第七章 图形的变化 2026年中考数学专题复习课件（四川）

第29节　视图与投影 过教材 梳理知识 知识点1　投影 平行投影 由平行光线形成的投影 中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影 正投影 投影线垂直于投影面产生的投影 知识点2　三视图 1.三视图的概念 (1)主视图:在正面得到的　 　观察物体的视图;  (2)俯视图:在上面得到的　 　观察物体的视图;  (3)左视图:在左面得到的　 　观察物体的视图.  2.画三视图的要素 画三视图时,三个视图都要放在正确的位置,并且注意主视图与俯视图的 　 　,主视图与左视图的　 　,左视图与俯视图的　 　. 由前向后 由上向下 由左向右 长对正 高平齐 宽相等 3.常见几何体的三视图 4.根据三视图还原几何体 (1)想象:根据各视图想象从三个方向看到的几何体形状; (2)定形:综合确定几何体(实物原型)的形状; (3)定大小、位置:根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定轮廓线的位置以及各个方向的大小. 知识点3　立体图形的展开与折叠 1.常见几何体的展开图 圆柱、圆锥、三棱柱的展开图如图所示. 2.正方体的展开图 类型 示意图 “1-4-1”型 “2-3-1”型 3.立体图形上两点之间的最短距离的求法 将立体图形展开转化为平面图形或将曲面转化为平面图形,然后运用“两点之间,线段最短”结合勾股定理求解. 命题点1　几何体的三视图 研真题 靶向中考 1.(2025成都T2,4分)下列几何体中,主视图和俯视图相同的是( ) C 2.(2025资阳T2,4分)如图所示是由6个相同的正方体堆成的物体,则该物体的左视图是( ) D 命题点2　由三视图还原几何体 3.(2024资阳T3,4分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( ) A.长方体 B.棱锥 C.圆锥 D.球体 4.(2023成都T20,4分)一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成,它的主视图和俯视图如图所示,则搭成这个几何体的小正方体最多有　　个. A 6 5.某几何体的三视图如图所示,由图中数据可知,该几何体的侧面积为 　 　cm2(结果保留π).  15π 命题点3　立体图形的展开与折叠 6.(2024绵阳T4,3分)如图所示是某几何体的展开图,则此几何体是( ) A.五棱柱 B.五棱锥 C.六棱柱 D.六棱锥 7.(2025德阳T5,3分)下列图形中可以作为正方体的展开图的是( ) C A 8.(2025内江T6,3分)如图所示是正方体的表面展开图,与“共”字相对的字是( ) A.安 B.全 C.校 D.园 B 新题型 新考法 9.传统文化　 鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,十分巧妙.如图(1)所示是一种简单的鲁班锁,由三根完全相同的四棱柱木条,挖去中间部分,使其内部凹凸啮合,组成外观严丝合缝的十字形几何体,其上下、左右、前后分别对称. 图(1) (1)图(2)是这个鲁班锁主视图、左视图和俯视图的一部分,请将它们补充完整; 图(2) 解:(1)如图所示. (2)已知这些四棱柱木条的高为6,底面正方形的边长为2,求这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积. 解:(2)这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为2×6×2-2×2=24-4=20. 基础巩固 分层练 实战提能 1.(2025宜宾)下列立体图形是圆柱的是( ) D 2.(2025辽宁)下列几何体中,主视图为三角形的是( ) A 3.(2025福建)福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙,云纹青铜大铙是西周乐器,鼓饰变形兽面纹,两侧饰云雷纹,浑大厚重,作风稳重古朴,代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌.如图所示为其示意图,它的主视图是( ) A 4.数学课上,同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形,其中得到的平面图形正确的是( ) D 5.(2025成都模拟)如图所示是一个正方体的展开图,则与“争”字一面相对的字是( ) A.开 B.忠 C.先 D.勇 6.传统文化　 早在1000多年前的宋朝,手影就已经作为民间一种有趣的游戏而存在.手影戏全凭手影艺人的十指借光弄影,表演各色人物、花草虫鱼、飞禽走兽甚至是寓言故事.如图所示,手影戏中的手影属于 　 　(选填“平行投影”或“中心投影”).  D 中心投影 7.如图所示,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD, AB=2 m,CD=6 m,点P到CD的距离是2.7 m,则点P到AB间的距离是　 　m. 0.9 能力进阶 8.在如图所示的圆锥的三视图中,是中心对称图形的是( ) A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.以上答案都不对 C 9.由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示,则搭成该立体图形的小正方体的个数最少为( ) A.6 B.9 C.10 D.14 B D 11.如图所示是某风车的示意图,其相同的四个叶片均匀分布,水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻,太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB,此时各叶片影子在点M右侧成线段CD,测得MC=8.5 m,CD=13 m,垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3,则点O,M之间的距离等于　 m.转动时,叶片外端离地面的最大高度等于　 　m.  10 思维拓展 12.数学文化　 中国古代数学瑰宝《九章算术》中有这样一道趣题,意思是说:今有堑堵,底面宽为2丈,长为18丈6尺,高为2丈5尺,其三视图如图所示,则它的体积是(注:1丈=10尺)( ) A.25 500立方尺 B.46 500立方尺 C.34 300立方尺 D.48 100立方尺 B 谢谢观赏！ 30 几何体 主视图 左视图 俯视图 “2-2-2”型 “3-3”型 10.如图所示,这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图,则它的左视图的面积是( ) A.4 B.2 C. D.2 (10+) $第30节　图形的对称(含折叠) 过教材 梳理知识 知识点1　轴对称图形与中心对称图形 项目 轴对称图形 中心对称图形 图形 判断 步骤 (1)找对称轴; (2)图形沿对称轴折叠; (3)对称轴两边的图形 　   (1)找对称中心; (2)图形绕对称中心旋转　 　;  (3)旋转前后的图形完全重合 完全重合 180° 知识点2　轴对称与中心对称 项目 轴对称 中心对称 图形 性质 (1)成轴对称的两个图形是全等图形; (2)对称点所连线段被对称轴　   (1)成中心对称的两个图形是全等图形; (2)对应点的连线经过对称中心,且被对称中心　   垂直平分 平分 知识点3　折叠 1.折叠的实质是轴对称,位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称. 2.折叠前后的两部分图形全等,对应边、角、线段、周长、面积都分别 　 　.  3.折叠前后对应点的连线被折痕　 　.  相等 垂直平分 微诊断 检测基础 1.(2025遂宁)汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体,在发展过程中演变出多种字体,给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆书,能看作是轴对称图形的是( ) D 2.(2025福建)中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题,是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形,其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是( ) D 3.如图所示,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,连接AA′,BB′,CC′,其中BB′分别交AC,A′C′于点D,D′,有下列结论:①AA′∥BB′;②∠ADB=∠A′D′B′;③直线l垂直平分AA′;④直线AB与A′B′的交点不一定在直线l上.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 4.【北师大七下P130习题T2变式】如图所示,将直角三角形纸片ABC的直角C沿EF折叠,点C落在纸片内部的点P处.若∠FEP=48°,则∠BFP的度数是( ) A.42° B.48° C.84° D.96° 5.(2025甘肃)如图所示,把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点B′处,B′C与AD相交于点E,此时△CDE恰为等边三角形.若AB=6 cm,则AD=　 　cm.  D 12 一、三角形的折叠 例1　如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=32,AD⊥BC于点D,∠ABC的平分线交AD于点E,且DE=8.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合.以下结论:①BD=16;②点E到AC的距离为8;③∠AGE+∠EMD=2∠C;④AB=2AE.其中结论正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 讲重点 精准备考 A 二、四边形的折叠 例3　(2025内江)如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点B的坐标为(1,0),点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠,点D落在点F 处.若点F的坐标为(0,3),则点E的坐标为　 　.  (-1.5,5) 命题点1　对称图形的识别及性质 研真题 靶向中考 1.传统文化　 (2025内江T2,3分)古钱币是我国珍贵的历史文化遗产.下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) D 2.(2023成都T12,4分)在平面直角坐标系中,点P(5,-1)关于y轴对称的点的坐标是　 　.  (-5,-1) 命题点2　折叠的基本性质 新题型 新考法 基础巩固 分层练 实战提能 1.(2025北京)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) D 2.如图所示,△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称,下列结论:①点A与点A′关于点O对称;②BO=B′O;③AC∥A′C′;④∠ABC=∠C′A′B′.其中成立的是( ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ A 3.如图所示,根据下列图形折叠后的情况,可以判定AD是△ABC的角平分线的是( ) B 4.(2025长沙)如图所示,将△ABC沿折痕AD折叠,使点B落在AC边上的点E处,若AB=4,BC=5,AC=6,则△CDE的周长为( ) A.5 B.6 C.6.5 D.7 5.在平面直角坐标系中,点(m,-2)与点(3,n)关于x轴对称,则m+n=　　.  D 5 6.如图所示,将一张矩形的纸条ABCD沿EF折叠,AD交EC′于点G,若折叠后∠AGC′=48°,则∠CEF的度数是　 　.  66° 能力进阶 7.(2025长春)将直角三角形纸片ABC(∠C=90°)按如图所示方式折叠两次再展开,下列结论错误的是( ) D C 9.(2025德阳模拟)如图所示,在矩形ABCD的BC边上取一点E,将△ABE沿直线AE折叠得到△AFE,此时点B的对称点F恰好落在边CD上,G为AD中点,连接BG分别与AE,AF交于M,N两点,且∠BEM=∠BME,连接FM. (1)求证:四边形BEFM为菱形; (1)证明:∵△ABE沿直线AE折叠得到△AFE, ∴△ABE≌△AFE. ∴∠FEM=∠BEM,BE=EF. ∵∠BEM=∠BME, ∴BM=BE,∠FEM=∠BME. ∴EF∥BM,BM=EF. ∴四边形BEFM为平行四边形. 又∵BM=BE, ∴四边形BEFM为菱形. (2)若AD=4,求线段CE的长和sin ∠DAF的值. (2)解:连接BF,如图所示. ∵△ABE≌△AFE,∴∠AFE=∠ABE=90°. ∵EF∥BM, ∴∠GNF=∠AFE=90°, 即FN⊥BN. ∵在矩形ABCD中,FC⊥BC, 由(1),可得FM=EF,BF平分∠MBE. ∴FN=FC. 思维拓展 10.如图所示,在矩形ABCD中,BC=2AB,点M,N为直线AD上的两个动点,且∠MBN=30°,将线段BM沿BN翻折得线段BM′,连接CM′.当线段CM′的长度最小时,∠MM′C的度数为　 　.  75° 谢谢观赏！ 30 例2　(2025成都模拟)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC= 2,D为AB的中点,E为BC边上一点,将△BDE沿DE翻折得到△B′DE, B′E与AD交于点F,若△BEF的面积是△DEF的3倍,则CE的长为 　 　. 3.(2025内江T25,6分)如图所示,在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°, AB=2,点D,E,F分别是边BC,AB,AC上的动点,则△DEF周长的最小值是　 　.  2 4.(2025宜宾T16,4分)如图所示,在矩形ABCD中,点E,F分别在边BC, CD上,且EF∥BD,把△ECF沿EF翻折,点C恰好落在矩形对角线BD上M 点处.若A,M,E三点共线,则的值为　 　.  5.(2023成都T22,4分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,过D作DE∥BC交AC于点E,将△DEC沿DE折叠得 到△DEF,DF交AC于点G.若=,则tan A=　 　.  6.如图所示,以半圆中的一条弦BC(非直径)为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D,若=,且AB=10,则CB的长为　 .  4 A.MN∥DE∥PQ B.BC=2DE=4MN C.AN=BQ=NQ D.== 8.(2025成都模拟)如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将△ABC沿AC折叠,点B落在B′处,AD与B′C交于点E,则CE的长为( ) A. B. C. D. ∵在Rt△CEF和Rt△NMF中, ∴Rt△CEF≌Rt△NMF(HL).∴CE=MN. ∵G为AD中点,AD=4,∴AG=DG=AD=2. ∵FM∥AD,BC=AD=4,∠AMG=∠BME,∠GAM=∠BEM, ∴∠AMG=∠GAM,得GA=GM. 且∠AGN=∠FMN,∠GAN=∠MFN, ∴△AGN∽△FMN,=,即AG·MN=GN·FM. 设CE=MN=x, 则BE=FM=4-x,GN=2-x, ∴2x=(2-x)(4-x). 解得x1=4+2(不符合题意,舍去),x2=4-2. ∴CE=4-2.∴GN=2-x=2-2. ∴sin∠DAF===-1. $第31节　图形的平移与旋转 过教材 梳理知识 知识点1　图形的平移 要素 平移方向和　   性质 (1)平移前后,对应线段　 　;  (2)对应点所连的线段　 　 ;  (3)平移前、后的图形　   平移距离 平行(或共线)且相等 平行(或共线)且相等 全等 知识点2　图形的旋转 要素 旋转中心、旋转方向和　   性质 (1)对应点到旋转中心的距离　 　;  (2)对应点与旋转中心的连线所成的角都　 　旋转角; (3)旋转前、后的图形　   旋转角 相等 等于 全等 微诊断 检测基础 1.社会生活　 国家实施“体重管理年”计划,呼吁大家积极参与运动,下列各组运动图标中,能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是( ) C 2.(2025眉山)在平面直角坐标系中,将点A(-1,3)向右平移2个单位长度到点B,则点B的坐标为( ) A.(-3,3) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-1,5) 3.(2025苏州)如图所示,将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是( ) C A 4.【北师大八下P67习题T1变式】如图所示,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,若BC=5,BE=2,则CF的长是( ) A.2 B.2.5 C.3 D.5 A 5.【北师大八下P89复习题T15变式】如图所示,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,格点(网格线的交点) A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,2),(1,1). (1)将△ABC向下平移3个单位长度,得到△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1),画出△A1B1C1; (2)以点A为旋转中心,将△ABC绕点A顺时针旋转90°,得到△AB2C2(点B,C的对应点分别为B2,C2),画出△AB2C2; 解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求. (2)如图所示,△AB2C2即为所求. (3)请直接写出以A,B2,A1,C为顶点的四边形的面积. 一、图形的平移 例1　(2025成都模拟)如图所示,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位长度后,得到△A′B′C′,连接 A′C,则线段A′C的长为　 　.  讲重点 精准备考 4 例2　(2025成都模拟)如图所示,△ABC在平面直角坐标系中,其中点 A(0,3),B(-4,-1),C(4,0),将△ABC的顶点A平移至点P(4,2)的位置后,那么点C的对应点的坐标是　 　.  (8,-1) 二、图形的旋转 例3　(2025成都模拟)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=α(0°<α< 45°),点D,E分别在边AB,AC上(不与A,B,C重合),将线段DE绕点E顺时针旋转180°-2α得到线段EF. (1)如图(1)所示,当点F与点C重合时,求证:AD=CD; (1)证明:∵线段DE绕点E顺时针旋转180°-2α得到线段EF, ∴DE=CE,∠DEF=180°-2α. ∴∠DEF=∠DFE=α. ∵∠BAC=α,∴∠BAC=∠DFE.∴AD=DF, 即AD=CD. (2)如图(2)所示,当点F在BC边时,作FG∥AC,交AB于点G,试说明BG与AD有何数量关系,并证明. (2)解:BG=2AD.证明略. (1)通过等角对等边可得证; (2)以点E为圆心,AE长为半径画弧,交AB于点H,取BG的中点Q,连接FQ,通过证明三角形全等进而证得角相等,最后通过等角对等边可得证. 命题点1　平移的性质 研真题 靶向中考 1.(2025凉山T15,4分)如图所示,将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF,连接AD,则四边形ABFD的周长为　 　.  24 命题点2　旋转的性质 2.(2023绵阳T18,4分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C,满足A1B1∥AC,过点B作 BE⊥A1C,垂足为点E,连接AE,若S△ABE=3S△ACE,则AB的长为　 　.  ①③④ 新题型 新考法 4.数学文化　 如图所示的徽标,是我国古代弦图的变形,该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次,每次旋转90°得到的,如果中间小正方形的面积为1 cm2,这个图形的总面积为129 cm2,AD=3 cm,则Rt△ABC的斜边AB=　 　cm.  12 基础巩固 分层练 实战提能 1.传统文化　 甲骨文是我国的一种古代文字,下列甲骨文中,能用其中一部分平移得到的是( ) D B 3.(2025辽宁)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(2,-2),将线段AB平移得到线段CD,点A的对应点C的坐标为(3,5),则点B的对应点D的坐标为( ) A.(7,-2) B.(2,3) C.(2,-7) D.(-3,-2) B 4.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式,风力发电机有三个底端重合,两两成120°角的叶片.如图所示,以三个叶片的重合点为原点建立平面直角坐标系,点A的坐标为(4,3),在一段时间内,叶片每秒绕原点O逆时针转动60°,则第2 025 s时,点A的对应点的坐标为( ) A.(-3,4) B.(-4,-3) C.(4,3) D.(-3,-4) B 5.(2025广安模拟)[问题情境]在△ABC中,AB=CB,AC≠AB,∠ABC=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应点分别是点D,E. (1)[初探感知]如图(1)所示,∠E的度数为　 　.  (2)[深入领悟]如图(2)所示,当线段DE经过点C时,求证:AD⊥BC. 67.5° (2)证明:由旋转的性质,得AE=AC,∠ACB=∠E=67.5°,∠ADE=∠ABC=45°, ∴∠ACE=∠E=67.5°.∴∠BCE=135°. ∴∠DFC=∠BCE-∠ADE=135°-45°=90°. ∴AD⊥BC. (3)[融会贯通]如图(3)所示,在旋转的过程中,当点D落在BC的延长线上时,过点E作EG∥BD,交BA的延长线于点G.请你判断线段AG和CD的数量关系,并说明理由. (3)解:AG=CD.理由略. 能力进阶 6.(2025陕西)在平面直角坐标系中,过点(1,0),(0,2)的直线向上平移 3个单位长度,平移后的直线经过的点的坐标可以是( ) A.(1,-3) B.(1,3) C.(-3,2) D.(3,2) B 7.(2025天津)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到Rt△AB′C′,点B,C的对应点分别为B′,C′,B′C′的延长线与边BC相交于点D,连接CC′.若AC=4,CD=3,则线段CC′的长为( ) D 8.定义新运算　在平面直角坐标系中,{a,b}表示动点从原点出发,沿着x轴正方向(a≥0)或负方向(a<0)平移|a|个单位长度,再沿着y轴正方向(b≥0)或负方向(b<0)平移|b|个单位长度.例如,动点从原点出发,沿着x轴负方向平移2个单位长度,再沿着y轴正方向平移1个单位长度,记作(-2,1).其对应的加法运算法则为{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中 a,b,c,d为实数.若{3,5}+{m,n}={-1,2},则m=　 　,n=　 　.  -4 -3 9.(2024成都模拟)[实践探究] (1)如图(1)所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,且AC=BC,E是AB边上一动点,连接CE,将CE绕着点C逆时针旋转90°至CF,连接EF交BC边于点G,连接FB,求证:AE=BF. 图(1) (2)如图(2)所示,在(1)的条件下,连接AF交BC于点O,当E在AB的中点时,求tan ∠AFE的值. 图(2) [拓展应用] (3)如图(3)所示,△ABC是等边三角形,E是AB边上一动点,连接CE,将CE绕着点C逆时针旋转60°至CF,连接EF交BC边于点G,连接AF交BC于点O,连接FB,当E在AB的中点时,求tan ∠AFE的值. 图(3) 思维拓展 D 谢谢观赏！ 35 解:(3)以A,B2,A1,C为顶点的四边形的面积为. 4 3.(2025南充T16,4分)如图所示,AC为正方形ABCD的对角线,CE平分∠ACB,交AB于点E,把△CBE绕点B沿逆时针方向旋转90°得到△ABF,延长CE交AF于点M,连接DM,交AC于点N.给出下列结论:①CM⊥AF;②CF=AF;③∠CMD=45°;④=-1.以上结论正确的是　 　(填写序号).  2.(2025大庆)如图所示,在△ABC中,AB=BC=2,∠CBA=120°.将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE,点B,点C的对应点分别为点D,点E,连接CE,点D恰好落在线段CE上,则CD的长为( ) A.2 B.4 C.3 D.6 A. B. C.4 D. (1)证明:∵∠ACB=∠ECF=90°,∴∠ACE=∠BCF. 在△ACE和△BCF中, ∴△ACE≌△BCF.∴AE=BF. (2)解:如图①所示,过A作AM⊥FE,交FE延长线于点M. ∵E为AB的中点,∴EC=EB,∠CEB=90°. ∵△ACE≌△BCF,∴∠CBF=∠CAE=45°.∴∠EBF=90°. ∴∠ECF=∠CEB=∠EBF=90°.∴四边形CEBF为正方形. ∵∠AEM=∠FEB=45°,∠M=90°, ∴△AME为等腰直角三角形.∴设AM=ME=1.则AE=, ∴EB=BF=.∴EF=2.∴tan∠AFE===. (3)解:如图②所示,过A作AN⊥FE,交FE延长线于点N. ∵CA=CB,E为AB的中点,∴∠CEB=90°,AE=EB. ∵△CEF为等边三角形,∴∠CEF=60°. ∴∠FEB=30°.∴∠AEN=30°. 设AN=1,则AE=2,NE=. ∴CE=AE=2.∴EF=CE=2. ∴tan∠AFE===. 10.数学文化　 (2024南充)如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的图示,人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形ABCD中,AB=10.下列三个结论:①若 tan∠ADF=,则EF=2;②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍,则点F是AG的三等分点;③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG′,则BG′的最大值为5+5.其中正确的结论是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ $第七章　图形的变化 第28节　尺规作图 过教材 梳理知识 知识点　五种基本尺规作图 类型 图示 作法 原理 作一条线段等于已知线段(截取) (1)作射线OP; (2)在OP上截取 　 　,OA即为所求线段  圆(弧)上的点到圆心的距离等于半径 OA=a 作一个角等于已知角(截取) (1)作射线O′A; (2)在∠α上以点O为圆心,以任意长为半径作弧,分别交∠α的两边于点P,Q; (3)以点O′为圆心,OP长为半径作弧,交O′A于点M; (4)以点M为圆心,　 　长为半径作弧,交前弧于点N;  (5)过点N作射线O′B,∠BO′A即为所求角 三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;两点确定一条直线 作已知角的平分线 (平分) (1)以点O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA,OB于点N,M; (2)分别以点M,N为圆心,　 　长为半径作弧,两弧在∠AOB内相交于点P;  (3)作射线OP,OP即为所求 PQ 作已知线段的垂直平分线(平分) (1)分别以点A,B为圆心, 　 　长为半径在线段两侧作弧,两弧分别交于点M,N;  (2)作直线MN,MN即为所求 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;两点确定一条直线 命题点　尺规作图 研真题 靶向中考 1.(2025成都T13,4分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2.以点A为圆心,以AB长为半径作弧;再以点C为圆心,以BC长为半径作弧,两 弧在AC上方交于点D,连接BD,则BD的长为　 　.  2.(2023成都T13,4分)如图所示,在△ABC中,D是边AB上一点,按以下步骤作图: ①以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N; ②以点D为圆心,以AM长为半径作弧,交DB于点M′; ③以点M′为圆心,以MN长为半径作弧,在∠BAC内部交前面的弧于点N′; ④过点N′作射线DN′交BC于点E. 新题型 新考法 3.“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计,通常由六到十二个连续的等弧连成 一圈,构成了别具一格的装饰图案.徐州博物馆藏“八连弧纹镜”,纹饰中有八个连续的等弧连成一圈.如图所示为另一件连弧纹镜(残件)的示意图. (1)若将图中的连弧纹镜补全,则该铜镜应为“　 　连弧纹镜”;  七 解:(1)如图所示,连接一段等弧两端点构造弦,在圆上依次截取相同长度的弦即可; 若将图中的连弧纹镜补全,则该铜镜应为“七连弧纹镜”. (2)请用无刻度的直尺与圆规,补全图中所有残缺的弧,使其“破镜重圆” (保留作图痕迹,不写作法). 解:(2)如图所示,先确定两个同心圆的圆心,补全两个同心圆,再依次找到等弧的圆心即可. 基础巩固 分层练 实战提能 1.如图所示,小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中,回顾了作图的过程,他发现△OCD与△O′C′D′全等,请你说明小华得到全等的依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS A 2.过直线l外一点P作直线l的垂线PQ.下列尺规作图错误的是( ) C 3.如图所示,小明同学按如下步骤作四边形ABCD:①画单位长度为2的线段AC;②分别以点A,C为圆心,单位长度2为半径画弧交于点B,D;③连接AB,BC,CD,DA,BD,则∠CBD的度数是　 　.  30° 15° 能力进阶 A 思维拓展 理由:如图(3)所示,连接EP,FP,OP, 由作图可知OE=OF,PE=PF, 又∵OP=OP, ∴　 　.  ∴∠EOP=∠FOP. ∴OP平分∠AOB. 即点P为所求点. △OEP≌△OFP(SSS) 【实践操作】如图(4)所示,已知直线AB及其外一点P,只用一把圆规画一点Q,使点P,Q所在直线与直线AB平行,并给出证明(保留作图痕迹,不写作法). 解:[实践操作]如图所示,以点A为圆心,任意长为半径画弧,交AB于点F,以点P为圆心,AF长为半径画弧,作∠CPQ=∠PAB,点Q即为所求. 证明如下:由作图可知, ∠CPQ=∠PAB, ∴PQ∥AB. ∴点Q为所求. 谢谢观赏！ 22 大于MN 大于AB 过一点作已知直线的垂线(截取+ 平分) (1)以点O为圆心,任意长为半径作弧,交直线于A,B两点; (2)分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径向直线上方作弧,交点为M; (3)作直线MO,MO即为所求 等腰三角形“三线合一”;两点确定一条直线 (1)在直线l另一侧取点M; (2)以点P为圆心,PM长为半径画弧,交直线l于A,B两点; (3)分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径作弧,两弧在直线l同侧交于点N; (4)连接PN,PN即为所求 圆(弧)上的点到圆心的距离等于半径;到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;两点确定一条直线 若△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21,则的值为　 　.  4.(2025乐山模拟)如图所示,AB为半圆O的直径,点C为半圆上一点,且tan ∠CAB=.①以点B为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,BC于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点P;③作射线BP,则∠ABP的度数为　 　.  5.(2025遂宁)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,结合尺规作图痕迹提供的信息,知线段AQ的长为( ) A.2 B.2 C.6 D. 6.(2025成都模拟)如图所示,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,分别以点D,O为圆心,大于OD为半径画弧,两弧相交于点E,作射线AE.若AE⊥OD,AD=2,则AB=　 　.  2 7.(2025宿迁)实验活动:仅用一把圆规作图. 【任务阅读】如图(1)所示,仅用一把圆规在∠AOB内部画一点P,使点P在∠AOB的平分线上. 小明的作法如下: 如图(2)所示,以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线OA,OB于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径画弧,两弧交于点P,则点P为所求点. $