5 专题5 圆的综合-【中考总动员】2026年四川泸州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“圆的综合”核心考点，覆盖圆的基本性质、切线性质与判定等中考高频内容，结合近5年泸州及全国中考真题，分析考点权重，归纳“证明与计算”“切线相关”等常考题型，对接中考说明要求，备考针对性强。 课件亮点在于“真题精讲+解题策略”模式，如2024泸州中考切线证明题，通过“相似三角形判定”“圆周角定理”等推理过程，培养学生数学思维与推理能力。针对线段计算等典型题型，提炼“方程思想”“几何直观”解题技巧，帮助学生掌握得分关键，教师可依此高效组织复习，提升冲刺效果。

专题5　圆的综合 《中考复习总动员》 2026泸州数学 1 例1 (2024·成都) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作☉O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF. (1)求证：BC·DF＝BF·CE； 类型一 与圆的基本性质有关的证明与计算 首页 类型一 类型二 类型三 2 证明：∵BD是☉O的直径， ∴∠BFD＝90°. ∵∠C＝90°，∴∠BFD＝∠C. ∵，∴∠BEC＝∠BDF. ∴△BCE∽△BFD.∴. ∴BC·DF＝BF·CE. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝，AF＝4，求CF的长和☉O的直径. 解：连接DE，过点E作EH⊥BD于点H. ∵∠C＝90°，tan∠BFC＝， ∴.∴BC＝CF. ∵∠A＝∠CBF，∴90°－∠A＝90°－∠CBF，即∠ABC＝∠BFC. ∴tan∠ABC＝tan∠BFC＝.∴. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴AC＝BC＝×(CF)＝5CF. ∵AC－CF＝AF＝4，∴5CF－CF＝4. ∴CF＝. ∴BC＝CF＝5，AC＝5CF＝5. ∴AB＝＝5. 由(1)知，△BCE∽△BFD.∴∠CBE＝∠DBF. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴∠CBE－∠FBE＝∠DBF－∠FBE， 即∠CBF＝∠EBA. ∵∠A＝∠CBF，∴∠A＝∠EBA.∴AE＝BE. ∴BH＝AH＝AB＝. ∵∠BEH＝90°－∠EBA＝90°－∠CBF＝∠BFC， ∴tan∠BEH＝tan∠BFC＝. ∴，即.∴EH＝. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵BD是☉O的直径，∴∠BED＝90°. ∴∠EDH＝90°－∠DEH＝∠BEH. ∴tan∠EDH＝tan∠BEH＝. ∴，即.∴DH＝. ∴BD＝DH＋BH＝＝3. ∴☉O的直径为3. ∴CF的长为，☉O的直径为3. 首页 类型一 类型二 类型三 1.(2024·泸县二中模拟) 如图，△ABC内接于☉O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交☉O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交☉O于点F. (1)求证：BD＝BC； 针对训练 证明：连接DC，则∠BDC＝∠BAC＝45°. ∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°. ∴∠BCD＝90°－∠BDC＝45°. ∴∠BCD＝∠BDC.∴BD＝BC. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若☉O的半径R＝3，BE＝6，求线段BF的长. 解：∵∠DBC＝90°，∴CD为☉O的直径. ∴CD＝2R＝6. ∴BC＝CD·sin∠BDC＝6×＝3. ∴EC＝＝3. ∵BF⊥AC，∴∠BMC＝∠EBC＝90°. 首页 类型一 类型二 类型三 又∵∠BCM＝∠ECB.∴△BCM∽△ECB. ∴.∴BM＝＝2，CM＝. 连接CF，则∠F＝∠BAC＝45°. ∴∠MCF＝45°.∴MF＝MC＝. ∴BF＝BM＋MF＝2. 首页 类型一 类型二 类型三 2.(2014·泸州) 如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA. (1)求证：BC＝CD； 证明：∵DC2＝CE·CA，∴. 又∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD. ∴∠CDB＝∠CAD.∴. ∴BC＝CD. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝2，求DF的长. 解：连接OC. ∵BC＝CD，∴∠DAC＝∠CAB. ∵AO＝CO，∴∠CAB＝∠ACO. ∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC. ∴.∵PB＝OB，CD＝2， 首页 类型一 类型二 类型三 ∴.∴PC＝4. ∵四边形ABCD内接于☉O， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. 又∠BCD＋∠BCP＝180°， ∴∠BAD＝∠BCP. 又∠APD＝∠CPB，∴△APD∽△CPB. ∴，即.∴OB＝4， 首页 类型一 类型二 类型三 ∴AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°. ∴∠FDA＋∠BDC＝∠CBA＋∠CAB＝90°. ∵∠BDC＝∠CAB，∴∠FDA＝∠CBA. 又∠AFD＝∠ACB＝90°， ∴△AFD∽△ACB.∴. 在Rt△ACB中， 首页 类型一 类型二 类型三 AC＝＝2. ∴.∴AF＝DF. 在Rt△AFP中，设DF＝x，则AF＝x， ∴(x)2＋(x＋6)2＝122. 解得x＝或x＝－3(舍去). ∴DF＝. 首页 类型一 类型二 类型三 例2 (2024·泸州) 如图，△ABC是☉O的内接三角形，AB是☉O的直径，过点B作☉O的切线与AC的延长线交于点D，点E在☉O上，AC＝CE，CE交AB于点F. (1)求证：∠CAE＝∠D； 类型二 与切线性质有关的证明与计算 首页 类型一 类型二 类型三 16 证明：∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠BCD＝90°. ∴∠D＋∠CBD＝90°. ∵BD是☉O的切线，∴∠ABD＝90°. ∴∠ABC＋∠CBD＝90°.∴∠ABC＝∠D. 又∵∠E＝∠ABC，∴∠E＝∠D. ∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠E. ∴∠CAE＝∠D. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)过点C作CG⊥AB于点G，若OA＝3，BD＝3，求FG的长. 解：过点C作CH⊥AE于点H. ∵OA＝3，∴AB＝2OA＝6. 在Rt△ABD中， AD＝＝3. ∵S△ABD＝AB·BD＝AD·BC， ∴BC＝＝2. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴AC＝＝2. ∵CG⊥AB，∴CG＝＝2. ∴AG＝＝4. ∴BG＝2. ∵AC＝CE，CH⊥AE，∴AE＝2AH. 由(1)可得∠CAH＝∠ABC. 首页 类型一 类型二 类型三 又∵∠CHA＝∠ACB＝90°.∴△CHA∽△ACB. ∴，即. ∴AH＝2.∴AE＝4. 设FG＝x，则AF＝4＋x. ∵∠CBF＝∠E，∠BCF＝∠EAF， ∴△CBF∽△AEF. ∴，即 . 首页 类型一 类型二 类型三 ∴CF＝. ∵CF2＝CG2＋FG2， ∴＝(2)2＋x2. 解得x＝或x＝4(舍去). ∴FG的长为. 首页 类型一 类型二 类型三 3.(2021·泸州) 如图，△ABC是☉O的内接三角形，过点C作☉O的切线交BA的延长线于点F，AE是☉O的直径，连接EC. (1)求证：∠ACF＝∠B； 针对训练 证明：连接OC. ∵CF是☉O的切线， ∴∠OCF＝90°. ∴∠OCA＋∠ACF＝90°. ∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵AE是☉O的直径， ∴∠ACE＝90°. ∴∠OCA＋∠OCE＝90°. ∴∠ACF＝∠OCE＝∠E. ∵∠B＝∠E， ∴∠ACF＝∠B. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD·AE的值. 解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F， ∴△ACF∽△CBF. ∴. ∵AF＝2，CF＝4， ∴，∴BF＝8. ∴AB＝BC＝8－2＝6，∴AC＝3. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ACE＝90°. 又∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC. ∴. ∴AD·AE＝AB·AC＝6×3＝18. 首页 类型一 类型二 类型三 4.(2025·成都) 如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F. (1)求证：BE∥CD； 首页 类型一 类型二 类型三 证明：连接OC，则OA＝OC. ∴∠OAC＝∠OCA. ∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D， ∴OC⊥CD.∴∠BCD＋∠OCB＝90°. ∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠OCA＋∠OCB＝90°.∴∠OCA＝∠BCD.∴∠CAB＝∠BCD. ∵，∴∠EBC＝∠CAB＝∠BCD. ∴BE∥CD. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若sin D＝，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长. 解：设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r.∵BD＝1，∴OD＝r＋1. ∵OC⊥CD，∴sin D＝. ∴r＝2，即半圆O的半径为2.∴AB＝2r＝4. 连接AE，则∠AEB＝90°. ∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠D. ∴sin∠ABE＝sin D＝. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴AE＝AB＝. ∴BE＝.∵， ∴∠EAF＝∠BAF.∴AF平分∠BAE. ∴点F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长. ∴.∴.∴.∴EF＝BE＝. 首页 类型一 类型二 类型三 5.(2018·泸州) 如图，已知AB，CD是☉O的直径，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P，☉O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF. (1)求证：CO2＝OF·OP； 证明：∵PC是☉O的切线，∴OC⊥PC. ∴∠PCO＝90°. ∵AB是☉O的直径，DF＝EF，∴AB⊥ED.∴∠OFD＝∠OCP＝90°. 又∠FOD＝∠COP，∴△OFD∽△OCP. ∴. 又OD＝OC，∴CO2＝OF·OP. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长. 解：过点C作CM⊥OP于点M，连接EC，EO. 设OC＝OB＝r.在Rt△POC中，PC2＋OC2＝PO2， 即(4)2＋r2＝(r＋4)2.∴r＝2. ∴CM＝. ∵DC是☉O的直径，∴∠CEF＝∠EFM＝∠CMF＝90°.∴四边形EFMC是矩形. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴EF＝CM＝. 在Rt△OEF中，OF＝. ∴EC＝2OF＝. ∵EC∥OB，∴. ∵GH∥CM，∴. ∴GH＝. 首页 类型一 类型二 类型三 例3 (2019·泸州) 如图，AB为☉O的直径，点P在AB的延长线上，点C在☉O上，且PC2＝PB·PA. (1)求证：PC是☉O的切线； 类型三 与切线判定有关的证明与计算 首页 类型一 类型二 类型三 33 证明：连接OC. ∵PC2＝PB·PA，∴. 又∠BPC＝∠CPA，∴△PBC∽△PCA. ∴∠PCB＝∠PAC. ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥PC.∴PC是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长. 解：连接OD. ∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB·PA， ∴PA＝＝40，∴AB＝PA－PB＝30. ∵△PBC∽△PCA，∴. 设BC＝x，则AC＝2x. 首页 类型一 类型二 类型三 在Rt△ABC中，x2＋(2x)2＝302， 解得x＝6，即BC＝6. ∵点D是的中点，AB为☉O的直径， ∴∠AOD＝90°. ∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC. ∴∠DFO＝∠ABC. 首页 类型一 类型二 类型三 又∠DOF＝∠ACB＝90°，∴△DOF∽△ACB. ∴.∴. ∴OF＝OD＝，∴AF＝OA－OF＝. ∵EF∥BC，∴. ∴EF＝BC＝. 首页 类型一 类型二 类型三 6.(2025·乐山) 如图，☉O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为F.C为☉O外一点，连接BE，BC，CD，∠DBC＝∠DEB. (1)求证：BC为☉O的切线； 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 证明：∵直径AB垂直于弦DE，∴. ∴∠BED＝∠BDE. ∵∠DBC＝∠DEB， ∴∠BDE＝∠CBD. ∴BC∥DE.∴AB⊥BC. ∴BC为☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若BE∥CD，tan C＝，CD＝5，求OF的长. 解：连接OE. ∵BC∥DE，BE∥CD， ∴四边形BCDE是平行四边形. ∴BE＝CD＝BD＝5，∠BEF＝∠C. ∵tan C＝，∴tan∠BEF＝， 首页 类型一 类型二 类型三 ∴设BF＝3x，EF＝4x. ∴BE＝＝5x＝5. ∴x＝1.∴EF＝4，BF＝3. 在Rt△OEF中，OE2＝OF2＋EF2， ∴OE2＝(OE－3)2＋42.∴OE＝. ∴OF＝－3＝. 首页 类型一 类型二 类型三 7.(2025·南充) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的☉O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD. (1)求证：ME是☉O的切线； 证明：连接OE. ∵CD为☉O的直径，点E在☉O上， ∴OD＝OE＝OC. 在△OME和△OMD中， 首页 类型一 类型二 类型三 ∴△OME≌△OMD(SSS). ∴∠OEM＝∠ODM. ∵CD⊥AB，∴∠ODM＝90°. ∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME. 又∵OE是☉O的半径， ∴ME是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若CF＝3，sin B＝，求OM的长. 解：连接DF.∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠DCF＝90°. ∴∠B＝∠DCF. ∵sin B＝，∴sin∠DCF＝. ∵CD为☉O的直径，∴∠DFC＝90°. 在Rt△DCF中，sin∠DCF＝，可设DF＝4x，CD＝5x. 首页 类型一 类型二 类型三 由勾股定理，得CF＝＝3x. ∵CF＝3，∴3x＝3.解得x＝1. ∴CD＝5x＝5.∴OD＝CD＝2.5. 由(1)可知△OME≌△OMD. ∴∠EOM＝∠DOM. ∴∠DOE＝∠EOM＋∠DOM＝2∠DOM. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵∠DOE＝2∠OCE，∴∠DOM＝∠OCE. ∴OM∥BC.∴∠OMD＝∠B. ∴sin∠OMD＝sin B＝. 在Rt△ODM中，sin∠OMD＝， ∴.∴OM＝. 首页 类型一 类型二 类型三 本讲内容结束 $