23.4 实际问题与一次函数 第2课时 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 第2课时 数学人教版八年级下册 01 02 03 04 能结合实际情境建立一次函数模型，利用增减性求解优化问题. 准确分析实际问题中的约束条件，确定自变量的取值范围. 经历“情境分析——变量选择——构建函数——求解应用”的探究过程，提升建模与应用能力. 体会一次函数在解决实际问题中的价值，增强数学应用意识与优化思想. 活动：探究运用一次函数设计最佳方案 1 某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： (1)共需租多少辆客车？ (2)给出最节省费用的租车方案． 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 条件①：总费用不超过2300元； 条件②：234名学生和6名教师，每辆客车上至少有1名教师. 活动：探究运用一次函数设计最佳方案 讨论以下问题： (1)影响租车费用的因素有哪些? (2)客车总数又与哪些因素有关? (3)如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？ 甲、乙两种车所租辆数 与乘车人数有关. 234+6=240(名) 活动：探究运用一次函数设计最佳方案 2 如何由乘车人数确定客车总数? ①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于6. ②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6. 综合起来可知客车总数为6辆. 3 合租甲、乙两种车的时候，又有很多种方案可供选择，应该如何选出最节省费用的租车方案呢？ 租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用. 活动：探究运用一次函数设计最佳方案 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数，即 y=400x+280(a-x). 将已经确定的a=6带入，化简这个函数，得y=120x+1 680. (2)给出最节省费用的租车方案． 怎样确定x的取值范围呢? 活动：探究运用一次函数设计最佳方案 因为x是租车的辆数，必须是非负整数，所以x的可取值只有4和5两个. 活动：探究运用一次函数设计最佳方案 4 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？请说明理由. 共有两种方案： 方案一：4辆甲种客车， 2辆乙种客车； 方案二：5辆甲种客车， 1辆乙种客车. 方法一：直接判断 ∵甲车费用400元/辆，乙车费用280元/辆， ∴应尽可能地少租用甲. 故选择方案一租甲种客车4辆，乙种客车2辆时最省钱. 此时租车费用为400×4+280×2=2160(元) 活动：探究运用一次函数设计最佳方案 4 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？请说明理由. 共有两种方案： 方案一：4辆甲种客车， 2辆乙种客车； 方案二：5辆甲种客车， 1辆乙种客车. 方法二：代入比较 方案一的租车费用为： y=120×4+1680=2160(元) 方案二的租车费用为：y=120×5+1680=2280(元) ∵2160<2280， ∴选择方案一所需费用最低. 活动：探究运用一次函数设计最佳方案 4 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？请说明理由. 共有两种方案： 方案一：4辆甲种客车， 2辆乙种客车； 方案二：5辆甲种客车， 1辆乙种客车. 方法三：利用一次函数的性质判断 ∵k=120>0， ∴y随x的增大而增大， ∴所以当x=4时， y最省钱=120×4+1680=2160(元) 故租甲种客车4辆，乙种客车2辆时最省钱，此时租车费用为2160元. 活动：探究运用一次函数设计最佳方案 建立函数模型解决实际问题： 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 实际问题 一次函数问题 实际问题的解 一次函数问题的解 设变量 找对应关系 解释实际意义 推理演算 例题1 例题1 (1)求甲、乙两种路灯的单价； 例题1 物资调配类问题解题思路： 典型情境 租车、运输、采购 核心任务 在可行方案中，实现成本/费用的最优化 关键方法 1.确定自变里的取值范围 2.利用一次函数的增减性求最值 底层能力闭环 设变量→列函数解析式→定取值范围→求函数最值→结合实际决策 例题2 　　某市20位下岗职工在近郊承包了50亩（1公顷＝15亩）土地办农场，这些土地可以种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表： 作物品种 平均每亩地所需职工数 每亩地预计产值 蔬菜 1 100元 烟叶 750元 小麦 600元 　　请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多． 　　仅从表格信息观察，较难判断该如何分配，因而建立函数解析式是较好的方法．根据三个变量之间的数量关系列出一次函数解析式是解决问题的关键． 　　设预计总产值为 P 元，种植蔬菜的面积为 x 亩，根据表格中提供的信息，把种植烟叶、小麦的面积均用含有 x 的式子表示出来，先建立 P 关于 x 的函数解析式，再根据一次函数的性质求 P 的最大值． 又因为y≥0，z≥0， 所以20≤x≤30． 由一次函数的性质可知，当x＝30时，P取最大值． 此时P＝50×30＋43 500＝45 000（元），y＝0，z＝20． 此时种蔬菜的有15人，种小麦的有5人． 答：种蔬菜30亩，小麦20亩，不种烟叶，此时所有职工都有工作，且农作物预计总产值最多，最多为45 000元． 出现多个变量的一次函数问题，可用消元法： 根据题意设三个未知数，先列方程组，再用含某一个未知数的代数式表示出另外两个未知数，以达到消元的目的，从而找出所求的值与其中一个未知量的一次函数解析式．注意应通过三个未知量的实际意义x≥0，y≥0，z≥0来确定自变量 x 的取值范围． 某文具店购进A，B两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示. 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过2000元的资金采购这两种计算器共100台，若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 总利润y(元)与购进A型计算器x(台)的函数关系为： y=(32-22)x+(25-19)(100-x). 化简得y=4x+600 ∵x=4>0， ∴y随着x的增大而增大. ∴当x=33时，利润y最大. 此时，A型号：33台，B型号：100-33=67台 最大利润为y=4×33+600=732元 校园通勤中的一次函数优化师 任务： 1.调查从家到学校的两种通勤方式（如公交 / 打车 / 共享单车）的计费规则； 2.设行程距离为自变量，写出两种方式的费用函数解析式，标注自变量取值范围； 3.结合一次函数增减性，分析不同距离下的最优方案，给出通用出行建议； 4.写下 100 字探究感悟，谈谈函数在生活中的价值. 要求： 数据真实，步骤完整，清晰呈现函数建模与决策过程. $