3 专题3 解直角三角形的实际应用-【中考总动员】2026年四川泸州中考数学讲义本配套课件

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的实际应用”中考核心考点，严格对接中考要求，梳理方位角、仰角俯角、坡度三大常考类型，结合2025纳溪区一诊等本地模拟真题，分析考点权重与命题趋势，归纳航海测量、高度计算等典型题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼”模式，如方位角问题通过构造直角三角形、仰角问题利用坡比建模，培养学生几何直观与推理能力。实例中示范作辅助线、列三角函数方程等方法，帮助学生掌握解题技巧，助力教师高效组织复习，提升中考得分率。

专题3　 解直角三角形的实际应用 《中考复习总动员》 2026泸州数学 1 例1 (2025·纳溪区一诊) 如图，某渔船在A处测得小岛C位于A的北偏西30°方向，小岛D位于A的北偏东31°方向.该渔船沿正北方向航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C位于B的南偏西60°方向，且B，C相距15海里，小岛D位于B的南偏东45°方向. (1)求该渔船航行的距离AB； 类型一 方位角问题 首页 类型一 类型二 2 解：由题意，得BC＝15海里，∠CAB＝30°，∠ABC＝60°.∴∠C＝90°. ∴AB＝2BC＝30海里. 答：该渔船航行的距离AB为30海里. 首页 类型一 类型二 (2)求B处与小岛D之间的距离BD(结果取整数.参考数据：sin 31°≈0.5，tan 31°≈0.6，≈1.4). 解：过点D作DE⊥AB于点E.在Rt△BDE中， ∠DBE＝45°，∴BE＝DE，BD＝DE. 设BE＝DE＝x海里，则 AE＝AB－BE＝(30－x)海里. 在Rt△ADE中， 首页 类型一 类型二 tan∠DAE＝tan 31°＝≈0.6. ∴x≈11.25.∴BE＝DE≈11.25海里. ∴BD≈×11.25＝15.75≈16(海里). 答：B处与小岛D之间的距离BD约为16海里. 首页 类型一 类型二 1.(2025·枫叶佳德学校一模) 为巩固 农村脱贫成果，利兴村委会计划利用 一块如图所示的空地ABCD，培育绿 植销售，空地南北边界AB∥CD，西 边界BC⊥AB，经测量得到如下数据：点A在C的北偏东58°方向，在点D的北偏东48°方向，BC＝780米.求空地南北边界AB和CD的长(结果保留整数.参考数据：tan 48°≈1.1，tan 58°≈1.6). 针对训练 首页 类型一 类型二 解：由题意可知∠BCA＝58°，∠ADE＝48°. 过点D作DE⊥AB于点E. ∵AB∥CD，BC⊥AB，∴四边形BCDE 为矩形.∴DE＝BC＝780米. 在Rt△ABC中，BC＝780米，tan 58°＝≈1.6， ∴AB≈780×1.6＝1 248(米). 在Rt△ADE中，DE＝BC＝780米，tan 48°＝≈1.1， ∴AE≈780×1.1＝858(米). ∴CD＝BE≈1 248－858＝390(米). 答：空地南北边界AB的长约为1 248米，CD的长约为390米. 首页 类型一 类型二 2.(2024·梓橦路学校模拟) 如图，海中两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行40海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离.(计算结果用根号表示，不取近似值) 首页 类型一 类型二 解：如图，过点A作AF⊥CD于点F，过点D作DE⊥CD.由题意，得∠FCA＝∠ACN＝45°，∠NCB＝30°， ∠ADE＝60°. ∴∠FAD＝60°，∠FAC＝∠FCA＝45°， ∠ADF＝30°.∴AF＝FC＝AN＝NC. 设AF＝FC＝x海里. ∴tan 30°＝.∴x＝20(＋1). 首页 类型一 类型二 ∵tan 30°＝，∴. ∴BN＝海里. ∴AB＝AN＋BN＝20(＋1)＋20＋ ＝40＋(海里). 答：灯塔A，B间的距离为海里. 首页 类型一 类型二 例2 (2024·江阳西路学校二适) 如图，在河流EF两 边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山 B处拉电线，已知甲山AF与地面CD的夹角∠AFC ＝60°，乙山BE的坡比为1∶1，甲山上A点的高度 AC＝600米，从A处看B处的俯角为15°.(参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，≈1.414，≈1.732，≈2.449) 类型二 仰角、俯角与坡度问题 首页 类型一 类型二 11 (1)若AB之间电线的长度为900米，求河宽EF的长度；(结果精确到1米) 解：过点B作BH⊥AC于点H， 则∠BHC＝∠AHB＝90°. 由题意可知∠C＝∠D＝90°. ∴四边形CDBH是矩形.∴BH＝CD，CH＝BD. 由题意知，AB＝900米，∠ABH＝15°. 在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝sin 15°， 首页 类型一 类型二 cos∠ABH＝＝cos 15°， ∴AH＝AB·sin 15°，BH＝AB·cos 15°. ∴CH＝AC－AH＝AC－AB·sin15°. ∴BD＝CH＝AC－AB·sin 15°. ∵乙山BE的坡比为1∶1，∴BD∶ED＝1∶1. ∴ED＝BD＝AC－AB·sin 15°. ∵∠AFC＝60°，∴tan∠AFC＝＝tan 60°，∴CF＝. 首页 类型一 类型二 ∵AC＝600米，AB＝900米， ∴EF＝CD－CF－ED＝AB·cos 15°－－(AC－AB·sin 15°) ≈161(米). ∴河宽EF的长度约为161米. 首页 类型一 类型二 (2)若在河边点F处有一个信号接收站，信号站附近480米内有电流会影响信号接收，请问电线安装完成后，是否会影响信号接收站的正常工作?并说明理由. 解：过点F作FG⊥AB于点G. 在Rt△ACF中，∠AFC＝60°，AC＝600米， ∴AF＝，∠CAF＝30°. ∵∠ABH＝15°，∠AHB＝90°， 首页 类型一 类型二 ∴∠HAB＝75°.∴∠FAB＝45°. ∵sin∠FAB＝， ∴FG＝AF·sin 45°＝·sin 45° ≈489.8(米). ∵信号站附近480米内有电流会影响信号接收，489.8＞480，且点G是距离信号接收站最近的点，∴不会影响信号接收站的正常工作. 首页 类型一 类型二 3.(2025·老窖天府中学二模) 如图，某中 学九年级某班数学兴趣活动小组选定测量 某寺里宝塔BC的高度，同学们在寺内一平 台上D处测得宝塔顶端B的仰角是30°，平台高6 m，朝宝塔方向沿斜坡AD走下平台到达塔底A处，斜坡AD的坡比i＝1∶，在A处测得塔顶端B的仰角是45°，求该宝塔的高度(计算结果若有根号，化简保留根号). 针对训练 首页 类型一 类型二 解：过点D作DG⊥BC于点G. ∵坡比i＝1∶，DE＝6 m，∴AE＝6 m. ∵∠BAC＝45°，∴设AC＝BC＝x m. ∴BG＝(x－6) m，DG＝CE＝(x＋6) m. 首页 类型一 类型二 ∵∠BDG＝30°，tan∠BDG＝， ∴.∴x＝18＋6. ∴BC＝(18＋6) m. 答：该宝塔的高度是(18＋6) m. 首页 类型一 类型二 4.(2024·泸高附中三模) 某校数学兴趣 小组在水库某段CD的附近借助无人机进 行实物测量的社会实践活动.如图，兴趣 小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸 D处某标志物DE顶端的仰角为α.在C处一 架无人机以北偏西90°－β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上. 首页 类型一 类型二 (1)求无人机的飞行高度AM； 解：根据题意可知∠ACM＝β，AC＝100米. ∴AM＝AC·sin β＝100×＝200(米). 答：无人机的飞行高度AM为200米. 首页 类型一 类型二 (2)求标志物DE的高度.(结果精确到0.1米)(已知数据：sin α＝，cos α＝，tan α＝，sin β＝，cos β＝，tan β＝2，≈1.732) 首页 类型一 类型二 解：根据题意可知∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°. 过点B作BG⊥MC于点G交AC于点H. ∵AB∥CM，∴∠BAH＝∠ACM＝β. ∴BH＝AB·tan β＝30×2＝60(米). ∴HG＝BG－BH＝200－60＝140(米). ∵AB∥CM，∴△HBA∽△HGC. ∴AB∶GC＝BH∶HG，即30∶GC＝60∶140. 首页 类型一 类型二 ∴GC＝70米. ∵∠GBD＝90°－30°＝60°， ∴GD＝BG·tan∠GBD＝200米. ∴CD＝GD－GC＝(200－70)米. ∴DE＝CD·tan α＝(200－70)×≈207.3(米). 答：标志物DE的高度约为207.3米. 首页 类型一 类型二 本讲内容结束 $