2026年中考数学热门考点通关练——二次函数与特殊三角形综合常见题型练

2026年中考数学热门考点通关练——二次函数与特殊三角形综合常见题型练 1．如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 3．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点 (1)求线段的长； (2)当为等腰三角形时，求的面积； (3)过点A的直线：与抛物线在第一象限相交于点M，过点M的直线：与抛物线有唯一公共点，与x轴正半轴相交于点当时，k与a之间是否存在某种数量关系？若存在，求出这个数量关系；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 6．如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F． （）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标； （）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线与x轴相交于点、，且、是方程的两根，与y轴相交于点C．连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①请说明点C在以为直径的上，并直接写出与抛物线的另一交点坐标； (3)如图②若平行于x轴的动直线l与线段交于点E，与线段交于F．点是x轴上的动点．问：是否存在直线l，使是等腰直角三角形？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．综合与实践 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标________． 11．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． (1)求抛物线的表达式及点B的坐标； (2)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行于y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求长的最大值及点M的坐标； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式、全面分类是解题的关键； （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，然后设点，则，，利用两点间的距离公式表示出，再分三种情况：当、、时，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线，得， ∴， 把代入抛物线的解析式可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴， 设点，则，， ∴，，， 若为直角三角形， 则当时，， ∴，即 解得：或（舍去）； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴，即 解得：； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上，存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或． 2．(1) (2)；面积最大值为 (3)点M的坐标为，， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，两种种情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解：∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，． 3．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 4．(1)6 (2)或 (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质，运用数形结合的思想是解题的关键．（1）令，求出x的值，即可得A、B两点的坐标，进而可得线段的长 （2）由抛物线的表达式知，点，当为等腰三角形时，存在或两种情况，分别求出a的值．再根据，将a的值分别代入即可． （3）由直线过点A，可求得直线的表达式为：， 再与抛物线的表达式联立，求得M的横坐标为．由，可得点M在的中垂线上且和关于该中垂线对称，则可得， ，求得直线的表达式为：，再与抛物线的表达式联立，由与抛物线只有一个交点可知，进而可得k与a的关系． 【详解】（1）解：令，则或， 则点A、B的坐标分别为：、， 则； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 当为等腰三角形时，存在或两种情况， 当时，， 则， 解得：（正值已舍去）． 当时，， 则， 解得：（正值已舍去）， 而， 当时，． 当时，． ∴的面积为或． （3）解：，理由： 直线过点A，则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：或， 即点M的横坐标为， ， 则点M在的中垂线上且和关于该中垂线对称， 由中点坐标公式得，点，直线表达式中的值为， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则， 整理得：， 即． 5．(1) (2) (3)或，或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊三角形形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，过P点作轴交于点G，设，则，求出，进而求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意易证是等腰直角三角形，由与全等，得到是等腰直角三角形，推出，设，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点代入，得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 过P点作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，四边形面积有最大值， 此时； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴或，或， ∴或，或． 6．(1) (2)是直角三角形，理由见详解 (3)存在，或或 【分析】（1）先设抛物线的解析式为，再把点和点分别代入列式计算，即可作答． （2）先求出顶点的坐标为，根据得出，即可得出是直角三角形，即可作答． （3）根据平行线之间距离处处相等，以及一次函数的图象性质，平移性质，列出方程组，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得， ∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴顶点的坐标为； ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，过程如下： 当点在的上方时， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， ∴， ∵点，点， ∴设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， ∵顶点的坐标为 ∴， ∴的解析式为， 依题意得， ∴， 整理得， 解得或， ∵顶点的坐标为； ∴把代入，得， ∴点P的坐标为； 当点在的下方时， ∵的解析式为，且记与的交点为点， ∴点的坐标为， 则， ∴， 即直线向下平移个单位到，则向下平移个单位得到的直线经过原点O， 即直线的解析式为， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， 即与二次函数的交点分别是， 联立 解得， 点的坐标为；点的坐标为； 综上：点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及勾股逆定理，二次函数与面积综合，二次函数的图象性质，一次函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．(1) (2)（）当时，面积的最大值为8，此时点E的坐标为；（）存在，点P的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）（）设，先求出，得到，可求得的面积为，再根据二次函数的性质求最大值即可； （）当时，证明，即可列方程求解；当时， 过点C作于点H，证明，即可列方程求解． 【详解】（1）解：把，的坐标代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：（）设， 令，则， 解得，， ， 设直线的解析式为， 将，的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， ， ， 的面积为， ， 当时，的面积有最大值，最大值为8， 此时， 点E的坐标为； （）存在，点P的坐标为或．理由如下： 由（）知，， 在中，， ， ， 当时，如图， ， ， ， 解得或3， ； 当时， 过点C作于点H， 则， ， ， ， ， 解得或2， ； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与面积问题，二次函数与特殊三角形的综合问题，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识，分类讨论两种情况是解题的关键． 8．(1) (2) (3)存在直线使是等腰直角三角形；点的坐标为或或． 【分析】（1）先解方程，求出，从而求得，再用待定系数法求解即可； （2）连接CM，，先求得，，从而得到，即可判断点在以为直径的上；再利用圆与抛物线的对称性求出圆与抛物线另一交点坐标即可； （3）分三种情况：①当，且时，②当，且时，③当，时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵、是方程的两根，， ， ， ∵抛物线与x轴相交于点， ， ， ； （2）解：如图①，连接， 抛物线与轴相交于点， 当时，得， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴点在以为直径的上； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴在直线上， ∴与抛物线的交点关于直线对称， ∴点关于直线对称点坐标为， ∴与抛物线的另一交点坐标为； （3）解：设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得， ∴直线解析式为， 设， ∵轴， ∴点与点纵坐标相同， ∴把代入，得： ， 解得：, ∴， ∴， 分三种情况： ①当，且时，如图， ∵，， ∴， ∴, 解得：， ∴； ②当，且时，如图， 同理， ∵， ∴, 解得：， ∴； ③当，时，如图， 过点作于， ∵， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 化简得， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． 综上所述，存在直线使是等腰直角三角形；点的坐标为或或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 9．(1) (2)P(1，4)、(2，3)、(，)、(，) (3)存在，Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 【分析】本题主要考查二次函数，等腰直角三角形； （1）采用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据题意得到直线解析式为，设，得到，计算求解即可； （3）根据P点坐标，和等腰直角三角形的性质，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：中，代入、得： ， 解得， ∴． （2）解：∵、， ∴直线解析式为， 设， ∴， 解得或或， 把或或，代入， 得或或， ∴点坐标为 、、； （3）解：存在， ∵，且以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， 当，时， ∴Q横坐标是点横坐标加减2，Q点纵坐标与点纵坐标相同； 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， ∴Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 10．(1) (2)①四边形的面积最大为，点M的坐标为；②， 【分析】（1）将代入抛物线的解析式求得k的值，从而得到抛物线的解析式； （2）①连接，过点M作轴，交于点D．先求得点A、B的坐标，然后再求得直线的解析式，设，则，则，然后依据四边形的面积面积面积列出S与x的函数关系式，然后依据配方法求得二次函数的最大值，从而可求得点M的坐标； ②先求得抛物线的对称轴方程为，然后过点M作直线，垂足为D，设直线与x轴交于点E，先证明，从而得到，．设点，点．将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M与点P的坐标． 【详解】（1）解：∵与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为，即； （2）①解：如图1所示：连接，过点M作轴，交于点D． 令得：， 解得：，， ∴、， 设直线的解析式为， ∵将、代入得：， 解得：，， ∴直线解析式为， 设，则，则， ∵四边形的面积面积面积， ∴四边形的面积 ， ∴当时，四边形的面积最大为，点M的坐标为． ②∵， ∴抛物线的对称轴为：直线， 如图2所示：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵点M在第三象限， ∴点在的下方， ∴，即， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∴一定在下方，即点P在x轴下方， 过点M作直线，垂足为D，设直线与x轴交于点E， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中, ， ∴， ∴，， 设点，点， 将M点代入中得： ， 整理得：， 解得或， ∵点P在x轴的下方， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判断、求二次函数的最大值，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 11．(1) (2) (3)共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等； （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）设M的坐标为，根据即可得出的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标． （3）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，求出m的值后即可得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. （2）解：如图，设M的坐标为， ∵． ∴， ∴，， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是， ∴， ∴. （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为：，假设存在满足题意： ①当时， ， 解得：， ∴， ②当时，， 解得：，， ∴，， 综上，共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形． 12．(1)抛物线的表达式为， (2)的最大值为， (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求函数解析式、求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法． （1）先求得，将代入抛物线表达式，列方程组求得表达式即可； （2）设，则，用含m的代数式表示线段的长，再根据二次函数的性质求出线段的最大值及点M的坐标； （3）在x轴上存在点P，使以点M、B、P为顶点的三角形是等腰三角形．由（2）得，由勾股定理求出，由等腰的腰长为或求出的长即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， 当时，； 当时，， 解得：， ， ∵抛物线经过两点， ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得：， ， ∵， ∴设直线表达式为，把代入， ， 解得：， ∴直线表达式为， 设，则， ， ∴当时，的最大值为， ∵M在直线上， 当时，， ； （3）解：存在．如图， 由（2）得，当最大时，则， ； ， ． ∵点P在x轴上， 当点与原点O重合时，则； 当时，则， ； 当点与点D重合时， 则， ∴； 当时，则， ． 综上所述，存在以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或或或． 13．(1) (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3)在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 【分析】（1）把点和代入抛物线解析式中，解方程组即可得解； （2）根据抛物线的解析式可知点的坐标，从而利用待定系数法求出直线的解析式，进而可设，则，得到，根据二次函数图象的增减性求出的最大值，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到结论； （3）过点作轴于点，则，可推出，即可得到直线和直线关于直线对称，从而可求得直线的解析式，进而得到点的坐标，设，分别表示出，，，分：当，当，当三种情况讨论，求解出符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：把点和代入抛物线， 得：，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：四边形是平行四边形．理由如下： 抛物线， 当时，， ，， 设直线的解析式为， 把、代入， 得：，解得， 直线的解析式为； 设，则， ， ， 有最大值，当时，的最大值为，此时，， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）解：在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 理由如下：是的中点， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ，解得， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，则， ， ， ， 直线和直线关于直线对称， 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， ， 设， ∴， ， ， 当，即时，为等腰三角形， 则：，解得， ； 当，即时，为等腰三角形， 则：，解得， 或； 当，即时，为等腰三角形， 则：，化简得：， ， 方程无解， 即在轴上不存在点，使， 综上所述，在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、 二次函数的图象与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $