精品解析：河北雄安容西容兴高级中学等校2026届高三下学期开学考试数学试题

高三数学 0205G303 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为集合A的区间是，集合B的区间是，所以对比两个区间的端点，确定交集的左右边界. 【详解】因为集合，所以. 故选：B. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，所以复数的共轭复数，其虚部为. 3. 已知张同学射击中靶的概率为0.6，现给他10次射击机会，若击中靶子得5分，未击中靶子扣2分，记张同学10次射击完成后，总得分为，则的值为（ ） A. 30 B. 26 C. 22 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】10次射击中击中的次数为随机变量Y服从二项分布.先利用二项分布的期望公式先计算E(Y)，再计算E(X). 【详解】根据题意，击中的次数服从二项分布，所以， 所以. 故选：C. 4. 已知向量，且，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用向量数量积的坐标运算公式代入已知条件，得到关于正余弦值的方程，再利用余弦差角公式化简方程.又因为，所以结合余弦函数的特殊值，确定的取值. 最后将求得的代入，再利用正切函数的特殊值计算结果. 【详解】因为向量， 所以， 即， 又因为，所以，所以，可得， 所以， 故选：C. 5. 已知等腰梯形的四个顶点均在抛物线上，其中，并且，若四边形的面积为9，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】因为等腰梯形关于抛物线的对称轴对称，所以可设出A、B、C、D四点的坐标，利用抛物线方程和边长条件建立关系.又已知梯形的边长和面积，所以先根据等腰梯形面积公式，结合上下底长度，求出梯形的高.因为四个顶点在抛物线上，所以将顶点坐标代入抛物线方程，结合梯形的高的数值，建立关于p的方程求解. 【详解】四边形为等腰梯形，根据抛物线的对称性可知，轴，轴，不妨设在轴上方，如图所示， 因为，所以，所以，所以， 所以等腰梯形的高为，又因为四边形的面积为9， 所以4），解得. 故选:A. 6. 记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过赋值法，分别令，，，进而可求解. 【详解】对于， 令，可得. 令，可得①， 令，可得②， ①+②得， 即1 7. 已知数列前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由与的关系，求得通项公式，再通过放缩，裂项求和即可求解. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 所以， 因为满足上式， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以.又， 故当对任意的恒成立时，可得， 所以整数的最小值为4. 8. 若函数与函数的图象有交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图象有交点转换成方程在上有解，再通过换元，转换成方程有解，再结合，得到，进而通过在上有解，求解即可. 【详解】函数与函数的图象有交点， 即方程在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，则原问题等价于有解， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以原问题等价于在上有解， 即在上有解， 令，则， 由得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又且， 所以，即.则的最小值为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由大角对大边，再结合正弦定理可判断A，由余弦定理可判断B，由，结合诱导公式可判断C，由余弦定理求得，即可判断D. 【详解】若，则，利用正弦定理，可得，所以，故A正确； 若，则利用余弦定理可得，所以为锐角，但不知道是否为锐角，故B不正确； 若为锐角三角形，则，所以，所以，即，故C正确； 若，则利用余弦定理， 可得，即，解得，所以， 所以为直角三角形，故D正确. 10. 已知正数满足，则以下结论正确的是（ ） A. 的值无法确定 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由条件得到，对于A，去绝对值即可判断，对于B，由即可判断，对于C，由基本不等式可直接判断，对于D，由乘1法即可判断. 【详解】A选项，因为，所以，所以，A错误； B选项，因为，所以，当且仅当时，取等号， 所以，B正确； C选项，，当且仅当时，等号成立，C正确； D选项，因为， 所以 ， 当且仅当时取等号，但由题意可知，所以取不到最小值，故D错误. 11. 已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱一定有外接球 B. 当直三棱柱有内切球时， C. 当时，平面与平面所成角的正切值为 D. 当时，若，则点在直三棱柱表面上的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，由直三棱柱的上下底面是全等的三角形，且侧棱垂直底面，可将直三棱柱补成长方体，根据长方体外接球的性质判断直三棱柱是否有外接球. 对于选项B，由直三棱柱有内切球时，内切球的直径等于直三棱柱的高，同时等于底面三角形的内切圆直径与侧棱的关系，则先求底面等腰直角三角形的内切圆半径，再结合内切球性质推导侧棱长度. 对于选项C，由求两个平面所成角，可通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量夹角与二面角的关系求解；或找到二面角的平面角，结合边长计算正切值. 对于选项D，由点M满足到A点的距离为定值，可先确定点M在直三棱柱表面的轨迹是几段圆弧，再分别计算各段圆弧的半径和圆心角，最后求和得到轨迹长度. 【详解】若取点为的中点，为的中点，连接，则的中点为直三棱柱外接球的球心，故A正确； 当直三棱柱有内切球时，此时内切球的半径一定是， 所以此时，故B错误； 当时，连接，因为，所以， 又因为为的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，过点作，连接， 所以为平面与平面所成角，， 所以，故C正确； 因为，所以点的轨迹为球，该球与直三棱柱表面的交线如下图所示， 所以轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程得到关系，再结合离心率概念即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，所以， 即，即，即， 所以该双曲线的离心率为. 13. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，且是偶函数，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由相邻对称轴的距离确定周期，求得，再结合平移法则及三角函数中奇偶性的判断，即可求解. 【详解】函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以函数的最小正周期为， 所以，结合，可得， 所以， 又因为将函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象， 所以， 因为为偶函数，所以，即， 易知当时，得. 14. 某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 【答案】##0.375 【解析】 【分析】利用全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式计算得解. 【详解】用表示号小球内有获奖信息，用表示主持人打开号小球， 依题意，， 又， 则， 所以所求概率为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，分别是的中点.求： （1）直线与直线所成的角的余弦值； （2）直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的平行线，为直线与直线所成的角或其补角，然后求解；（2）建系求面的法向量，代线面角公式求解. 【小问1详解】 取点为的中点，连接， 因为长方体为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，为直线与直线所成的角或其补角， 因为， 所以， 为等边三角形， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 【小问2详解】 以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则. 设直线与平面所成角为，则. 16. 已知某工厂有两个车间生产某种产品，该产品的售价（元）与产品月销量（万件）间的几组数据如下： 售价（元） 1 2 3 4 5 月销量（万件） 10.9 10.2 9.0 7.8 7.1 （1）若可用线性回归模型拟合与的关系，根据表格数据，求关于的线性回归方程 （2）当该产品的售价为6元时，请估计该产品的月销量； （3）若两个车间的月产量之比为，且这些产品会全部随机发放到该地区的销售网点，现有3名顾客每人购买一件该产品，记这三件产品中来自车间的件数为，求的分布列和数学期望. 附：参考数据：. 【答案】（1） （2）6万件 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先计算和，再代入公式求出回归系数和截距，从而得到线性回归方程； （2）将代入已求得的回归方程，计算的值，得到月销量的估计值； （3）根据A、B车间产量占比确定单件产品来自A车间的概率，判断X服从二项分布，进而求出其分布列与数学期望. 【小问1详解】 由题意，可得， 则， . 故线性回归方程为. 【小问2详解】 令，可得，所以当该产品的售价为6元时，估计该产品的月销量为6万件. 【小问3详解】 因为两个车间月产量之比为，所以每一件产品来自车间的概率为， 依题意，，的可能取值为，可得的分布列为 0 1 2 3 . 17. 已知数列满足是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）若数列对任意的，当时，都有成立，且，求的通项公式； （3）求的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由递推公式确定为等差数列，再结合等比中项列出等式求解即可; （2）由条件得到和，进而可求解； （3）由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以数列等差数列. 设公差为，则，所以， 由题可知，即，解得， 则数列的通项公式为. 【小问2详解】 由题意可知，当时，，则， 即，① 当时，，则， 即.② 由①②可得，又满足上式，所以. 【小问3详解】 由（2）知， 所以. 设，则，两式作差可得 ， 所以， 所以. 18. 已知点，直线，点到点的距离与到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点，点是上异于点的两点，且. ①直线是否过定点？如果是，求出此定点；如果没有，请说明理由； ②过点作于点，是否存在定点，使得定点到点的距离为定值？如果有，求出定点的坐标；如果没有，请说明理由. 【答案】（1） （2）①过定点；②存在定点 【解析】 【分析】对于（1），设点，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式列出等式，再化简得到曲线的方程. 对于（2）①，先设出直线的方程，分斜率存在和不存在两种情况讨论；当斜率存在时，将直线方程与曲线的方程联立，利用韦达定理得到和，再结合的条件，代入斜率公式化简，进而判断直线是否过定点. 对于（2）②，根据（2）①的结论，结合，利用直线垂直的斜率关系或圆的相关性质，分析点的轨迹，进而判断是否存在定点使得为定值. 【小问1详解】 设动点，由题意得  ， 两边平方整理得：  ，化简得， 即曲线的方程为： . 【小问2详解】 ① 已知在曲线上，设，分两种情况讨论： 当直线斜率存在时，设， 联立得： ，  由韦达定理：. 由得：， 代入， 整理得：  ， 将韦达定理代入化简得：， 因式分解得. 若，则直线过，不符合题意舍去； 故，即， 代入直线方程得：  恒过定点. 当直线斜率不存在时，设，由解得，也过点. 综上，直线过定点，定点为. ② 因为，且在上，也在上， 故，因此的轨迹是以为直径的圆. ，， 的中点坐标为 ，圆的半径为， 故对圆上任意点，定值. 因此存在定点，坐标为. 19. 已知函数. （1）证明：恒成立； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】对于（1），先将原不等式变形，分离出不同类型的函数项，因为要证明恒成立，所以可构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，通过最值判断不等式是否恒成立. 对于（2），先分析的定义域与奇偶性、单调性，再根据的形式，利用函数的奇偶性转化不等式，结合定义域与单调性列出关于和的不等式组，因为要在上恒成立，所以可通过求函数最值确定的取值范围. 对于（3），先将中间的不等式与左右两边分别结合，左边结合的表达式化简，右边结合的表达式化简，因为要恒成立，所以可分别利用导数求函数的最值，得到关于、的等式，进而求解. 【小问1详解】 要证恒成立，即证恒成立， 设，则， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则时，，时，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故恒成立. 小问2详解】 因为， 所以，即， 因为，所以， 所以函数单调递减，所以，由，得， 令，因为，所以， 所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为1， 所以，又因为恒成立，所以， 所以. 【小问3详解】 恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 即恒成立，即恒成立. ， 由（1）可知的最小值为， 即，在处同时取到等号， 所以是和的图象的公切线， 而，，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 0205G303 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知张同学射击中靶概率为0.6，现给他10次射击机会，若击中靶子得5分，未击中靶子扣2分，记张同学10次射击完成后，总得分为，则的值为（ ） A 30 B. 26 C. 22 D. 18 4. 已知向量，且，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知等腰梯形的四个顶点均在抛物线上，其中，并且，若四边形的面积为9，则的值为（ ） A B. 1 C. 2 D. 3 6. 记，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若函数与函数的图象有交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为直角三角形 10. 已知正数满足，则以下结论正确的是（ ） A. 的值无法确定 B C. D. 11. 已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱一定有外接球 B. 当直三棱柱有内切球时， C. 当时，平面与平面所成角的正切值为 D. 当时，若，则点在直三棱柱表面上的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为__________. 13. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，且是偶函数，则的最小值为__________. 14. 某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，分别是的中点.求： （1）直线与直线所成角的余弦值； （2）直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知某工厂有两个车间生产某种产品，该产品的售价（元）与产品月销量（万件）间的几组数据如下： 售价（元） 1 2 3 4 5 月销量（万件） 10.9 10.2 9.0 7.8 7.1 （1）若可用线性回归模型拟合与的关系，根据表格数据，求关于的线性回归方程 （2）当该产品的售价为6元时，请估计该产品的月销量； （3）若两个车间的月产量之比为，且这些产品会全部随机发放到该地区的销售网点，现有3名顾客每人购买一件该产品，记这三件产品中来自车间的件数为，求的分布列和数学期望. 附：参考数据：. 17. 已知数列满足是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）若数列对任意的，当时，都有成立，且，求的通项公式； （3）求的前项和. 18. 已知点，直线，点到点的距离与到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点，点是上异于点的两点，且. ①直线是否过定点？如果是，求出此定点；如果没有，请说明理由； ②过点作于点，是否存在定点，使得定点到点的距离为定值？如果有，求出定点的坐标；如果没有，请说明理由. 19. 已知函数. （1）证明：恒成立； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $