,得解得 答:A种食材的单价为38元,B种食材的单价为30元. 解:(1)设A种帐篷的单价为x元,则B种帐篷的单价为(x+400)元. 由题意,得=,解得x=600, 经检验:x=600符合题意,∴x+400=1 000. 答:A种帐篷的单价为600元,B种帐篷的单价为1 000元. (2)若该景区需要购买A,B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买),且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的,则购买A,B两种型号的帐篷各多少顶时,总费用最低?最低总费用是多少元? 解:(2)设购买A种帐篷m顶,则B种帐篷(20-m)顶,总费用为W元. 由题意,得20-m≥m,解得m≤15. 又∵两种型号的帐篷均需购买, ∴0<m≤15. W=600m+1 000(20-m)=-400m+20 000, 命题点2　反比例函数的实际应用 3.跨物理学科　 (2025成都T12,4分)某蓄电池的电压为定值.使用此电源时,用电器的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系为I=,则电流I的值随电阻R值的增大而　 　(选填“增大”或“减小”).  解:(1)设篮球的单价为x元,则足球的单价为(x-20)元, 由题意,得=, 解得x=100, 经检验,x=100是原方程的解,且符合题意, ∴x-20=80. 答:篮球的单价为100元,足球的单价为80元. (2)学校需购买篮球和足球共120个(两种球都要购买),足球的数量不能多于篮球数量的,设购买篮球x个,总费用为y元,求总费用y(元)与x(个)的函数关系式,并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案. 解:(2)由题意,得y=100x+80(120-x)=20x+9 600, ∵足球的数量不能多于篮球数量的, ∴120-x≤x. ∴x≥72. 解:(1)由题意,可得开机加热到100 ℃所需时间为=4(min), ∴点B的坐标为(4,100),点C的坐标为(5,100). ∴设反比例图象CD段的函数关系式为y=, 把(5,100)代入,得100=,解得k=500,∴y=. 令y=20时,代入y=,解得x=25, 则点D的坐标为(25,20). ∴反比例图象CD段的函数关系式为y=(5≤x≤25). 解:(2)由(1)可知: ∵从水温20 ℃开机加热到100 ℃、沸腾停止加热、再到水温下降回20 ℃为一个周期共用时25 min,25<30, 当水温第二次加热到40 ℃所需时间为25+=26<30, 当水温第二次下降到40 ℃所需时间为25+=37.5>30, ∴他至少需要等37.5 min才可以直接用热水壶的水送服活菌制剂药物. 解:(2)由题意知,矩形花圃的周长为 32+AE+AF=32+6+10=48(m), ∴AB+AD==24 m. 设篱笆BE的长为x m,则AD=24-AE-BE=24-6-x=(18-x)(m), ∴花圃面积S=AB·AD=(6+x)(18-x)=-x2+12x+108=-(x-6)2+144. ∴当x=6时,S取最大值,最大值为144, 即当篱笆BE的长为6 m时,围成的花圃面积最大,最大面积为144 m2. $第13节　反比例函数与一次函数综合题 微诊断 检测基础 A.1≤x≤3 B.2≤x≤6 C.0<x≤1 D.x≥3 A C A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(3)(4) 13 13 (1)求反比例函数的表达式; (2)连接OA,OB,求△AOB的面积. 讲重点 精准备考 (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (3)x≥2或-6≤x<0. 2.确定自变量的取值范围: 如图所示,当y1>y2时,一次函数的图象位于反比例函数图象的上方,x的取值范围为x>xA或xB<x<0;同理,当y1<y2时,x的取值范围为x<xB或0<x<xA. 3.求面积: (1)当两函数图象的交点在不同象限时(如图(1)所示),需通过坐标轴将所求三角形的面积转化为两个三角形面积的和,即S△AOB=S△BOC+S△AOC或S△AOB=S△BOD+S△AOD; 图(1) (2)当两函数图象的交点在同一象限内时(如图(2)所示),需将所求三角形的面积转化为三个三角形面积的差,即S△AOB=S△COD-S△AOD-S△BOC. 图(2) (1)求一次函数与反比例函数的表达式; 命题点　反比例函数与一次函数的综合 研真题 靶向中考 (1)求k的值; (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点D在反比例函数的图象上,若∠ACD=90°,求直线AD的函数表达式; (3)P为x轴上一点,直线AP交反比例函数的图象于点E(异于点A),连接BE,若△BEP的面积为2,求点E的坐标. 2.(2025南充T21,10分)如图所示,一次函数与反比例函数的图象交于点A(-3,1),B(1,n). (1)求一次函数与反比例函数的解析式; 基础巩固 分层练 实战提能 A B C A B C D C (1)求一次函数和反比例函数的表达式; 能力进阶 B C (1)求反比例函数与一次函数的表达式; (2)点M在x轴上,若S△OAM=S△OAB,求点M的坐标. 思维拓展 (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)点P在x轴的负半轴上,且△AOC与△POD相似,求点P的坐标. 谢谢观赏！ 47 1.已知函数y1=(x>0)与函数y2=-2x+8的图象如图所示,若x>0,则不等式 ≤-2x+8的解集是( ) 2.【人教9下P9习题T8】在同一平面直角坐标系中,函数y=kx与y= (k≠0)的大致图象是( ) 3.如图所示,已知反比例函数y=(k≠0)的图象与正比例函数y=ax(a≠0)的图象相交于点A,B,过点A作AC⊥x轴于点C,连接BC,若△ABC的面积为12,则k的值为　 　.  4.如图所示,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(2,),B(t,-2),则关于x的不等式ax+b<的解集是　 　.  x<-或0<x<2 5.如图所示,在平面直角坐标系中,函数y=(x>0)与y=x+3的图象交于点P(a,b),则代数式a2+b2的值为　 　.  6.如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=x-4与反比例函数y=的图象交于A,B两点,与x轴相交于点C,已知点A,B的坐标分别为(5n,n)和(m,-5). 解:(1)∵点(5n,n)在一次函数y=x-4的图象上, ∴n=5n-4.∴n=1.∴点A的坐标为(5,1). 又∵点A在反比例函数y=的图象上, ∴1=,解得k=5.∴反比例函数的表达式为y=. 解:(2)将(m,-5)代入y=x-4,得-5=m-4,解得m=-1. ∴点B的坐标为(-1,-5). ∵一次函数y=x-4,∴当y=0时,0=x-4,解得x=4. ∴点C的坐标为(4,0),即OC=4. ∴S△AOB=OC·(yA-yB)=×4×(1+5)=12. 例1　如图所示,一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y=(k2≠0)的图象交于点A(2,3),B(n,-1),与y轴交于点C. 解:(1)将(2,3)代入y=,得3=,解得k2=6. ∴反比例函数的表达式为y=. 把(n,-1)代入y=,得-1=,解得n=-6, ∴点B的坐标为(-6,-1). 把(2,3),(-6,-1)代入y=k1x+b, 得解得 ∴一次函数的表达式为y=x+2. (2)求△AOB的面积; (3)直接写出关于x的不等式k1x+b≥的解集. 解:(2)把x=0代入y=x+2,得y=2, ∴点C的坐标为(0,2). ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC·|xA|+OC·|xB|=×2×2+×2×6=8. 1.确定函数表达式: 将一个交点坐标代入y=可求k,再由反比例函数表达式确定另一个交点坐标,最后利用待定系数法可求得一次函数的表达式. 例2　如图所示,一次函数y=2x+b的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A(2,6). 解:(1)∵一次函数y=2x+b的图象经过A(2,6), ∴6=2×2+b.∴b=2.∴一次函数的表达式为y=2x+2. ∵反比例函数y=的图象经过A(2,6), ∴6=.∴m=12.∴反比例函数的表达式为y=. (2)将一次函数y=2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位长度,与反比例函数y=的图象相交于点B,C,求S△ABC的值. 解:(2)∵将一次函数y=2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位长度,与反比例函数y=的图象相交于点B,C,∴直线BC的表达式为y=2x+2-12=2x-10. 联立解得或 ∴B(-1,-12),C(6,2). 如图所示,过点A作AT∥y轴交直线BC于点T,∵A(2,6), ∴点T的横坐标为2. 在y=2x-10中,当x=2时,y=2×2-10=-6,∴T(2,-6). ∴AT=6-(-6)=12. ∴S△ABC=S△ABT+S△ACT=×12×[2-(-1)]+×12×(6-2)=18+24=42. 1.(2025成都T18,10分)如图所示,在平面直角坐标系中,直线y=-x+b与反比例函数y=的图象的一个交点为A(a,2),与x轴的交点为B(3,0). 解:(1)∵直线y=-x+b与x轴的交点为B(3,0), ∴0=-3+b,解得b=3. ∴一次函数的表达式为y=-x+3.把(a,2)代入y=-x+3,得2=-a+3,解得a=1. ∴点A的坐标为(1,2).把(1,2)代入y=,得k=1×2=2. 解:(2)如图所示,连接AD, 由(1),得反比例函数的表达式为y=,∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点A(1,2),∴点C的坐标为(-1,-2). ∴AC2=(1+1)2+(2+2)2=20.设点D的坐标为(m,), ∴AD2=(1-m)2+(2-)2,CD2=(-1-m)2+(-2-)2. ∵∠ACD=90°, ∴AD2=CD2+AC2.∴(1-m)2+(2-)2=(-1-m)2+(-2-)2+20,解得m=-4或m=-1(舍去).∴点D的坐标为(-4,-).设直线AD的函数表达式为y=k1x+b1(k1≠0),把(-4,-),(1,2)代入,得解得 ∴直线AD的函数表达式为y=x+. 解:(3)设点E的坐标为(t,),设直线AE的表达式为y=k2x+b2,把(t,),(1,2)代入,得 解得 ∴直线AE的表达式为y=-x+.当y=0时,0=-x+,解得x=t+1, ∴点P的坐标为(t+1,0).∴BP=|t+1-3|=|t-2|. ∴S△BEP=×|yE|×BP=×||×|t-2|. ∵△BEP的面积为2,∴×||×|t-2|=2.解得t=或t=-2. ∴点E的坐标为(-2,-1)或(,3). 解:(1)设反比例函数的解析式为y=(k1≠0), ∵经过点A(-3,1),∴k1=-3.∴反比例函数的解析式为y=-. ∵B(1,n)在反比例函数y=-的图象上,∴n=-3.∴B(1,-3). 设一次函数的解析式为y=k2x+b(k2≠0),∴解得 ∴一次函数的解析式为y=-x-2. (2)点C在反比例函数第二象限的图象上,横坐标为a,过点C作x轴的垂线,交AB于点D,CD=,求a的值. 解:(2)∵CD⊥x轴,∴C(a,),D(a,-a-2). ∵CD=,∴|(-a-2)-|=.解得a=-6,或a=,或a=,或a=. ∵点C在第二象限,∴a=-6或a=. 新题型 新考法 3.(2025吉林)如图所示,在平面直角坐标系中,过原点O的直线与反比例函数y=的图象交于A,B两点,分别以点A,点B为圆心,画半径为1的☉A和☉B.当☉A,☉B分别与x轴相切时,切点分别为点C和点D,连接AC,BD,则阴影部分图形的面积和为　 　(结果保留π).  1.已知反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=2-x的图象的一个交点的横坐标为3,则k的值为( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 2.如图所示,在平面直角坐标系中,反比例函数y1=与正比例函数y2=x的图象交于A(m,3),B两点,当y1<y2时,x的取值范围是( ) A.x>4 B.-4<x<0或x>4 C.x<-4或0<x<4 D.-4<x<4 3.函数y=和y=kx-2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 4.(2025贵州)如图所示,一次函数y=x(x≥0)与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C,过反比例函数图象上点A作x轴垂线,垂足为点D,交y=x的图象于点B,点A的横坐标为1.有以下结论:①线段AB的长为8;②点C的坐标为(3,3);③当x>3时,一次函数的值小于反比例函数的值. 其中结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.(2025广安)如图所示,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与反比例函数y=(m为常数,m≠0)的图象交于A,B两点,点A的坐标是(-8,1),点B的坐标是(n,-4). 解:(1)把(-8,1)代入y=,得1=,解得m=-8,∴反比例函数的表达式为y=-.把(n,-4)代入y=-,得-4=-,解得n=2,∴B(2,-4). 把(-8,1),(2,-4)代入y=kx+b, 得解得∴一次函数的表达式为y=-x-3. (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式kx+b>的解集. 解:(2)由函数图象可知,当一次函数图象在反比例函数图象上方时,自变量的取值范围为x<-8或0<x<2,∴关于x的不等式kx+b>的解集是x<-8或0<x<2. 6.如图所示,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点A,B,与x轴交于点C,AB=BC.若△OAC的面积为4,则k的值为( ) A.2 B. C. D.4 7.如图所示,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,反比例函数y=(x>0)与正比例函数y=kx(k>0)的图象交于点A.将正比例函数y=kx(k>0)的图象向上平移个单位长度后得到的图象与y轴交于点B,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C.过点C作x轴的垂线,与x轴交于点D.线段CD与OA交于点E,点E为OA的中点,则k的值为( ) A. B.1 C. D.2 8.如图所示,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A(-1,6), B(,a-3),与x轴交于点C. 解:(1)由题意,设反比例函数表达式、一次函数表达式分别为y=(n≠0), y=kx+b(k≠0). ∵点A(-1,6)在反比例函数y=的图象上, ∴n=-6.∴反比例函数的表达式为y=-. ∵点B(,a-3)在反比例函数图象上, ∴(a-3)=-6.∴a=1.∴点B的坐标为(3,-2). ∵点A(-1,6),B(3,-2)在一次函数y=kx+b的图象上, ∴解得 ∴一次函数的表达式为y=-2x+4. 解:(2)设点M(m,0),由(1),得直线y=-2x+4交x轴于点C(2,0), ∴OC=2.∴S△AOB=S△AOC+S△COB=OC×6+OC×2=6+2=8. ∵点M在x轴上,∴S△AOM=OM×6=3|m|. 又S△AOB=S△AOM,∴3|m|=8,解得m=±.∴点M的坐标为(,0)或(-,0). 9.(2025眉山)如图所示,一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象相交于A(1,4),B(4,m)两点,与x轴交于点C,点D与点A关于点O对称,连接AD. 解:(1)把(1,4)代入反比例函数y=,得k=4,则反比例函数的表达式为y=. 把(4,m)代入y=,得m=1,∴B(4,1).把(1,4),(4,1)代入y=ax+b,得解得∴一次函数的表达式为y=-x+5. 解:(2)令y=-x+5=0,则x=5,∴C(5,0). ∵点D与点A关于点O对称,A(1,4), ∴D(-1,-4).设点P(x,0)(x<0),∵O(0,0),∴PO=-x. 又∵A(1,4),C(5,0),D(-1,-4), ∴AO==,OD==,OC=5. ∵△AOC与△POD相似,∠AOC=∠POD,∴分两种情况:=或=. 当=时,即=,解得x=-,此时,点P(-,0); 当=,即=,解得x=-5,此时P(-5,0).综上所述,当点P在x轴的负半轴上,且△AOC与△POD相似时,点P的坐标为(-,0)或(-5,0). $课时2　二次函数的图象与性质 过教材 梳理知识 知识点1　二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象是一条　 　.  2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 抛物线 a a>0 a<0 图象 开口 向上 向下 小 大 增大 减小 减小 增大 知识点2　二次函数图象与系数a,b,c的关系 项目 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) b2-4ac>0 与x轴有两个不同交点 b2-4ac<0 与x轴没有交点 特殊 关系 当 x=1时,y=a+b+c 当x=-1时,y=a-b+c 若a+b+c>0,则当x=1时,y>0 若a-b+c>0,则当x=-1时,y>0 微诊断 检测基础 1.【北师大九下P41习题T1变式】抛物线y=2x2-4x+3的对称轴为( ) A.直线x=1 B.直线x=2 C.直线x=-4 D.直线x=-1 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.a>0 B.b>0 C.c<0 D.b2-4ac<0 A B C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知二次函数y=x2+2x+m的图象经过点A(1,6),则下列说法错误的是 ( ) A.m=3 B.函数图象的对称轴是直线x=-1 C.函数图象与x轴有两个交点 D.当x>0时,y的值随x值的增大而增大 C y2<y1<y3 5.已知点A(-4,y1),B(-3,y2),C(1,y3)都在二次函数y=x2+4x-3的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为　 　(用“<”连接).  6.已知二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0).若当-1≤x≤4时,y的最大值为5,则a的值为　 　.  7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有下列式子:①a>0,②b>0,③a-b+c>0,④b2-4ac>0,⑤2a+b=0,其中正确的有　 　(填序号).  ②④⑤ 一、二次函数的图象与系数a,b,c的关系 例1　已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(-1,0),结合图象填空(选填“>”“<”或“=”). (1)abc　 　0;  (2)2a+b　 　0,2a-b　 　0;  (3)b2-4ac　　0;  讲重点 进准备考 < = < > (4)a+b+c　 　0,a-b+c　 　0;  (5)4a+2b+c　 　0,4a-2b+c　 　0;  (6)9a+3b+c　 　0,9a-3b+c　 　0;  (7)3a+c　 　0.  > = > < = < = a-b+c 令x=-1,看纵坐标 4a+2b+c 令x=2,看纵坐标 4a-2b+c 令x=-2,看纵坐标 9a+3b+c 令x=3,看纵坐标 9a-3b+c 令x=-3,看纵坐标 二、利用增减性比较大小 例2　已知抛物线y=x2-2x-1. (1)若抛物线经过(2,y1)和(3,y2)两点,则y1　 　(选填“>”“<”或“=”)y2;  (2)若抛物线经过(-3,y1)和(4,y2)两点,则y1　 　(选填“>”“<”或“=”)y2;  (3)若点(-2,y1),(-1,y2),(5,y3)都在该抛物线上,则y1,y2,y3之间的大小关系是　 　.  < > y3>y1>y2 三、利用增减性求取值范围 例3　如图所示,已知抛物线y=x2-2x-1. (1)函数值y的取值范围是　 　.当-3<x≤0时, 函数值y的取值范围是　 　;  (2)当2<y<3时,x的取值范围是　 　;  (3)若点A,B是抛物线上的两点(点A,B均在对称轴右侧),且到对称轴的距离分别为2和3,则抛物线在A,B之间的部分(包含A,B两点),y的取值范围为　 　.  y≥-2 -1≤y<14 2≤y≤7 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的任意一点到其对称轴的距离记为d,则有:d相等,y值相等;a>0时,d越大,y值越大,d越小,y值越小;a<0时,d越大,y值越小,d越小,y值越大. 四、最值问题 例4　已知抛物线y=-x2+2x+3. (1)如图(1)所示,当-2≤x≤0时,函数值y的最大值是　 　;  3 (2)如图(2)所示,当-2≤x≤2时,函数值y的最大值是　 　;  4 (3)如图(3)所示,当0≤x≤3时,函数值y的最小值是　 　;  0 (4)如图(4)所示,当2≤x≤4时,函数值y的最大值和最小值之差为　　. 8 命题点1　二次函数的图象与性质 1.(2023成都T8,4分)如图所示,二次函数y=ax2+x-6的图象与x轴交于 A(-3,0),B两点,下列说法正确的是( ) A.抛物线的对称轴为直线x=1 研真题 靶向中考 C 2.(2024乐山T9,3分)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是( ) A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 3.(2024成都T23,4分)在平面直角坐标系中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是二次函数y=-x2+4x-1图象上三点.若0<x1<1,x2>4,则y1　 　(选填“>”或“<”)y2;若对于m<x1<m+1,m+1<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存在y1<y3<y2,则m的取值范围是　 　.  C > 命题点2　二次函数的图象与系数a,b,c的关系 4.(2025达州T10,4分)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0),点B(3,0),下列结论:①abc<0;②4a+b=0;③b2-4ac>0;④a-b+c> 0.正确的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B两点,对称轴是直线x=1,下列说法正确的是( ) A.a>0 B.当x>-1时,y的值随x值的增大而增大 C.点B的坐标为(4,0) D.4a+2b+c>0 D 新题型 新考法 7.新定义题　(2025成都模拟)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t (k≠0)的伴随函数,如:y=x2+1是y=x+1的伴随函数.若y=x2-4是y=-x+p的伴随函数,则p=　 　;若函数y=mx-3(m≠0)的伴随函数y=x2+2x+n的图象与x轴两个交点间的距离为4,则mn=　 　.  -4 -3 基础巩固 分层练 实战提能 1.下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是( ) A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点 D.顶点在x轴的上方 C 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c<0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 C 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点M(b2-4ac,a-b+c)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2025泸州)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,与y轴的交点位于x轴下方,且x=-1时,y>0,下列结论正确的是( ) A.2a=b B.b2-4ac<0 C.a-2b+4c<0 D.8a+c>0 B D 5.(2025绵阳三模)若二次函数y=x2-4x+c的图象经过点A(5,y1),B(2,y2), C(-2,y3),则下列结论正确的是( ) A.y2<y1<y3 B.y1<y2<y3 C.y3<y2<y1 D.y2<y3<y1 A 6.(2025凉山)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,其对称轴为直线x=2,且图象经过点(6,0),则下列结论错误的是( ) D 7.(2025南充)已知某函数图象关于y轴对称,当0≤x≤2时,y=x2-2x;当x>2时,y=2x-4.若直线y=x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点,则实数b的范围是( ) A 8.(2025成都模拟)在平面直角坐标系中,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a<0)上任意两点,设抛物线的对称轴为直线x=t.当x1=-1, x2=3时,y1=y2,则t=　 　;若x1>x2,对于x1+x2>4,都有y1<y2,则t的取值范围为　 　.  1 t≤2 (2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度,向左平移m(m>0)个单位长度后,恰好落在函数y=x2+bx+c的图象上,求m的值; 解:(2)由题意,得点B平移后的点的坐标为(1-m,9), 则9=(1-m)2+(1-m)+3,解得m=4或m=-1(舍去),∴m的值为4. 能力进阶 10.(2025成都一模)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法不正确的是( ) A.对称轴为直线x=1 B.y的最小值为-4 C.x=-2对应的函数值为y=5 D.当0<x<2时,-4<y<-2 D C 12.(2025成都模拟)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)经过A(x1,0), B(x2,0)两点,且2<x1<3<x2<4.下列四个结论: ①c>0;②a+b+c>0;③若a=1,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有实数解;④已知b+6a=0,点M(m,y1),N(n,y2)在抛物线y=ax2+bx+c上,-1<n<4,若对于任意的m,都有n使得y1=y2,则m的取值范围为-1<m<7.其中正确的结论是　 　(填序号).  ①②④ (1)求该抛物线的表达式; (2)如图所示,若点M为直线AC上方的抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交AC于点N,过点M作x轴的平行线,交直线AC于点Q,求MN+MQ的最大值. 思维拓展 14.新定义题　(2024乐山)定义:函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”.例如,点(0,1)是函数y=x+1图象的“近轴点”. (1)下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是　 　(填序号);  ③ 谢谢观赏！ 45 对称轴 直线x=- 顶点坐标 (-,) 最值 当x=　 　时,y有最　 　值为　　   当x=　 　时,y有最　 　值为 　　   - - 增减性 在对称轴右侧 当x>-时,y随x的增大而　   当x>-时,y随x的增大而　   在对称轴左侧 当x<-时,y随x的增大而　   当x<-时,y随x的增大而　   3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点(b,)在( ) 1或- 代数式形式 解题思路 2a+b -与1比较 2a-b -与-1比较 a+b+c 令x=1,看纵坐标 1-<x<-1或3<x<1+ B.抛物线的顶点坐标为(-,-6) C.A,B两点之间的距离为5 D.当x<-1时,y的值随x值的增大而增大 -<m<1 5.(2025广安T10,4分)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象交x轴于A,B两点,点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(n,0),有下列结论:①abc<0;②4a+c>2b;③关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1, x2=n;④-=.其中正确的有( ) A.bc>0 B.4a+b=0 C.若a+bx1=a+bx2且x1≠x2,则x1+x2=4 D.若(-1,y1),(3,y2)两点都在抛物线y=ax2+bx+c上,则y2<y1 A.-<b<0 B.-<b<- C.-≤b≤0 D.b≤-或b>0 9.(2025德阳模拟)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(-2,5),对称轴为直线x=-. (1)求二次函数的表达式; 解:(1)设二次函数的表达式为y=(x+)2+k, 把A(-2,5)代入,得(-2+)2+k=5,解得k=, ∴y=(x+)2+=x2+x+3. (3)当-2≤x≤n时,二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为,求n的取值范围. 解:(3)当n<-时,∴最大值与最小值的差为5-[(n+)2+]=,解得n1=n2=-不符合题意,舍去;当-≤n≤1时,∴最大值与最小值的差为5-=,符合题意;当n>1时,最大值与最小值的差为(n+)2+-=,解得n1=1或n2=-2,不符合题意.综上所述,n的取值范围为-≤n≤1. 11.(2025德阳)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)过点(1,0), (m,0),且2<m<3,该抛物线与直线y=kx+c(k,c是常数,k≠0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(点A在点B左侧).下列结论:①bc<0;②3a+b>0;③点A′是点A关于直线x=-的对称点,则3<AA′<4;④当x2=4时,不等式ax2+(b-k)x<0的解集为0<x<4.其中正确的结论个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13.(2025成都模拟)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点,对称轴是直线x=-,连接AC,BC. 解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C(0,2),对称轴是直线x=-, ∴∴ ∴抛物线的表达式为y=-x2-x+2. 解:(2)在y=-x2-x+2中,令y=0,则-x2-x+2=0,解得x1=-4,x2=1. ∴A(-4,0),B(1,0). 设直线AC的表达式为y=kx+b1(k≠0), 将A(-4,0),C(0,2)代入,得 解得∴直线AC的表达式为y=x+2. 设M(m,-m2-m+2)(-4<m<0),则N(m,m+2),yQ=-m2-m+2, 在y=x+2中,当y=-m2-m+2时, 即x+2=-m2-m+2,解得x=-m2-3m,即Q(-m2-3m,-m2-m+2). ∴MN=-m2-m+2-(m+2)=-m2-2m,MQ=-m2-3m-m=-m2-4m. ∴MN+MQ=-m2-2m+(-m2-4m)=-m2-6m=-(m2+4m)=-(m+2)2+6,∵-<0, ∴当m=-2时,MN+MQ取得最大值为6. ①y=-x+3;②y=;③y=-x2+2x-1. (2)若一次函数y=mx-3m的图象上存在“近轴点”,则m的取值范围为 　 　.  -≤m<0或0<m≤ $