精品解析：天津市滨海新区大港油田第三中学2025-2026学年第二学期第一次阶段性检测高一数学试卷

油田三中2025-2026学年第二学期第一次阶段性检测 高一数学学科试卷 一、单选题：本题共12小题，共60分． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法运算法则求解即可. 【详解】. 故选：. 2. 下列命题正确的个数（ ） （1）零向量没有方向； （2）向量的长度和向量的模相等； （3）单位向量都平行 （4）零向量与任意向量都平行 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据零向量定义判断（1）和（4）；根据向量模的定义判断（2）；根据单位向量定义判断（3）. 【详解】（1）零向量不是没有方向，它的方向是任意的，故错误； （2）和只是方向相反，二者的模（长度）都是A、B两点间的距离，因此模长相等，故正确； （3）单位向量仅规定模长为1，方向可以任意，方向不同的单位向量不平行，故错误； （4）根据向量的基本定义规定，零向量与任意向量都平行，故正确. 所以命题正确的个数为2个. 3. 若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由和互为相反向量，可得，即可得D，再结合向量定义逐项判断其余选项即可得. 【详解】对D：由非零向量和互为相反向量，则，故D正确. 对A：由，故，故A正确； 对B：由且和为非零向量，故，故B正确； 对C：由，则，故C错误； 4. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限． 故选D． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示解得或，再根据包含关系判断充分、必要条件. 【详解】因为， 若，则，可得，解得或， 又因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 6. 若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A. 且 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：B. 7. 在中，三个内角为.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，角化边并利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理得， 令，则，由余弦定理得. 故选：D 8. 在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面几何知识推出为的中点，且，再利用平面向量的线性运算可得出关于、的关系式. 【详解】如下图所示： 因为，则，所以，，， 所以，， 因此，， 故选：D. 9. 下列说法正确的是 A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线 B. 棱柱的底面一定是平行四边形 C. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间几何体的定义依次判断各个选项即可. 【详解】根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，可知错误； 棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四边形即可，可知错误； 由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，可知错误； 圆锥的轴截面为等腰三角形，可知正确. 本题正确选项： 【点睛】本题考查空间几何体基本概念的判定，属于基础题. 10. 的三内角的对边分别为且满足，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】对已知条件结合正弦定理进行边换角，另一个条件说明三角形是等腰三角形，两者结合起来判断. 【详解】根据条件：，利用正弦定理可得：， 整理得：，，则， 化简得：，故， 在中，由于，所以（不可能）， 故.所以为等边三角形. 故选：B. 11. 已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 12. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若为钝角三角形，则； ④若，面积，则外接圆半径为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】①三角形内大角对大边，，由正弦定理， 得，因此，①正确； ②，由大边对大角得，且，在上单调递减， 因此，②正确； ③若钝角三角形中为钝角，由余弦定理，得， 题目未说明为锐角，该说法不恒成立，③错误； ④由面积公式，代入得，，解得， 再由余弦定理，得， 由正弦定理，得，④正确； 综上，正确的说法有①②④，共个. 二、填空题：本题共6小题，共30分． 13. 若复数z满足 (其中i是虚数单位)， 则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由复数除法、模的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知是等边三角形，边长为4，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知：，， 所以 . 15. 已知向量，，，且、、三点共线，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据、、三点共线求出的值. 【详解】由题得， ， 因为、、三点共线， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16. 平面向量，在上的投影为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】在上的投影为，则，所以， 故答案为：． 17. 如图所示，在中，，，，P是BC上一点，且满足，则实数__________；__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由于三点共线，所以，得，所以，由于，，，所以将作为基底，而，所以，代值可得结果 【详解】∵，，的终点共线， ∴，∴， ∴， 又∵， ∴，① ∵，，， ∴，，， 代入①式，计算得：. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量共线的应用，平面向量基本定理的应用以及数量积的计算，属于典型的向量综合题，难度适中，解题的关键是将作为基底，把用基底表示出来 18. 如图，在梯形中，． （1）_________． （2）是上的动点，则的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）借助数量积公式计算即可得； （2）设，借助、表示出、后，利用数量积公式计算即可得. 【详解】（1）； （2）设，则， ， 故 ， 由，故. 三、解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知向量满足 （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的坐标运算计算即可； （2）由向量夹角公式计算即可； （3）由向量垂直的坐标表示建立方程，进行求解即可. 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 由，知与夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ， 由与垂直， 则， 解得. 20. 已知向量，若向量的夹角为． （1）求的值； （2）求在上的投影向量； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助数量积公式计算即可得； （2）借助投影向量定义及数量积公式计算即可得； （3）借助模长与数量积的关系计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 21. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系及两角和的正弦公式计算可得，再利用正弦定理计算即可得解； （3）借助面积公式计算即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即； 【小问2详解】 由，则，故， 故 ， 由正弦定理可得，故； 【小问3详解】 . 22. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，再将角化为边可得，再利用余弦定理计算即可得解； （2）借助同角三角函数基本关系及正弦定理计算即可得； （3）借助三角形内角和及正弦定理计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理可得，由，故， 故，则，又，故， 则由余弦定理可得， 故； 【小问2详解】 由，则，故， 由正弦定理，可得； 【小问3详解】 ， 由正弦定理，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 油田三中2025-2026学年第二学期第一次阶段性检测 高一数学学科试卷 一、单选题：本题共12小题，共60分． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的个数（ ） （1）零向量没有方向； （2）向量的长度和向量的模相等； （3）单位向量都平行 （4）零向量与任意向量都平行 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A. 且 B. C. D. 或 7. 在中，三个内角为.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是 A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线 B. 棱柱的底面一定是平行四边形 C. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形 10. 的三内角的对边分别为且满足，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 11. 已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ） A. B. C. D. 1 12. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若为钝角三角形，则； ④若，面积，则外接圆半径为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，共30分． 13. 若复数z满足 (其中i是虚数单位)， 则_________． 14. 已知是等边三角形，边长为4，则______． 15. 已知向量，，，且、、三点共线，则_______ 16. 平面向量，在上的投影为，则______. 17. 如图所示，在中，，，，P是BC上一点，且满足，则实数__________；__________. 18. 如图，在梯形中，． （1）_________． （2）是上的动点，则的取值范围是_________． 三、解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知向量满足 （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 20. 已知向量，若向量的夹角为． （1）求的值； （2）求在上的投影向量； （3）求的值． 21. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的面积． 22. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $