45.第七单元 小专题15 利用“两点之间线段最短”求最值-【中考导学案】2026年四川达州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“两点之间线段最短”求最值核心考点，对接中考说明中图形变化的考查要求，通过一动点两定点（将军饮马）、两动点一定点、平移型（造桥选址）、费马点等模型梳理考点，分析近3年中考真题中该专题占比约12%，归纳出线段和最小、差最大、周长最小等6类常考题型。 课件亮点在于“模型解析+中考真题+技巧提炼”的备考体系，如2024广安真题“平行四边形中MA+MD最小值”，示范对称转化法，培养学生几何直观与推理能力。针对费马点问题，通过旋转构造等边三角形将线段和转化为直线距离，帮助学生掌握“化折为直”关键技巧。教师可依托此资料系统开展专题复习，学生通过真题训练提升解题效率，冲刺中考几何最值题高分。

小专题15　 利用“两点之间线段最短”求最值 第七单元　图形的变化 《中考导学案》 2026达州数学 1 (一)线段和最小值问题 模型一 一动点＋两定点(“一线两点”型) 　　1.异侧线段和最小问题 　　问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小. 解决思路：根据“两点之间线段最短”，PA＋PB的最小值即为线段AB的长.连接AB交直线l于点P，点P即为所求. 模型解读 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 2 　　2.同侧线段和最小问题(将军饮马问题) 　　问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小. 　　解决思路：将两定点同侧转化为异侧问题即可解决.作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为点P. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 3 例1 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，M是BC的中点，P是CD上一动点，连接PA，PM，则PA＋PM的最小值为__________.  6 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 1.(2024·广安) 如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°， M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为_________.  针对训练   首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 2.(2024·内江) 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为__________.  2 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 3.(2024·绵阳) 如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，连接BE，点H在BE上运动，G为EF的中点，当 △AGH的周长最小时，AH＋GH＝(　　) A.2 B. C.12 D.13 B 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 (二)线段差最大值问题 　　1.同侧线段差最大问题 　　问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大. 　　解决思路：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长.连接AB并延长，与直线l的交点即为点P. 模型解读 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 8 　　2.异侧线段差最大问题 　　问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大. 　　解决思路：将两定点异侧转化为同侧问题，参考同侧问题的求解方法即可解决. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 9 例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点， M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为 ___________.  首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 4.如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接 BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC 上一动点，连接P'Q，DQ.若AE＝14，CE＝18，则DQ－P'Q的最大值为 _________.  针对训练 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型二 两动点＋一定点(“两线一点”型) 两条直线上两动点与一定点问题：点P是∠AOB内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小. 解决思路：要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小.根据“两点之间线段最短”，将三条线段转化到同一直线上即可. 模型解读 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 12 例3 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝ 90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和 CD上的动点，连接AE，AF.当△AEF的周长 最小时，∠EAF的度数为(　　) A.60° B.90° C.100° D.120° C 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 5.∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在 ∠AOB内有一点P(4，3)，M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM， PN，MN，则△PMN周长的最小值是__________.  针对训练 5 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型三 两动点＋两定点(“两线两点”型) 两条直线上两动点与两定点问题：点P，Q是∠AOB内部两定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得四边形PQNM周长最小. 解决思路：要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求PM＋MN＋QN的最小值.根据“两点之间线段最短”，将三条线段转化到同一直线上，参考模型二的求解方法即可. 模型解读 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 15 例4 如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为边CD，DA上的动点，点G在对角线AC上，且CG＝3AG，则四边形BEFG周长的最小值为______________.  首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 6.如图，在∠MON的边OM，ON上分别有点A，D，且∠MON＝30°，OA＝10，OD＝6，B，C两点分别是边OM，ON上的动点，则AC＋BC＋BD的最小值为__________.  针对训练 2 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型四 一定长＋两定点(平移型) 　　1.异侧线段和最小值问题(造桥选址问题) 　　问题：已知l1∥l2，l1，l2之间距离为d，且在两定点A，B之间，在直线l1，l2上分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB的值最小. 　　解决思路：将点A向下平移d个单位长度得到点A'，连接A'B交直线l2于点N，过点N作NM⊥l1于点M，则AM＋MN＋BN的值最小，最小值为A'B＋MN. 模型解读 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 18 　　2.同侧线段和最小值问题 　　问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找M，N两点(M在N左侧)，使得MN＝d，且AM＋MN＋NB的值最小. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 　　解决思路：要使AM＋MN＋NB的值最小，MN为定值，即求AM＋NB的最小值即可，将其转化为模型一中的将军饮马问题即可解决.将点A向右平移d个单位长度到点A'，作点A'关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点N，将点N向左平移d个单位长度到点M，点M，N即为所求. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 例5 如图，定直线MN∥PQ，点B，C分别为MN，PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°.A是MN上方一定点，D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝ 24，当线段BC在平移过程中，AB＋CD的最小值为(　　) A.24 B.24 C.12 D.12 C 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE＋CF的最小值为__________.  针对训练 3 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 8.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10.若点E是边AD上的一个动点， 过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O，F，则在点E移 动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为____________.  首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴、y轴上，B，D两点坐标分别为B(－4，6)，D(0，4)， 线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时， 点E的坐标为_____________.  首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 10.(2025·连云港) 如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE＋BF的最小值为__________.    首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 例6 【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马 提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个 点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P 的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是 几何解法.如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60° 得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，则PD＝PB，由旋转可得DE＝PC，所以PA＋PB＋PC＝PA＋PD＋DE，由“两点之间线段最短”可知，PA＋PB＋PC的最小值与线段AE的长度相等. 模型五 费马点 图1　 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 26 【解决问题】如图2，在Rt△ABC内部有一动点P， ∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，连接PA，PB，PC. 若AB＝4，则PA＋PB＋PC的最小值为__________.  【思路点拨】利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△EBF，连接PF，CE，过点E作EH⊥CA交CA的延长线于点H，首先证明PA＋PB＋PC≥CE，求出CE的值即可解决问题. 图2 4 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 11.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，M为 矩形ABCD内一点，E为BC边上任意一点，则MA＋ MD＋ME的最小值为(　　) A.6＋4 B.4＋4 C.8＋6 D.20 针对训练 C 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 12.(1)如图，△ABC三个内角均小于120°，在 其内部有一动点P，连接PA，PB，PC，若 ∠ACB＝30°，AC＝2，BC＝3，求PA＋PB＋ PC的最小值； 解：如答图，以AC为一边向外作等边三角形ACE， 将CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，连接EQ，PQ. 由(1)知，△ACP≌△ECQ.∴AP＝EQ. ∵∠PCQ＝60°，CP＝CQ， ∴△CPQ为等边三角形.∴CP＝PQ. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 ∴PA＋PB＋PC＝EQ＋PB＋PQ. 当B，P，Q，E四点共线时，EQ＋PB＋PQ的值最小，即此时PA＋PB＋PC的值最小. ∵△ACE为等边三角形，AC＝2，BC＝3， ∴∠ACE＝60°，CE＝AC＝2. ∵∠ACB＝30°， ∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°. ∴在Rt△BCE中，由勾股定理，得 BE＝. ∴PA＋PB＋PC的最小值为. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 (2)在(1)的条件下，当PA＋PB＋PC的值最小时，求此时∠APB，∠APC的度数. 解：由(2)可知，△CPQ为等边三角形. ∴∠CQP＝∠CPQ＝60°. 当PA＋PB＋PC的值最小时， ∠CQE＝180°－∠CQP＝120°，∠BPC＝180° －∠CPQ＝120°. ∵△ACP≌△ECQ， ∴∠APC＝∠CQE＝120°. ∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 本讲内容结束 $