23.4 实际问题与一次函数 第1课时 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 第1课时 数学人教版八年级下册 01 02 03 04 理解分段一次函数的概念，能根据实际问题的分段情境，写出分段函数的解析式并解决简单应用问题. 分析实际问题中的分段条件，确定自变量的取值区间，准确推导分段函数的解析式，理解分段函数的图象特征. 经历“实际问题抽象为分段一次函数模型”的过程，体会分类讨论思想、建模思想在数学中的应用，提升分析问题和解决问题的能力. 感受一次函数在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发数学学习兴趣，培养严谨的思维习惯和应用意识. 在日常生活中很多计费问题都不是固定单价.比如乘坐出租车，3公里以内是起步价，超过3公里后每公里加收费用；还有手机话费、阶梯水费等，在不同范围内收费规则不一样. 面对这类问题，我们不能只停留在计算单个数值，而要学会用函数的眼光看待变化过程，用函数模型表达数量关系，进而利用函数解决更一般、更复杂的实际问题. 活动：探究应用一次函数解决实际问题 1 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画，那如何用一次函数解决实际问题呢? 将实际问题抽象为一次函数问题； 根据条件求得一次函数的解析式； 结合一次函数的图象和性质分析并解决问题. 活动：探究应用一次函数解决实际问题 2 付款金额与种子价格有关.而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关. 因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x＞2讨论. 某玉米种子的价格为 40元/kg.若一次购买不超过2 kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2 kg的种子，超过部分的种子价格打6折. (1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； (2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？ 活动：探究应用一次函数解决实际问题 2 (1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； (1)设购买量为 x kg，付款金额为 y 元. 当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x； 当x＞2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价， 其余的(x-2)kg(即超出2kg部分)按24元/kg(即六折)计价， 函数解析式为y=40×2+24(x-2)=24x+32. 分段函数是一个函数，不是多个函数，每一段必须标注自变量取值范围. 活动：探究应用一次函数解决实际问题 2 (1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； (1)函数图象如图所示. y=40x y=24x+32 y/元 x/kg O 1 2 80 40 100 (2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？ (2)因为4＞2，所以 y=24×4+32=128. 因此，一次购买4kg种子，需付款128元. 活动：探究应用一次函数解决实际问题 利用一次函数的相关性质解决实际问题常见类型如下： 1.题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解； 2.题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，需要先根据题目信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型，同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义. 例题1 2025 年3 月1 日，陕西省《节约用水条例》正式实施，为水资源可持续利用提供法治保障，为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13 立方米时，每立方米4 元，超出13 立方米时，超出的部分每立方米6 元. 设某用户月用水量为x立方米，水费为y 元. (1)求y关于x的函数解析式； 根据收费标准分两段分析：用水量0≤x≤13时，按4元/立方米计费；x>13时，前13立方米按4元/立方米计费，超出部分按6元/立方米计费，据此列分段函数. 例题1 2025 年3 月1 日，陕西省《节约用水条例》正式实施，为水资源可持续利用提供法治保障，为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13 立方米时，每立方米4 元，超出13 立方米时，超出的部分每立方米6 元. 设某用户月用水量为x立方米，水费为y 元. (1)求y关于x的函数解析式； 例题1 (2)若该用户某月预算水费为58 元，实际水费为50 元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 分别将预算水费58元、实际水费50元代入对应解析式，求出预算与实际用水量，然后两个相减即可. (2)由(1)可知：当y＝58时，则6x－26＝58， 解得x＝14； 当y＝50时，则4x＝50，解得x＝12.5. 14－12.5＝1.5(立方米)． 答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米． 用解析式法表示分段函数的注意点： (1)分段函数是一个函数，而非多个函数，其自变量在不同范围内解析式不同； (2)表示函数关系的解析式，每一段后面必须加上自 变量的取值范围. 例题2 我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 例题2 例题2 分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化． 1.一个实验室在0:00—2:00保持20°C的恒温，在2:00—4:00匀速升温，每小时升高5°C.写出实验室温度T(单位:°C)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象. t/h 1 2 3 4 O T(°C) 10 20 40 30 T=20 T=5t+10 2.某市出租车的收费方式为：路程不超过3km时收费9元，超过3km部分每千米收费2元，记乘客乘坐出租车的路程为x(x>3)km，乘车费为y元. (1)求y关于x的函数解析式； (2)若有一位乘客付了23元乘车费，则他的乘车路程是多少? 解：(1)依题意得，y=2x+3(x>3) (2)∵23>9 ∴2x+3=23，解得x=10 ∴他的乘车路程是10km. 生活中的分段一次函数“探秘” 任务：1.寻找1个生活中的分段收费/分段变化情境(如水电费、阶梯话费、快递收费等)，记录情境中的分段条件、收费/变化规则； 2.以情境中的关键变量为自变量，写出对应的分段一次函数解析式，明确自变量的取值范围； 3.选取1个具体数值，代入函数解析式计算结果，并结合实际情境验证其合理性； 4.绘制该分段函数的简易图象，标注分段点与关键数值. 要求：1.情境需真实可查，数据记录清晰，解析式推导过程完整； 2.图象需标注坐标轴含义、分段点和关键坐标，体现分段函数的特征； 3.写出100字以内的探究感悟，说明分段函数在生活中的作用，完成一份完整的探究报告. $