第二章 方程(组)与不等式(组) 2026年中考数学专题复习（四川）

第5节　一元二次方程的解法及应用 过教材 梳理知识 知识点1　一元二次方程的概念及其解法 1.一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程. 它的一般形式是　 　(a,b,c为常数,a≠0).  ax2+bx+c=0 2.一元二次方程的解法 直接开 平方法 适用于x2=p(p≥0),(x+a)2=b(b≥0)的形式的方程,解分别为 配方法 (1)把原方程化为ax2+bx+c=0的形式; (2)将常数项移到方程的右边,二次项的系数化为1; (3)方程两边同时加上　 　;  (4)把方程配方成(x+p)2=q(q≥0)的形式,再开方求解得 　 　  一次项系数一半的平方 公式法 (1)把方程化为一般形式:ax2+bx+c=0; (2)确定a,b,c的值,并求出b2-4ac的值; (3)当b2-4ac≥0时,将a,b,c的值代入求根公式x=　　 求解 因式 分解法 把方程化为(ax+b)(mx+n)=0的形式,得 ,x2=　 　  知识点2　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 根的 判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ= 　   根的判别 式与根 的关系 Δ>0⇔方程有两个　 　的实数根;  Δ=0⇔方程有两个　 　的实数根;  Δ<0⇔方程　 　实数根  根与系数 的关系 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=　 　,x1x2=　　  b2-4ac 不相等 相等 没有 知识点3　一元二次方程的实际应用 常见类型: (1)增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为　 　;  (2)利润问题:单件利润=单价-成本; 总利润=单件利润×销量=总收入-总成本; (3)面积问题:对于规则图形,可直接套用面积公式列方程求解;对于不规则图形,可通过割补使其变为规则图形后,再根据面积间的和、差关系 求解; a(1+x)2 (4)循环球赛问题: 单循环:x个队的单循环赛场数=　 　;  双循环:x个队的双循环赛场数=x(x-1). 微诊断 检测基础 1.【北师大九上P33习题T3变式】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,书中有一个关于门和竹竿的问题,简译为:今有一扇门,不知门的高和宽.另有一竹竿,也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺,竹竿竖着放时比门的高长2尺,竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等,求门的对角线长.若设门的对角线长为x尺,则可列方程为( ) A.(x+2)2=(x-4)2+x2 B.(x+4)2=x2+(x-2)2 C.x2=(x-4)2+(x-2)2 D.(x+4)2=(x+2)2+x2 C 2.(2025广安)关于x的一元二次方程x2+3x+1=0的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 B 3.概念辨析 下列一元二次方程:①2xm-1+2x+3=0;②x2-5x=6;③x2+2x+c =0. (1)方程①中,m的值是　 ;  (2)方程②中,一次项系数是　 　,常数项是　 　;  (3)下列各数是方程②的解的是( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 (4)若方程③的一个根是1,则c的值是　 　.  4.【北师大九上P56复习题T5变式】已知方程x2-2x+k=0的一个根为-2,则方程的另一个根为　 　,k的值为　 　.  3 -5 -6 B -3 4 -8 5.【北师大九上P56复习题T2变式】用指定的方法解下列方程: (1)2x2-3x-2=0(用公式法); (2)x2+4x-2=0(用配方法); (3)(3x+1)2=9x+3(用因式分解法). 命题点1　一元二次方程根的应用 1.(2024凉山T9,4分)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为( ) 研真题 靶向中考 2.(2024南充T14,4分)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为　 　.  A -4 命题点2　一元二次方程根的判别式 3.(2025德阳T4,3分)若关于x的一元二次方程-2x2+4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是( ) A.2 B.0 C.-2 D.-4 4.(2024绵阳T8,3分)已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k2+2=0有实数根,则k的取值范围为( ) C D 命题点3　一元二次方程根与系数的关系 C A.-1 B.1 C.-2 D.2 6.(2024成都T20,4分)若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n-2)2的值为　 　.  7 命题点4　一元二次方程的实际应用 7.(2024绵阳T17,4分)超市销售某种礼盒,该礼盒的原价为500元.因销量持续攀升,商家在3月份提价20%,后发现销量锐减,于是经过核算决定在3月份售价的基础上,4,5月份按照相同的降价率r连续降价.已知5月份礼盒的售价为486元,则r=　 　.  10% 8.(2025泸州T21,7分)某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率; 解:(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x, 根据题意,得125(1-x)2=80, 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意,舍去). 答:乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. (2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品. 解:(2)设购进y件甲种商品,则购进(100-y)件乙种商品, 根据题意,得(125-25×2)y+80(100-y)≤7 800, 解得y≥40. ∴y的最小值为40. 答:最少购进40件甲种商品. 新题型 新考法 6 基础巩固 分层练 实战提能 1.用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是( ) A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6 C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6 C 2.(2025凉山T7,4分)某钢铁厂一月份生产钢铁560 t,月平均增长率相同,第一季度共生产钢铁1 860 t,若设月平均增长率为x,那么可列出的方程是( ) A.560(1+x)2=1 860 B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1 860 C.560+560(1+x)+560(1+x)2=1 860 D.560+560(1+2x)2=1 860 C 3.(2025绵阳三模)已知a和b是方程x2+2 025x-3=0的两个根,则a2+2 024a -b的值为( ) A.2 020 B.2 024 C.2 026 D.2 028 4.若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( ) A.m<0且m≠-1 B.m≥0 C.m≤0且m≠-1 D.m<0 D A 5.当a=　 　时,xa-2-5x=3是关于x的一元二次方程.  6.某商店销售一种成本为每千克30元的水产品,据市场分析,若按每千克40元销售,一个月能售出500 kg;销售单价每涨1元,月销售量就减少 10 kg.该商店想在月销售成本不超过10 000元的情况下,使得月销售利润达到8 000元,销售单价应定为　 　元.  4 70 7.解下列方程: (1)(2x+3)2-25=0; 解:(1)移项,得(2x+3)2=25, 两边开平方,得2x+3=±5,2x=±5-3, ∴x1=1,x2=-4. (2)3x(x-2)=2(2-x); (3)2x2+1=3x(用配方法). 能力进阶 B 3 10.(2025南充)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两根. (1)当x1=-1时,求x2及m的值; (2)求证:(x1-1)(x2-1)≤0. (2)证明:方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0.∵Δ=9-4(2-m2)= 4m2+1>0, ∴方程有两个不相等的实数根. ∵方程(x-1)(x-2)=m2即x2-3x+2-m2=0的两根为x1,x2, ∴x1+x2=3,x1·x2=2-m2. ∴(x1-1)(x2-1)=x1·x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1=-m2. ∵m2≥0,∴-m2≤0,即(x1-1)(x2-1)≤0. 11.如图所示,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈? 解:(1)设矩形ABCD的边AB=x m,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m. 根据题意,得x(72-2x)=640, 化简,得x2-36x+320=0,解得x1=16,x2=20. 当x=16时,72-2x=72-32=40; 当x=20时,72-2x=72-40=32. 答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为640 m2的羊圈. (2)羊圈的面积能达到650 m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 解:(2)不能.理由如下:由题意,得x(72-2x)=650. 化简,得x2-36x+325=0. ∵Δ=(-36)2-4×325=-4<0, ∴一元二次方程没有实数根. ∴羊圈的面积不能达到650 m2. 思维拓展 12.代数推理　 我们定义:一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式,则称这个整数为“完美数”.例如,5是“完美数“.理由:因为5=22+12,所以5是“完美数”. [解决问题] (1)已知34是“完美数”,请将它写成a2+b2(a,b是整数)的形式: 　 　;  (2)若x2-6x-1可配方成(x-m)2+n(m,n为常数),则mn=　 　;  34=52+32 -30 [探究问题] (3)已知x2+y2-4x+6y+13=0,则x+y=　 　;  (4)已知S=x2+4y2+2x-12y+k(x,y是整数,k是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的一个k值. -1 解:由题意,得S=x2+4y2+2x-12y+k=x2+2x+1+4y2-12y+9-10+k= (x+1)2+(2y-3)2+k-10, ∵要使S为完美数,∴k-10=0.∴k=10. 谢谢观赏！ 36 x=±,x=-a± x=-p± x1=- - - 代数式求值时的常见变形: (1)+=; (2)+=(x1+x2)2-2x1x2; (3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2; (4)|x1-x2|=. 解:(1)这里a=2,b=-3,c=-2. ∵b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25>0, ∴x==,即x1=2,x2=-. 解:(2)移项,得x2+4x=2,两边都加22,得x2+4x+22=2+22,即(x+2)2=6, 两边开平方,得x+2=,或x+2=-, ∴原方程的根是x1=-2+,x2=-2-. (3)方程整理,得(3x+1)2-3(3x+1)=0, 因式分解,得(3x+1)(3x+1-3)=0, 于是得3x+1=0,或3x-2=0,∴x1=-,x2=. A.2 B.-2 C.2或-2 D. A.k>- B.k<- C.k≥- D.k≤- 5.(2025乐山T7,3分)若方程x2-x-2=0的两个根是x1和x2,则x2+x1的值为( ) 9.数形结合　 在欧几里得的《几何原本》中,形如关于x的一元二次方程x2+ax=b2(a>0,b>0)的图解法是:如图(1)所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, BC=,AC=b,在斜边上截取BD=,则AD的长就是所求方程的正根.根据上述图解法作出关于x的一元二次方程x2+ax=16(a>0)的图解,如图(2)所示,若=,则a的值为　 　.  解:(2)移项,得3x(x-2)+2(x-2)=0, 因式分解,得(3x+2)(x-2)=0, ∴3x+2=0或x-2=0,解得x1=-,x2=2. 解:(3)移项,得2x2-3x=-1, 二次项系数化为1,得x2-x=-, 配方,得x2-x+(-)2=-+(-)2, (x-)2=,由此可得x-=±, ∴x1=1,x2=. 8.(2023绵阳)若x=3是关于x的一元二次方程x2-ax-a2=0(a>0)的一个根,下面对a的值估计正确的是( ) A.<a<1 B.1<a< C.<a<2 D.2<a< 9.若m,n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个实数根,则的值为　　. (1)解:把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6,∴m=±. ∴(x-1)(x-2)=6, 即x2-3x-4=0.∴(x-4)(x+1)=0. ∴x1=-1,x2=4.∴x2=4,m=±. $第7节　一次不等式(组)的解法及应用 过教材 梳理知识 知识点1　不等式的基本性质 基本性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向 　   基本性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变 基本性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向　   不变 改变 知识点2　一元一次不等式及其解法 不等式 用不等号(“>”或“≥”或“<”或“≤”或“≠”)表示不等关系的式子 不等式的解 使不等式成立的未知数的值 不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式,它的所有的解 解不等式 求不等式的解集的过程 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式 解一元一次 不等式的步骤 (1)　 　;  (2)去括号; (3)　 　;  (4)合并同类项; (5)将未知数的　 　化为1  去分母 移项 系数 知识点3　一元一次不等式组(常考点) 1.概念 关于同一个未知数的几个　 　合在一起,就组成一个一元一次不等式组.  2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组中各个不等式解集的　 　,叫做这个一元一次不等式组的解集.借助数轴用数形结合的思想,熟练掌握以下四种基本不等式组解集的确定:  一元一次不等式 公共部分 x<a a<x<b 知识点4　不等式(组)的应用(常考点) 1.解题步骤 (1)审清题意,找出不等关系;(2)设未知数;(3)列不等式(组);(4)解不等式(组);(5)写出答案. 2.不等式(组)的实际应用题中常见的关键词与不等号的对比表 常见关键词 不等号 大于、多于、超过、高于 > 小于、少于、不足、低于 < 至少、不低于、不小于、不少于 ≥ 至多、不超过、不高于、不大于 ≤ 微诊断 检测基础 1.【北师大八下P41随堂练习T2变式】下列说法正确的是( ) A.若a>b,则ab>0 B.若a为任意实数,则a2>0 C.若a>b,则3a<3b D.若a=b,则3-a<4-b D 5 k≥2 4.(2025宜宾改编)某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛,共有20道题,对每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分.小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分,若设小明要答对x道题,则可列不等式为　 . .  5.【人教七下新教材P141习题T5变式】某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶,那么剩下28盒牛奶;如果分给每位老人5盒牛奶,那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒,但至少1盒.设该敬老院的老人有x人,则可列不等式组 为　 　.  10x-5(20-x) ≥80 命题点1　解一元一次不等式(组) 研真题 靶向中考 m≤3 -17≤P<-7 解:(1)解不等式①,得x>2. 解不等式②,得x≤8. 故原不等式组的解集为2<x≤8. 解:(2)解不等式①,得x>-2. 解不等式②,得x≤3, 故原不等式组的解集为-2<x≤3. 命题点2　一元一次不等式(组)的应用 (1)求每个A种挂件的价格; (2)某游客计划用不超过600元购买A,B两种挂件,且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个,求该游客最多购买多少个A种挂件. 5.(2025遂宁T21,10分)为了建设美好家园,提高垃圾分类意识,某社区决定购买A,B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料: 材料一:已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元;购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元. 请根据以上材料,完成下列任务: 任务一:求A,B两种型号的新型垃圾桶的单价. 任务二:有哪几种购买方案? 任务三:哪种方案更省钱,最低购买费用是多少元? 解:(任务三)选择方案1所需费用为60×118+100×82=15 280(元); 选择方案2所需费用为60×119+100×81=15 240(元); 选择方案3所需费用为60×120+100×80=15 200(元), ∵15 280>15 240>15 200, ∴方案3更省钱,最低购买费用是15 200元. 新题型 新考法 6.在一次综合实践活动中,某小组用Ⅰ号、Ⅱ号两种零件可以组装出五款不同的成品,编号分别为A,B,C,D,E,每个成品的总零件个数及所需的Ⅰ号、Ⅱ号零件个数如下: 成品编号 Ⅰ号零件个数 Ⅱ号零件个数 总零件个数 A 3 4 7 B 5 4 9 C 4 6 10 D 4 3 7 E 6 2 8 选用两种零件总数不超过25个,每款成品最多组装一个. (1)如果Ⅰ号零件个数不少于11个,且不多于13个,写出一种满足条件的组装方案:　 　(写出要组装成品的编号);  (2)如果Ⅰ号零件个数不少于11个,且不多于13个,同时所需的Ⅱ号零件最多,写出满足条件的组装方案:　 (写出要组装成品的编号).  ABD(答案不唯一) ACD 基础巩固 分层练 实战提能 A.-3 B.-1 C.1 D.3 C C 3.(2025自贡二模)不等式组-2<1-x≤m恰有2个整数解,则m的取值范围为( ) A.0≤m<1 B.0<m≤1 C.0<m<1 D.0≤m≤1 A a≥2 5.数学文化　 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.根据如图所示的程序进行计算,规定从“输入x”到“结果是否大于37”为一次程序操作.已知某同学输入x后经过了两次操作停止,则x的取值范围为　 　.  5<x≤13 能力进阶 8.新定义　 阅读下面的材料: 对于实数a,b,我们定义符号min{a,b}的意义为:当a<b时,min{a,b}=a;当a≥b时,min{a,b}=b.如:min{4,-2}=-2,min{5,5}=5. 根据上面的材料回答下列问题: (1)min{-1,3}=　 　;  -1 思维拓展 B 谢谢观赏！ 31 不等式组(a<b) 在数轴上表示 解集 口诀 x>b 同大取大 　 　  同小取小 　   大小小大中间找 无解 大大小小解不了 2.【北师大八下P47随堂练习T2变式】不等式x-2≤的非负整数解有 　 个. 3.【北师大八下P62复习题T10变式】如果不等式组无解,那么k的取值范围是　 　.  6.【北师大八下P61复习题T4变式】解不等式组并在数轴上表示出它的解集. 解: 解不等式①,得x<4. 解不等式②,得x≥-1. 在数轴上表示解集如图所示. ∴不等式组的解集为-1≤x<4. 1.(2025南充T13,4分)不等式组的解集是x>2,则m的取值范围是　 　.  2.(2025内江T23,6分)对于x,y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y.若关于a的不等式组恰好有3个整数解,则实数P的取值范围是　 .  3.解下列不等式组: (1)(2025成都T14(2),6分) (2)(2025绵阳T18,9分) 4.(2025成都T24,8分)2025年8月7日至17日,第12届世界运动会在成都举行,与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A,B两种吉祥物挂件,已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的,用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个. 解:(1)由题意,设每个A种挂件的价格为x元,则每个B种挂件的价格为 x元.∴=+7. ∴x=25.经检验,x=25是原方程的根. 答:每个A种挂件的价格为25元. 解:(2)由题意,设该游客购买m个A种挂件,则购买(m+5)个B种挂件,又结合(1)每个A种挂件的价格为25元,每个B种挂件的价格为×25=20(元),∴25m+20(m+5)≤600.∴m≤11. 又∵m为整数,∴m=11. 答:该游客最多购买11个A种挂件. 材料二:据统计该社区需购买A,B两种型号的新型垃圾桶共200个,但总费用不超过15 300元,且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的. 解:(任务一)设A型号的新型垃圾桶的单价是x元/个,B型号的新型垃圾桶的单价是y元/个. 根据题意,得解得 答:A型号的新型垃圾桶的单价是60元/个,B型号的新型垃圾桶的单价是100元/个. 解:(任务二)设购买m个A型号的新型垃圾桶,则购买(200-m)个B型号的新型垃圾桶, 根据题意,得 解得≤m≤120,又∵m为整数,∴m可以为118,119,120.∴共3种购买方案. 方案1:购买118个A型号的新型垃圾桶,82个B型号的新型垃圾桶; 方案2:购买119个A型号的新型垃圾桶,81个B型号的新型垃圾桶; 方案3:购买120个A型号的新型垃圾桶,80个B型号的新型垃圾桶. 1.(2025宜宾)满足不等式组的解是( ) 2.(2025福建)不等式x+1≤2的解集在数轴上表示正确的是( ) 4.若关于x的一元一次不等式组的解集为x<2,则a的取值范围是　 　.  6.解不等式组并把解集在数轴上表示出来. 解: 解不等式①,得x≤5. 解不等式②,得x>2. 在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图所示. ∴原不等式组的解集为2<x≤5. 7.若不等式>-x-的解都能使不等式(m-6)x<2m+1成立,则实数m的取值范围是　 .  ≤m≤6 (2)当min(,)=时,求x的取值范围. 解:根据题意,得≥. 去分母,得3(2x-3)≥2(x+2). 去括号,得6x-9≥2x+4. 移项、合并同类项,得4x≥13. 系数化为1,得x≥. ∴x的取值范围是x≥. 9.(2025眉山)若关于x的不等式组至少有两个正整数解,且关于x的分式方程=2-的解为正整数,则所有满足条件的整数a的值之和为( ) A.8 B.14 C.18 D.38 $第二章　方程(组)与不等式(组) 第4节　一次方程(组)的解法及应用 过教材 梳理知识 知识点1　等式的性质 0 知识点2　一元一次方程及其解法 定义 只含有一个未知数,且未知数的次数都是1的　 　方程. 其一般形式为ax+b=0(a≠0) 方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值 整式 解法 步骤 (1)去分母:在方程两边都乘各分母的最小公倍数; (2)去括号:一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号; (3)移项:把含有未知数的项都移到方程的同一边,其他项都移到方程的另一边,移项时一定要　 　;  (4)合并同类项:把方程化成ax=-b(a≠0)的形式; (5)系数化为1:方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解为 　   变号 知识点3　二元一次方程(组)及其解法(常考点) 二元一 次方程 含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是　 　的整式方程  二元一次 方程组 一般地,含有相同的未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组 方程组 的解 方程组中两个方程的公共解 解法 基本思想是　 　,转化为一元一次方程,方法有代入消元法和　 　  1 消元 加减消元法 知识点4　三元一次方程组(选学) 解三元一次方程组的基本思想是　 　.  知识点5　一次方程(组)的应用(常考点) 1.列方程(组)解应用题的一般步骤 审(审清题意)→设(设未知数)→列[列方程(组)]→解[解方程(组)]→验 (检验是否符合题意)→答(写出答案). 消元 2.常见的应用题类型及基本数量关系 数字 问题 设个位数字为c,十位数字为b,百位数字为a,则这个三位数是 　 　  购买 问题 (1)总价=单价×数量; (2)甲单价×甲数量+乙单价×乙数量+…=总价; (3)甲数量+乙数量+…=总数量 打折 销售 问题 (1)利润=　 　-　 　=利润率×　 　;  (2)利润率=　 　×100%;  (3)总利润=单件利润×　   100a+10b+c 售价 进价 进价(成本) 销售量 行程 问题 (1)速度×　 　=路程;  (2)顺水速度=　 　+　 　;  逆水速度=　 　-　 　  配套 问题 一个A和一个B配套:A的数量=B的数量; m个A和n个B配套:数量比为A∶B=m∶n, 即A的数量的n倍=B的数量的m倍 变化率 问题 (1)原来的量×(1+增长率)=增长后的量; (2)原来的量×(1-减少率)=减少后的量 阶梯收 费问题 总费用=阶段a单价×阶段a数量+阶段b单价×阶段b数量+… 时间 静水速度 水流速度 静水速度 水流速度 微诊断 检测基础 D 2.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题,其大意是:现有一根竿和一条绳索,若用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;若将绳索对折去量竿,绳索就比竿短5尺,若设竿长为x尺,则可列方程为( ) B 3.一题多解　 端午节买粽子,每个肉粽比素粽多1元,购买10个肉粽和5个素粽共用去70元. (1)若设每个肉粽x元,则可列方程为　 　;  (2)若设每个肉粽a元,每个素粽b元,则可列方程组为　 　.  10x+5(x-1)=70 去分母(方程两边都乘6),得　 　.  去括号,得　 　.  移项,得　 　.  合并同类项,得　 　.  系数化为1,得　 　.  3(x-3)-2(2x+1)=6 3x-9-4x-2=6 3x-4x=6+9+2 -x=17 x=-17 命题点1　解一次方程(组) 1.(2025凉山T9,4分)若(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,则x+y的平方根是( ) 研真题 靶向中考 C 2.(2025成都T10,4分)任意给一个数x,按如图所示的程序进行计算.若输出的结果是15,则x的值为　 　.  3 命题点2　一次方程(组)解的应用 3.数学文化　 (2025泸州T9,3分)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作,在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1,y=1.类似地,方程2x+3y=21的正整数解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C B 命题点3　一次方程(组)的实际应用 5.数学文化　 (2025成都T6,4分)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?其大意是:今有良田1亩价值300钱;劣田7亩价值500钱.今合买良、劣田1顷(100亩),价值10 000钱.问良田、劣田各有多少亩?设良田为x亩,劣田为y亩,则可列方程组为( ) A 6.(2024成都T24,8分)推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17 500元从农户购进A,B两种水果共1 500 kg进行销售,其中A种水果收购单价为10元/kg,B种水果收购单价为15元/kg. (1)求A,B两种水果各购进多少千克; (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%,若合作社计划A种水果要获得20%的利润,不计其他费用,求A种水果的最低销售单价. 解:(2)设A种水果的销售单价为m元/kg, 根据题意,得1 000×(1-4%)m-10×1 000=10×1 000×20%,解得m=12.5. 答:A种水果的最低销售单价为12.5元/kg. 新题型 新考法 7.跨学科融合　 依据化学反应过程中的质量守恒定律,在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同.例如:2H2+O2 2H2O就表示两份H2(氢气)与一份O2(氧气)点燃生成两份的H2O(水).已知xC6H6+yO2 6xCO2+3xH2O,由此可列出关于x,y的二元一次方程为( ) A.x+y=6x+3x B.x+y=6x+2×3x C.2y=6x+3x D.2y=2×6x+3x D 基础巩固 分层练 实战提能 C 2.解方程-2(2x+1)=x,以下去括号正确的是( ) A.-4x+1=-x B.-4x+2=-x C.-4x-1=x D.-4x-2=x 3.(2025遂宁)已知x=2是方程3a-2x=2的解,则a=　 　.  D 2 60 6.某茶叶店第一次购进了A种茶30盒,B种茶20盒,共花费6 000元;第二次购进时,两种茶每盒的价格都提高了20%,该店又购进了A种茶20盒,B种茶15盒,共花费5 100元.求第一次购进的A,B两种茶每盒的价格. 能力进阶 1 8.某运输公司有A,B两种货车,3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90 t, 5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160 t. (1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨? (2)目前有190 t货物需要运输,该运输公司计划安排A,B两种货车将全部货物一次运完(A,B两种货车都安排且均满载),其中每辆A货车一次运货花费500元,每辆B货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输方案,并指出哪种运输方案费用最少. ∴符合题意的运输方案有三种: ①A货车2辆,B货车10辆,费用为2×500+10×400=5 000(元); ②A货车5辆,B货车6辆,费用为5×500+6×400=4 900(元); ③A货车8辆,B货车2辆,费用为8×500+2×400=4 800(元). ∵4 800<4 900<5 000, ∴安排A货车8辆,B货车2辆时费用最少. 思维拓展 9.代数推理　 在初中数学文化节游园活动中,王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛,活动规则是:在九宫格中除了已经填写的三个数之外的每一个方格中,填入一个数,使每一横行,每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等,且均为m.王小明抽取到的题目如图所示,他运用初中所学的数学知识,很快就完成了这个游戏,则m=　 　.  39 谢谢观赏！ 30 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等 如果a=b,那么a±c=b±c 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为　 　的数,结果仍相等  如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,那么=(c≠0) x=- 1.下列等式变形不正确的是( ) A.若x=y,则x+1=y+1 B.若=,则x=y C.若-2x=-2y,则x=y D.若x=y,则= A.-5=x B.=x-5 C.2(x+5)+5=x D.x+5+2=5-x 4.过程性学习　 解方程:-=1. 解:-=1, A.8 B.±8 C.±2 D.2 4.(2023眉山T7,4分)已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y=4,则m的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 A. B. C. D. 解:(1)设A种水果购进x kg,B种水果购进y kg, 根据题意,得解得 答:A种水果购进1 000 kg,B种水果购进500 kg. 1.下列方程变形正确的是( ) A.若2+m=1,则m=1+2 B.若m-3=2,则m=2-3 C.若n=1,则n=3 D.若-2m=3,则m=- 4.对于实数a,b,定义运算“◆”:a◆b=例如:4◆3,因为4>3,所以4◆3==5.若x,y满足方程组则x◆y=　　. 5.解方程组: (1) 解:(1)①+②,得2x=4,则x=2. 把x=2代入①,得2-y=1,则y=1. ∴原方程组的解为 (2) 解:(2)方程组整理,得 ②-①×2,得-5x=5,解得x=-1. 把x=-1代入①,得-4+y=5,解得y=9. 则原方程组的解为 解:设第一次购进A种茶每盒x元,B种茶每盒y元. 根据题意,得 解得 答:第一次购进的A种茶每盒100元,B种茶每盒150元. 7.(2025绵阳模拟)若关于x,y的二元一次方程组的解也是方程3x-2y=8的解,则k的值为　 　.  解:(1)设1辆A货车一次可以运货x t,1辆B货车一次可以运货y t. 根据题意,得解得 答:1辆A货车一次可以运货20 t,1辆B货车一次可以运货15 t. 解:(2)设安排A货车m辆,B货车n辆. 根据题意,得20m+15n=190,即4m+3n=38, ∵m,n均为正整数, ∴正整数解为 $第6节　分式方程的解法及应用 过教材 梳理知识 知识点1　分式方程的概念及解法 1.定义 分母中含有　 　的方程.  2.特征 (1)含有分母; (2)分母中含有未知数; (3)是方程. 未知数 3.解分式方程的一般步骤 (1)去分母:方程两边同乘　 　,把分式方程化为整式方程;  (2)解整式方程:去括号、　 　、合并同类项、系数化为1等;  (3)检验:将整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解. 简称为一化,二解,三检验. 4.解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程,解这个整式方程,然后验根,从而确定分式方程的解. 最简公分母 移项 5.增根 (1)使分式方程的最简公分母为0的根; (2)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了. 重点必记　 分式方程有增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程有增根是去分母后的整式方程的根使分式方程的最简公分母为0. 知识点2　分式方程的实际应用(常考点) 1.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审:审清题意,分清题目中的已知量、未知量; (2)设:设未知数,并表示出其余所需要的未知量(注意单位); (3)列:根据等量关系,列出方程; (4)解:解方程; (5)验(双检验):既要检验求得的解是不是所列方程的解,又要检验求得的解是否符合实际问题; (6)答:根据题意,规范作答(包括单位). 2.常见类型及等量关系式 (1)工程问题:(常把工作总量看成单位“1”) 微诊断 检测基础 1.下列属于分式方程的是( ) A D D A 5.数学文化　 意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程,并在其《算经》一书中给出了大量分式方程的应用问题.有一个“分钱问题”是这样的:一组人平分10元钱,每人分得若干,若再加上6人,平分40元钱,则第二次每人所得的钱与第一次相同.设第一次分钱的人数为x人,则可列方程为　 　.  一、解分式方程 讲重点 精准备考 解:去分母,得x-2-(2x-1)=-1, 去括号,得x-2-2x+1=-1, 移项、合并同类项,得-x=0,解得x=0, 检验:当x=0时,2x-1≠0, ∴原方程的解为x=0. (1)解分式方程的基本思想是转化思想,把分式方程转化为整式方程; (2)解分式方程一定注意要检验; (3)去分母时不要漏乘没有分母的项,还要注意符号的变化. (1)当a=4时,该分式方程的解为　 　;  (2)若该方程的解为x=-1,则a的值为　 　;  (3)若该方程无解,则a的值为　 　;  (4)若该方程的解为正数,则a的取值范围为　 　.  3 1或0 a<1且a≠0 分式方程有增根与无解并非同一概念:(1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程最简公分母为0的根;(2)分式方程无解有两种情况:一是去分母后的整式方程无解;二是整式方程的解使得最简公分母为0. 二、分式方程的实际应用 例3　某商场准备购进A,B两种书包,每个A种书包比B种书包的进价少 10元,用600元购进A种书包的个数是用350元购进B种书包个数的2倍,则A,B两种书包每个进价各是多少元? 命题点1　解分式方程 研真题 靶向中考 x=3 x=1 命题点2　含参数的分式方程 m≤-1且m≠-3 -1 命题点3　分式方程的实际应用 5.(2024绵阳T21节选,4分)为进一步美化环境,提高生活品质,某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊.预算资金为2 700元,其中1 200元购买甲种花卉,其余资金购买乙种花卉.已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍,且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株.求甲、乙两种花卉每株的价格. 6.(2025自贡T20,8分)去年暑假,小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米,他们分别掰了36筐和30筐,两人劳动时间相同,小张平均每小时比小李多掰2筐,小李平均每小时掰玉米多少筐. 基础巩固 分层练 实战提能 A.x=3 B.x=-9 C.x=9 D.x=-3 C 2.2025年5月12日是我国第17个全国防灾减灾日,某学校组织全体同学进行了两次地震应急演练,在优化撤离方案后,第二次平均每秒撤离的人数比第一次多15人,结果1 500名同学全部撤离的时间比第一次节省了50 s,若设第一次平均每秒撤离x人,则x满足的方程为( ) A C D 3 (2)方程两边同乘(x2-1),得x(x-1)-4=x2-1,解得x=-3, 经检验,x=-3是原分式方程的解. ∴原分式方程的解是x=-3. 能力进阶 m<6且m≠2 9.(2025山西)我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车,采用先进的自动化技术,能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍,它更换 116 km钢轨比一个工作队人工更换80 km钢轨所用时间少22 h.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米? 思维拓展 4 谢谢观赏！ 33 -=时间差; -=时间差. (2)行程问题: -=时间差. (3)购买(盈利)问题. A.=2 B.= C. D.xy-1=0 2.将分式方程-=3去分母得到的是( ) A.x-2=3 B.x+2=3 C.x-2=3(x-2) D.x+2=3(x-2) 3.【人教八上P151例2变式】若关于x的分式方程+=2无解,则a的值是( ) A.3或2 B.1 C.1或3 D.1或2 4.跨学科融合　 已知在一定温度下,某气体对气缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)满足关系:p=.通过对汽缸顶部的活塞加压,当汽缸内气体的体积减少20%时,测得气体对气缸壁所产生的压强增加 15 kPa.设加压前汽缸内气体的体积为x mL,则可列方程为( ) A.-=15 B.-=15 C.-=15 D.-=15 = 6.【北师大八下P128习题T1变式】解方程: (1)=; 解:(1)=.方程两边同乘x(x+1),得20(x+1)=24x,解这个一元一次方程,得x=5,检验:当x=5时,x(x+1)≠0,∴x=5是原方程的解. (2)+3=. 解:(2)+3=.方程两边同乘x-2,得1+3(x-2)=-(1-x),解这个一元一次方程,得x=2, 检验:当x=2时,x-2=0, ∴x=2是原方程的增根.∴原方程无解. 例1　(2025威海)解分式方程:-1=. 例2　已知关于x的分式方程-1=. x=- 解:设每个A种书包的进价是x元,则每个B种书包的进价是(x+10)元.根据题意,得=×2,解得x=60,经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意,∴x+10=60+10=70(元).答:每个A种书包的进价是60元,每个B种书包的进价是70元. 1.(2024成都T10,4分)分式方程=的解是　 　.  2.(2025宜宾T14,4分)分式方程+=0的解为　 　.  3.(2023眉山T16,4分)关于x的方程-1=的解为非负数,则m的取值范围是　 　.  4.(2025凉山T16,4分)若关于x的分式方程+=3无解,则m=　 　.  解:设甲种花卉每株的价格为x元,则乙种花卉每株的价格为1.2x元, 由题意,得-=2, 解得x=25, 经检验,x=25是原方程的解,且符合题意, ∴1.2x=1.2×25=30(元). 答:甲种花卉每株的价格为25元,乙种花卉每株的价格为30元. 解:设小李平均每小时掰玉米x筐,则小张平均每小时掰玉米(x+2)筐. 根据题意,得=,解得x=10, 经检验,x=10是所列方程的解,且符合题意. 答:小李平均每小时掰玉米10筐. 新题型 新考法 7.代数推理　 观察下列方程及其解的特征: ①x+=2的解为x1=x2=1; ②x+=的解为x1=2,x2=; ③x+=的解为x1=3,x2=; …… 解答下列问题: (1)请猜想:方程x+=的解为　 　;  (2)请猜想:关于x的方程x+=　 　的解为x1=a,x2=(a≠0);  (3)解分式方程:x+-2=. x1=4,x2= a+ 解:方程:x+-2=变形为x-2+=5+, ∴x-2=5或x-2=, 解得x1=7,x2=. 1.方程=的解为( ) A.=+50 B.=-50 C.=+50 D.+50= 3.若关于x的分式方程=2的解是负数,则a的取值范围是( ) A.a>-1 B.a>-1且a≠1 C.a<-1 D.a≤-1 4.(2025遂宁)若关于x的分式方程=-1无解,则a的值为( ) A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3 5.已知x=2是方程-=4的解,那么实数m的值为　 　.  6.定义一种新运算:对于任意的非零实数a,b,a⊗b=+.若(x+1)⊗x=,则x的值为　 　.  - 7.解下列方程: (1)+3=;(2)-=1. 解:(1)去分母,得2+3(x-2)=-(1-x), 解得x=.经检验,x=是原分式方程的解, ∴原分式方程的解是x=. 8.若关于x的分式方程+=3的解为正实数,则实数m的取值范围是 　 　.  解:设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x km, 根据题意,得-=22,解得x=2, 经检验,x=2是原方程的解,且符合题意, 答:一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2 km. 10.定义新运算　符号称为二阶行列式,规定它的运算法则为= ad-bc,若=1,则x= 　.  $