第六章 圆 2026年中考数学专题复习（四川）

第27节　弧长、扇形面积的相关计算 过教材 梳理知识 知识点1　正多边形与圆 正多边形的有关概念 定义 图形 中心 一个正多边形的　　圆的圆心  设图中正多边形的边数为n,外接圆 半径为R,则中心角α=　 ;边长an= 　 　;周长C= ;边心距rn= . 外接 半径 外接圆的　   中心角 正多边形每一边所对的　   边心距 中心到正多边形的　 　的距离  半径 圆心角 一边 知识点2　弧长与扇形面积 知识点3　圆柱和圆锥的侧面积、全面积和体积 1.如图所示,设圆柱的高为l,底面半径为R,则其侧面展开图是一矩形.因此S圆柱侧=　 　;S圆柱全=　 ;V圆柱=　 　.  2πRl 2πRl+2πR2 πR2l 2.如图所示,设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则圆锥的侧面展开图是一个扇形,圆锥的母线长l等于扇形半径,圆锥的底面圆周长2πR等于扇形弧长. 因此S圆锥侧=　 　;  S圆锥全=　 　.  πRl πRl+πR2 知识点4　阴影部分面积 1.规则图形 按规则图形的　 　求解.  2.不规则图形 采用 “转化” 的数学思想方法,把不规则图形的面积采用“　 　” “等积变形法”“平移法”“　 　”等转化为规则图形的面积. 面积公式 割补法 旋转法 微诊断 检测基础 1.(2025泸州一模)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,两等圆☉A,☉B外切,那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( ) C 2.跨学科融合　【北师大九下P102习题T1变式】滑轮轴的位置固定不动称之为定滑轮,其不省力,但可改变力的方向.如图所示,定滑轮半径为 12 cm,现需将重物拉升12.56 cm(π取3.14),则滑轮旋转的情况为( ) A.顺时针旋转60° B.逆时针旋转60° C.顺时针旋转120° D.逆时针旋转120° B 3.(2024自贡)龚扇是自贡“小三绝”之一.为弘扬民族传统文化,某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面,制作了一个龚扇模型(如图所示),扇形外侧两竹条AB,AC夹角为120°,AB长30 cm,扇面的边BD长为18 cm,则扇面面积为　 　cm2(结果保留π).  252π (1)中心角∠BOC=　 　,∠BPC=　 　;  (2)若☉O的半径是8,则BC=　 　,边心距OM=　 　,周长=　 　,正六边形ABCDEF的面积是　 　.  60° 30° 8 48 5.【人教九上P114练习T2变式】某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,它的母线AB=10 m,半径OB=8 m. (1)这个圆锥的高是　 　m;  (2)这个圆锥的侧面积是　 　m2,全面积是　 　m2(结果均保留π);  (3)这个圆锥侧面展开图的圆心角是　 　.  6 80π 144π 288° 命题点1　正多边形与圆 研真题 靶向中考 C B 命题点2　弧长的相关计算 D 4π 命题点3　阴影面积的相关计算 A 6.(2025成都T21,4分)如图所示,☉O的半径为1,A,B,C是☉O上的三个点. 若四边形OABC为平行四边形,连接AC,则图中阴影部分的面积为　 　.  命题点4　圆锥的相关计算 A 新题型 新考法 D 10.(2025泸州模拟)如图所示,正三角形和正方形分别内接于等圆☉O1和☉O2,若正三角形的周长为m,正方形的周长为n,则m与n的关系为( ) A.m<n B.m=n C.m>n D.不能确定 A 11.(2025成都模拟)“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用,模型驱动部分如图所示,其中☉M,☉N的半径分别是1 cm和8 cm,当☉M顺时针转动3周时,☉N上的点P随之旋转n°,则n=　 　.  135 基础巩固 分层练 实战提能 1.如图所示,在扇形AOB中,AO⊥OB于点O,∠AOC=∠BOC,若扇形AOB的半径为2,则扇形AOC的面积为( ) B 2.(2025黑龙江)在☉O中,如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm,那么☉O的半径是( ) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 3.如图所示,北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°),东经116°,某海域B处位于北纬15°(即∠BOC=15°),东经116°;设地球的半径约为 R km,则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为( ) A C 4.(2025达州)如图所示,圆锥的侧面展开图是一个扇形,已知圆锥的底面半径为2,则扇形的弧长是　 　.  4π 40π m 能力进阶 6.(2025泸州模拟)我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固.如图所示,某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF,若☉O的内接正六边形为正六边形ABCDEF,则BF的长为　 　.  8.(2025达州二模)如图所示,AB是☉O的直径,AC是☉O的弦,连接OC,CD是☉O的切线,交AB的延长线于点D,半径OE⊥AB,CE交AB于点F. (1)写出图中任意一组相等的角:　 　;  ∠OCE=∠OEC(答案不唯一) (2)求证:DC=DF; (2)证明:∵CD为☉O的切线,∴OC⊥DC. ∴∠OCE+∠DCF=90°. ∵OE⊥AB,∴∠OEC+∠EFO=90°. ∵OE=OC,∴∠OCE=∠OEC. ∵∠DFC=∠EFO,∴∠DCF=∠DFC.∴DC=DF. (3)若∠OEC=15°,OE=6,求图中阴影部分的面积. 思维拓展 9.(2025遂宁)综合与实践—圆饼滚动中的数学. 将两枚半径为r的金属圆饼放在桌面上,固定白色圆饼,深色圆饼沿其边缘滚动一周,深色圆饼的圆心移动的路径如图(1)所示;将三枚半径均为r的圆饼连贯地放在桌面上,固定两枚白色圆饼,深色圆饼沿其边缘滚动一周,深色圆饼的圆心移动的路径如图(2)所示;现将四枚半径均为r的圆饼按图(3),图(4)摆放在桌面上,固定三枚白色圆饼,深色圆饼沿其边缘滚动一周,则在图(3)与图(4)这两种情形中深色圆饼的圆心移动路径 长的比值为　 　.  谢谢观赏！ 33 Rcos 2Rsin 2nRsin 圆的周长 C=2πr r为☉O的半径,n°为所对圆心角的度数,l是扇形OAB的弧长 扇形的 弧长 l=　 　  圆的面积 S=πr2 扇形的 面积 S=　　  =lr A.10 B.π C.π D.5π 4.【北师大九下P97例题变式】如图所示,正六边形ABCDEF内接于☉O,过点O作OM⊥BC于点M,点P是上一点,连接BP,CP,OB,OC. 4 96 6.如图所示,△ABC内接于☉O,∠B=65°,∠C=70°.若BC=2,求弧BC的长. 解:连接OB,OC.(图略)∵∠ABC=65°,∠ACB=70°, ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=45°.∴∠BOC=2∠A=90°. ∵在Rt△BOC中,OB=OC,∴BC==OB=2. ∴OB=2.∴弧BC的长为=π. 1.(2024德阳T8,3分)已知正六边形ABCDEF的面积为6,则正六边形的边长为( ) A.1 B. C.2 D.4 2.(2024绵阳T9,3分)如图所示,在边长为2的正六边形ABCDEF中,连接BE,点H在BE上运动,点G为EF的中点,当△AGH的周长最小时,AH+GH等于( ) A.2 B. C.12 D.13 3.(2024绵阳T5,3分)将一把折扇展开,可抽象成一个扇形,若该扇形的半径为2,弧长为,则扇形的圆心角大小为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 4.(2024成都T11,4分)如图所示,在扇形OAB中,OA=6,∠AOB=120°,则的长为　 　.  5.(2024遂宁T8,4分)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示,排污管道的横截面是直径为2 m的圆,为预估淤泥量,测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1 m,则淤泥横截面的面积为( ) A.(π-)m2 B.(π-)m2 C.(π-)m2 D.(π-)m2 7.(2024资阳T15,4分)如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2.以点A为圆心,AD长为半径作弧交AB于点E,再以AB为直径作半圆,与交于点 F,则图中阴影部分的面积为　 　.  + 8.(2025广安T9,4分)如图所示,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形,若圆锥的母线长为5,则该圆锥的底面圆的半径为( ) A. B. C. D.5 9.如图所示,学校的花坛是由一个正六边形和圆心分别在正六边形的顶点,半径为1 m的六个等圆组成.现要在正六边形以外的区域(图中阴影部分)种植草皮,则草皮种植面积为( ) A.2π m2 B.π m2 C.3π m2 D.4π m2 A.2π B.π C.π D.π A.πR km B.πR km C.πR km D.πR km 5.(2025苏州)某摩天轮,共设有28个回转式太空舱全景轿厢,其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高点离平台MN的距离),圆心O到MN的距离为68 m,摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发, 10 min后到达点B,此过程中,该轿厢所经过的路径(即)长度为 　 　(结果保留π).  6 7.(2025河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了“割圆术”.如图所示是研究“割圆术”时的一个图形,所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形,边CD与☉O相切于点E,连接BE,∠ABE= 15°,连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为　 　. π-2 (3)解:∵OE=OC,∠OEC=15°, ∴∠OCE=∠OEC=15°. ∴∠EOC=180°-15°-15°=150°. ∴∠COD=150°-90°=60°. ∴DC=OC·tan∠COD=6. ∴S阴影部分=S△OCD-S扇形OCB=×6×6-=18-6π. $第六章　圆 第25节　圆的基本性质 过教材 梳理知识 知识点1　圆的相关概念及性质 弦、直径 连接圆上任意两点的　 　叫做弦,经过　 　的弦叫做直径,直径是圆中最　 　的弦  弧 圆上任意两点间的部分叫做　 　,弧有优弧、劣弧、 　 　之分  圆心角 顶点在　 　的角  圆周角 顶点在　 　,两边都与圆　 　的角  线段 圆心 长 弧 半圆 圆心 圆上 相交 与圆 有关的 性质 对称性 圆是轴对称图形,也是　 　对称图形.对称中心是　 　  旋转 不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合 中心 圆心 知识点2　垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径　 　弦,并且　 　弦所对的两条弧 推论 平分弦(不是直径)的直径　 　于弦,并且平分弦所对的两条弧  定理与 推论的 延伸 弦的垂直平分线经过　 　,并且平分弦所对的弧; 平分弦所对的一条弧的直径,　 　弦,并且平分弦所对的另一条　 　  平分 平分 垂直 圆心 垂直平分 弧 知识点3　弧、弦、圆心角 CD ∠COD CD ∠COD 知识点4　圆周角定理及推论 1.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的　 　.  2.推论:(1)直径所对的圆周角是　 　;  (2)90°的圆周角所对的弦是　 　;  (3)同弧或等弧所对的圆周角　 　.  一半 直角 直径 相等 知识点5　圆内接四边形 1.性质:圆内接四边形的对角　 　.  2.拓展:圆内接四边形的一个外角等于其内对角,如图所示,∠C=∠DAE. 互补 微诊断 检测基础 1.【北师大九下P80随堂练习T1变式】如图所示,点A,B,C均在☉O上,若∠ACB=36°,则∠OAB的度数为( ) A.36° B.42° C.54° D.60° 2.【人教九上P89习题T8变式】如图所示是一个隧道的横截面,若它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,路面AB=12 m,净高CD=9 m,则此圆的半径OA的长为( ) C C 3.如图所示,已知BD是☉O的直径,BD⊥AC于点E,∠AOC=110°,则∠OCD的度数是　 　.  4.【北师大九下P82想一想变式】如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AC,延长AB至点E,若∠ACD=40°,=,则∠CBE的度数为　 　.  27.5° 70° 5.【北师大九下P72习题T1变式】如图所示,在☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC.求证: 例题　如图所示,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC的延长线于点M. (1)求证:直线DE是☉O的切线; 讲重点 精准备考 (1)证明:如图①所示,连接OD, ∵AD平分∠CAB, ∴∠1=∠2. ∵OA=OD,∴∠3=∠2. ∴∠3=∠1.∴OD∥AC. ∵DE⊥AC,∴OD⊥DE. ∵OD是☉O的半径,∴直线DE是☉O的切线. (2)当∠F=30°时,ME=1,连接BC交AD于点P,求AP的长; 图② 命题点1　与垂径定理有关的计算 研真题 靶向中考 C 2.(2025内江T15,4分)如图所示,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB= 8,OC=5,则DC的长是　 　.  2 命题点2　与圆周角定理及其推论有关的计算 4 4.(2023成都T17,10分)如图所示,以△ABC的边AC为直径作☉O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交☉O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE. (1)求证:AC=BC; (1)证明:∵∠ADE=∠ACE,∠ADE=∠B, ∴∠B=∠ACE.∵CE∥AB,∴∠BAC=∠ACE. ∴∠B=∠BAC.∴AC=BC. (2)若tan B=2,CD=3,求AB和DE的长. 命题点3　与圆内接多边形有关的计算 5.(2025泸州T8,3分)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,BD为☉O的直径.若AB=AC,∠ACB=70°,则∠CBD的度数为( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 6.(2025广安T22,4分)如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BCD= 120°,☉O的半径为6,则BD的长为　 　.  B 新题型 新考法 7.(2025武汉模拟)某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺测量一次性纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下方法:如图所示,将纸条拉直并紧贴杯底,纸条的上下边沿分别与杯底相交于A,B,C,D四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5 cm,AB=3 cm,CD=4 cm.则纸杯杯底的直径为( ) A.6 cm B.5.2 cm C.5 cm D.4.8 cm C 基础巩固 分层练 实战提能 1.已知☉O的半径是3 cm,则☉O中最长的弦长是( ) 2.(2025新疆)如图所示,CD是☉O的直径,AB是弦,AB⊥CD,∠ADC=30°,则∠BOC的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° B C B 4.(2025泸州模拟)如图所示,△ABC是☉O的内接三角形,过点C作☉O的切线交BO的延长线于点P,若∠BAC=116°,那么∠P的度数为( ) A.26° B.32° C.34° D.38° D 5.(2024南充)如图所示,AB是☉O的直径,位于AB两侧的点C,D均在☉O上, ∠BOC=30°,则∠ADC的度数为　 　.  75° 66° 能力进阶 C 9.(2025安徽)如图所示,四边形ABCD的顶点都在半圆O上,AB是半圆O的直径,连接OC,∠DAB+2∠ABC=180°. (1)求证:OC∥AD; (1)证明:∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC. ∴∠AOC=2∠ABC.∵∠DAB+2∠ABC=180°, ∴∠DAB+∠AOC=180°.∴OC∥AD. 思维拓展 谢谢观赏！ 32 项目 文字叙述 几何语言表述 几何图形 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 若∠AOB=∠COD, 则=　 　,AB=　  推论 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等 若=,则∠AOB=　 　, AB=　 　  在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等 若AB=CD,则∠AOB=　 　, =,= A.5 m B.6 m C. m D. m (1)=; (2)AE=CE. 证明:(1)∵AB=CD,∴=. ∴+=+.∴=. (2)∵=,∴AD=BC. 又∵∠ADE=∠CBE,∠DAE=∠BCE,∴△ADE≌△CBE(ASA).∴AE=CE. (2)解:∵DE⊥AC,∠F=30°,∴∠EAF=60°. ∴∠1=∠2=30°.∴∠CBD=∠1=30°. ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ABC=90°-∠EAF=30°. ∴∠ABM=∠ABC+∠CBD=60°.∴△ABM是等边三角形.∴∠M=60°, 则∠MDE=30°.∵ME=1,∴MD=2ME=2.∵∠ADB=90°,AM=AB,∴MD=DB. ∴AB=MB=4.∵AB为☉O的直径,∠ABC=30°,∴AC=AB=2. ∵∠1=30°,cos∠1=,即cos 30°=,∴AP=. (3)若点Q为的中点,连接DQ,在(2)的条件下,求DQ的长. (3)解:如图②所示,过点B作BH⊥DQ于点H,连接OQ,BQ,由(2),得BD=2, ∠ADB=90°,OQ=OB=AB=2.∵点Q为的中点,∴=. ∴∠ADQ=∠BDQ=∠ADB=45°.∴∠BOQ=2∠BDQ=90°.∴BQ=OB=2. 在Rt△DHB中,BD=2,∠BDH=45°, ∴BH=DH=BD=.在Rt△BHQ中, HQ==,∴DQ=DH+HQ=+. 1.(2024凉山T10,4分)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40 cm,CD= 10 cm,则圆形工件的半径为( ) A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm 3.(2023南充T13,4分)如图所示,AB是☉O的直径,点D,M分别是弦AC,的中点,AC=12,BC=5,则MD的长是　 　.  (2)解:如图所示,连接AE, ∵∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC. ∴=. ∵AC为☉O的直径,∴∠ADB=∠ADC=90°. ∴tan B==2.∴AD=2BD. ∵CD=3,∴AC=BC=BD+CD=BD+3. ∵AD2+CD2=AC2, ∴(2BD)2+32=(BD+3)2,解得BD=2或BD=0(舍去). ∴AD=2BD=4, AB===2,BC=2+3=5. ∵=,∴=.∴DE=2. 6 A.3 cm B.6 cm C.1.5 cm D. cm 3.(2025山西)如图所示,AB为☉O的直径,点C,D是☉O上位于AB异侧的两点,连接AD,CD.若=,则∠D的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 6.(2025陕西)如图所示,AB为☉O的直径,=,∠CDB=24°,则∠ACD的度数为　 　.  7.(2024广元)如图所示,在平面直角坐标系中,☉P经过点O,与y轴交于点A(0,2),与x轴交于点B(2,0),则OP的长为　 　.  8.(2025湖北)如图所示,△ABC内接于☉O,∠BAC=30°.分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于M,N两点,作直线MN交AC于点D,连接BD并延长交☉O于点E,连接OA,OE,则∠AOE的度数是( ) A.30° B.50° C.60° D.75° (2)若AD=2,BC=2,求AB的长. (2)解:连接BD,交OC于点E,如图所示.∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°,即AD⊥BD.∵OC∥AD, ∴OC⊥BD.∴EB=ED.∵OA=OB,∴OE是△ABD的中位线.∴OE=AD=1.设半圆的半径为r,则CE=r-1.由勾股定理,知OB2-OE2=BE2=BC2-CE2, 即r2-1=(2)2-(r-1)2,解得r1=3,r2=-2(舍去).∴AB=2r=6. 10.(2025浙江)如图所示,矩形ABCD内接于☉O,E是上一点,连接EB, EC分别交AD于点F,G.若AF=1,EG=FG=3,则☉O的直径为　 　. 2 $第26节　点、直线与圆的位置关系 过教材 梳理知识 知识点1　点与圆的位置关系 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 几何图形 d与r的 大小关系 d　 　r  d　 　r  d　 　r  < = > 知识点2　直线与圆的位置关系 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d. 位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 0 1 2 公共点的名称 无 切点 交点 数量关系 d>r 　 　  　 　  d=r d<r 知识点3　圆的切线 切线的 判定 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(定义法); 到圆心的距离等于　 　的直线是圆的切线;  经过半径的外端并且　 　这条半径的直线是圆的切线  切线的 性质 切线与圆只有　 　个公共点;  切线到圆心的距离等于圆的　 　;  圆的切线垂直于过切点的　   切线长 经过圆外一点作圆的切线,这点和　 　之间线段长叫做这点到圆的切线长  切线长 定理 从圆外一点可以引圆的　 　条切线,它们的切线长　 　,这一点和圆心的连线　 　两条切线的夹角  半径 垂直于 1 半径 半径 切点 两 相等 平分 知识点4　三角形的内切圆与外接圆 名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 图形 相关 概念 经过三角形三个顶点的圆;外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 与三角形各边都相切的圆;内心是三角形三条角平分线的交点 圆心 名称 三角形的外心 三角形的内心 三个 顶点 距离 微诊断 检测基础 1.如图所示,在△ABC中,AC=3,BC=4,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC为半径作☉B,则下列说法正确的是( ) A.点A在☉B上 B.点C在☉B外 C.直线AC与☉B相切 D.直线AB与☉B只有一个交点 C C 3.如图所示,△ABC是☉O的内接三角形,AD是☉O的直径,若∠ABC=65°,则∠DAC的度数为( ) A.40° B.35° C.30° D.25° D 4.【北师大九下P95例题变式】如图所示,☉I交△ABC的三边于点D,E,F, ∠A=28°,AB=14,AC=13,BC=9. (1)∠BIC的度数为　 　,若AD=9.5,BD=　 　;  (2)若☉I的半径是2,则△ABC的面积是　 　.  104° 4.5 36 5.【人教九上P101习题T6变式】如图所示,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径. (1)若∠BAC=25°,则∠P的度数为　 　;  (2)若AC=10,AP=12,则AB=　 　.  50° 6.(2025南充模拟)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,点O在边AC上,以OA为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,在边BC上取一点F,连接DF,使DF=BF. (1)求证:DF为半圆O的切线; (1)证明:如图所示,连接OD. ∵OD=OA,∴∠1=∠A. ∵DF=BF,∴∠2=∠B. ∵∠C=90°, ∴∠1+∠2=∠A+∠B=90°. ∴∠ODF=90°. ∴OD⊥DF. 又∵OD为半圆O的半径, ∴DF为半圆O的切线. 一、切线的判定 例1　(2025内江节选)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,点O是边AB上一点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,☉O恰好经过点D.求证:直线AC是☉O的切线. 讲重点 精准备考 证明:连接OD,如图所示. ∵∠C=90°,∴BC⊥AC. ∵BD是∠ABC的平分线,∴∠OBD=∠CBD. ∵OB是☉O的半径,☉O恰好经过点D, ∴OD=OB.∴∠ODB=∠OBD. ∴∠ODB=∠CBD.∴OD∥BC,∴OD⊥AC. 又∵OD是☉O的半径, ∴直线AC是☉O的切线. 二、与切线性质有关的证明与计算 例3　如图所示,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,过点C的切线CD交AB的延长线于点D,过点B作BE∥CD交☉O于点E,连接AE,AC,若∠D=30°,则∠CAE的度数为　 　.  30° 例4　(2025内江模拟改编)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,∠DCA=∠B.CD是☉O的切线,过点D作DE⊥AB,垂足为点E,DE交AC于 点F. (1)求证:AF·CF=2DF·EF; 1.连半径,证垂直 (1)当图中有90°角时: ①利用等角代换证得垂直; ②利用平行线证得垂直; ③利用三角形全等证得垂直; (2)当图中没有90°角时,需要构造: ①若图中有已知直径,则利用直径所对的圆周角是90°构造直角; ②若图中有等腰三角形,则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角. 2.作垂直,证半径 当直线与圆的公共点未知时,常过圆心作直线的垂线段,证明圆心到直线的距离等于半径. 3.运用切线的性质进行计算或证明时,常作的辅助线有连接圆心、切点和构造直径所对的圆周角,然后利用垂直构造直角三角形解决问题;观察题干,若题干中含“30°,45°,60°”或“等腰直角三角形”“等边三角形”等字眼,则用锐角三角函数或者勾股定理;若不含,则用相似三 角形. 命题点1　切线的性质与判定 1.(2025自贡T10,4分)PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,不与点A,B重合.若∠P=80°,则∠ACB的度数为( ) A.50° B.100° C.130° D.50°或130° 研真题 靶向中考 D 命题点2　三角形的内切圆与外接圆 A 命题点3　圆的综合题 新题型 新考法 5.(2025北京)如图所示,☉O是地球的示意图,其中AB表示赤道,CD,EF分别表示北回归线和南回归线,∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时,太阳光线GD经过地心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角)的度数为　 　.  43° 基础巩固 分层练 实战提能 1.如图所示,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=6,则PB的长为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 2.若☉A的半径为5,圆心A的坐标是(1,2),点P的坐标是(5,2),则点P的位置为( ) A.在☉A内 B.在☉A上 C.在☉A外 D.不能确定 B A C 4.(2025福建)如图所示,PA与☉O相切于点A,PO的延长线交☉O于点C. AB∥PC,且交☉O于点B.若∠P=30°,则∠BCP的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° C 5.(2025云南)已知☉O的半径为5 cm,若点P在☉O上,则点P到圆心O的距离为　 　.  6.如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(2,1),点C的坐标为(2,-3),则△ABC的外心坐标应是　 　.  5 cm (-2,-1) 能力进阶 8.(2025上海)在锐角三角形ABC中,AB=AC,BC=8,△ABC的外接圆为☉O,且半径为5,边BC中点为D,如果以点D为圆心的圆与☉O相交,那么☉D的半径可以为( ) A.2 B.5 C.8 D.9 B 9.数字文化　 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为　 　.  289 思维拓展 10.(2025凉山模拟)如图所示,AB⊥BC,DC⊥BC,BC与以AD为直径的☉O相切于点E,AB=9,CD=4,则四边形ABCD的面积为　 　.  78 谢谢观赏！ 40 性质 三角形的外心到三角形　 　的距离相等  三角形的内心到三角形三边的 　 　相等  角度 关系 ∠BOC=2∠A ∠BOC = 90° +∠A 任意三角形的内切圆 直角三角形的内切圆 直角三角形的外接圆 利用等面积法可得r= 利用等面积法可得r=;利用切线长定理可得r= r= 2.【北师大九下P96习题T1变式】如图所示,PA与☉O相切于点A,PB与☉O相切于点B,M为上一点,过点M与☉O相切的直线分别交PA,PB于点E,F.若△PEF的周长为10,则PA的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.10 (2)若BF=3CF=3,tan B=,求AE的长. (2)解:如图所示,连接OF. 设半圆O的半径为r. ∵BF=3CF=3,∴DF=3,CF=1.∴BC=4. ∵在Rt△ABC中,tan B==, ∴AC=BC=6.∴OC=6-r. ∵∠ODF=∠C=90°,∴OF2=r2+32=(6-r)2+12,解得r=. ∴2r=.∴AE的长为. 例2　(2024南充节选)如图所示,在☉O中,AB是直径,AE是弦,点F是上一点,=,AE,BF交于点C,点D为BF延长线上一点,且∠CAD=∠CDA. 求证:AD是☉O的切线. 证明:∵=,∴∠ABF=∠BAE. ∵∠CAD=∠CDA,∠ADC+∠ABF+∠BAE+∠CAD=180°, ∴∠BAE+∠CAD=90°,即∠BAD=90°. ∴AD⊥AB. 又∵OA是☉O的半径,∴AD是☉O的切线. (1)证明:如图所示,连接OC,过点D作DM⊥CF于点M, 则∠DMF=90°, ∵DE⊥AB,∴∠AEF=90°. ∴∠DMF=∠AEF=90°. ∵∠DFM=∠AFE(对顶角相等), ∴△DFM∽△AFE. ∴=. ∴AF·FM=DF·EF. ∵∠OCA+∠DCA=90°,∠OCA=∠OAC, ∴∠OAC+∠DCA=90°. ∵∠OAC+∠EFA=90°,∴∠DCA=∠EFA. ∵∠EFA=∠DFC,∴∠DCA=∠DFC. ∴△CDF是等腰三角形. ∵DM⊥CF,∴CM=FM. ∴FM=CF.∴AF·CF=DF·EF. ∴AF·CF=2DF·EF. (2)若CD=20,sin A=,求CF的长. (2)解:∵∠CDM=∠MDF=∠OCA=∠OAC, ∴sin A=sin∠CDM=. ∴=. ∵CD=20,∴CM=×20=12. ∴CF=2CM=2×12=24. 2.(2024宜宾T9,4分)如图所示,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,AD平分∠BAC交☉O于点D,则的值为( ) A. B. C.2 D.2 3.(2024绵阳T18,4分)如图所示,在矩形ABCD中,点E在AB上运动,△ADE的内切圆与DE相切于点G,将△ADE沿DE翻折,点A落在点F处,连接BF.当点E恰为AB的三等分点(靠近点A)时,且EG=-1,DG=+1, 则cos ∠ABF=　 　.  4.(2025成都T17,10分)如图所示,点C在以AB为直径的半圆O上,连接AC,BC,过点C作半圆O的切线,交AB的延长线于点D,在上取点E,使=,连接BE,交AC于点F. (1)求证:BE∥CD; (1)证明:如图所示,连接OC,则OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵过点C作半圆O的切线,交AB的延长线于点D, ∴OC⊥CD.∴∠BCD+∠OCB=90°. ∵AB为直径,∴∠ACB=90°.∴∠OCA+∠OCB=90°. ∴∠OCA=∠BCD.∴∠CAB=∠BCD. ∵=,∴∠CAE=∠CAB=∠EBC. ∵∠CAB=∠EBC, ∴∠EBC=∠BCD.∴BE∥CD. (2)若sin D=,BD=1,求半圆O的半径及EF的长. (2)半圆O的半径为2.　EF=. 3.如图所示,BC是☉O的切线,点B是切点,连接CO交☉O于点D,延长CO交☉O于点A,连接AB,若OD=2,∠C=30°,则AB的长为( ) A.2 B.3 C.2 D.3 7.(2025眉山T22,10分)如图所示,AB为☉O的直径,点C为圆上一点,过点C作☉O的切线,交AB的延长线于点D,过点B作BE∥DC,交☉O于点E,连接AE,AC. (1)求证:=; (2)若∠BAE=60°,☉O的半径为2,求AC的长. (1)证明:如图所示,连接OC. ∵CD是☉O的切线,∴OC⊥CD. ∵BE∥DC,∴OC⊥BE.∴=. (2)AC=2. $