第二十二章函数教案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该教案聚焦《函数》单元核心知识，涵盖常量变量、函数概念、三种表示方法及初步应用。通过“万物皆变”的生活实例导入，衔接“数量关系”和“坐标”前备知识，为一次函数等后续学习搭建认知支架。 特色在于情境化建模与多表征转化，以票房收入、油箱油量等实例引导学生用数学眼光抽象变量关系，通过列表描点连线等活动发展推理意识，行程图像分析等问题培养模型观念。助力学生提升问题解决能力，教师教学逻辑清晰，易落实核心素养。

2025-2026学年（下）####中学八年级数学教学设计 学校： ####中学 年级： 八年级 主备教师： ### 第二十二章《函数》单元分析 单元教材分析： 一、教学目标 1．本章的内容及其地位和作用． 本章的主要内容是，由实际问题建立函数模型，研究函数的表示方法和函数的简单应用．在第五章“两个数量之间关系的初步认识”和第十八章“二元一次方程的解和点的坐标”的基础上，以变化的观点对两个数量之间的关系作进—步研究．它是学习一次函数、反比例函数和二次函数等诸多内容的基础，它所体现的数学思想沟通了许多数学内容之间的联系，它为学生观察事物、解决问题提供了一条新的、有效的途径． 2．本章内容在呈现方式上的特点． （1）让学生亲身经历建立函数模型的过程．函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型．教科书以“问题情境—建立数学模型一解释、应用与拓展”的方式呈现，设计了“观察与思考”“试着做做”“做一做”等活动，使学生在解决问题的实践活动中，体会到不同变化过程的共同本质——两个变量之间的依存与对应关系，从而建立起函数模型，获得对函数概念的理解． （2）用多种表示方法描述两个变量之间的函数关系．用多种方法描述和呈现数学对象是—种有效获得对概念或问题背景深入理解的方法．因此，教科书尽量采用文字、表格、表达式、图像等多种方式表示函数关系，以帮助学生理解问题背景、认识函数概念，使学生面对实际问题时，能够选择适当的方式表示函数，形成有效地解决问题策略，进一步发展符号感． （3）注意从函数的表示中获取更多信息．函数的三种表示方法都有各自的特点，教科书注重从各种表示中获取更多的信息，以便学生进一步了解函数概念，从不同角度认识所表示规律的特征，以便更准确地把握规律，解决问题，作出决策． 二、课时安排建议 22.1常量和变量 1课时 22.2 函数 2课时 22.3 函数的表示 1课时 22.4函数的初步应用 1课时 回顾与反思 1课时 合计 6课时 学校： ####中学 年级： 八年级 主备教师： ### 课题 22.1.1　变量与函数第1课时　常量与变量 课型 新授课 教 学 目 标 1.了解常量、变量的概念，体会在一个变化过程中常量和变量相对存在. 2.能根据具体情境分清实例中的常量和变量. 3.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律，体会“变化与对应”的思想. 教学重点 辨别常量和变量 教学难点 用含一个变量的代数式表示另一个变量. 教学准备 教师 多媒体课件 学生 课本，练习册，练习本 课堂教学过程 设计意图 一、情境导入 “万物皆变”————行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，我国“天宫”空间站与北京航天飞行控制中心的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄的变化而变化………在现实世界中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在. 为了探究这些变化过程，我们首先要找出其中变化的量和不变的量 二、合作探究 探究点 常量和变量 阅读教材 P90“思考”中的4个问题. (1)补充表格： (2)三场电影的票房收入依次为3200 元、4200 元和 7200 元. 问题(2)反映了电影票房收入 y随售出票数x 的变化而变化的过程.在这个过程中，y的值随x的值的变化而变化， 电影票的售价 是始终不变的， 售出票数 x 和票房收入 y 的值 是变化的. (3)由圆的面积公式. 可知,当r=10cm时, 当r=20cm时,S= 400π cm²;当r=30cm时,S= 900π cm².在这个过程中,S的值随r的值的变化而变化， 圆周率π 是始终不变的， 圆的半径r和面积S的值 是变化的. 探究点一：常量与变量 概念引入：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.例如，在问题(1)和(2)中，汽车行驶的速度、电影票的售价是常量；汽车行驶的时间t、路程s，售出的电影票数x、票房收入y是变量. 追问：问题(3)和问题(4)反映了什么变化过程?其中的常量和变量分别是什么? 例1 (教材P91例1)指出下列问题中的常量和变量： (1)某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为 xt，月应缴水费为 y 元. (2)在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车 n次，公交卡中的余额为w 元. (3)用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为 x m，矩形的面积为 S m². 【对应训练】教材 P91练习. 【类型一】 指出关系式中的常量与变量 例2 如图,在矩形ABCD 中,点 M 在边 BC上,点 N 在边 CD 上.设 BM=a,CN=b,则△BMN 的面积. (1)若保持点 M 不动，点N 在 CD 上运动，请指出 中的常量和变量；(2)若保持点 N 不动，点M 在 BC 上运动，请指出 中的常量和变量. 【类型二】 几何图形中动点问题中的常量与变量 如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量 三、巩固练习 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量、自变量与因变量及自变量的取值范围： (1)圆的周长C与半径r的关系式； (2)火车以120千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；(3)n边形的内角和S与边数n的关系式． 四、小结：什么是常量？什么是变量？ 作业 设计 必做 1.教材 P95 习题22.1第1题. 选做 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书 设计 第1课时　常量与变量 一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量， 数值发生变化的量为变量. 教学反思 学校： ####中学 年级： 八年级 主备教师： ### 课题 22.1.1第2课时 函数 课型 新授课 教 学 目 标 1、了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系，掌握函数表达式的三种表示方法，运用函数解析式的表示方法求解实际问题。 2、通过对生活例子的研究，理解函数的概念。 3、结合对实际生活例子的探索获取数学新知，体验数学来源于生活，体会数形结合思想。 教学重点 函数与变量的概念，函数的三种表示方法（列表法、图像法、解析式法） 教学难点 函数中自变量的取值范围 教学准备 教师 多媒体课件 学生 课本，练习册，练习本 课堂教学过程 设计意图 第2课时 函数 探究点 1 函数的概念 阅读教材P90“思考”中的4个问题. (1)在问题(1)中,两个变量是t 和s, s 随 t 的变化而变化.每当 t 取定一个值时， s 就有唯一确定的值与其对应.其中，当t=1时，s= 60 ；当t=2时,s= 120 ;当t=5时,s= 300 ……它们之间的关系可以用 s=60t 表示. (2)在问题(2)中，两个变量是x和y，y 随 x 的变化而变化.每当 x 取定一个值时， y 就有唯一确定的值与其对应.其中，当x=80时，y= 3200 ；当x=105时,y= 4200 ;当x=180时,y= 7200 .它们之间的关系可以用 y=40x 表示. (3)类似地，请你分别指出问题(3)(4)中两个变量之间的关系，并写出关系式. 归纳：上面问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应. 概念引入：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y是x 的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a 时的函数值. 2.已知矩形的周长为16，设它的一条边的长为x，面积为y，判断y与x之间是不是函数关系.若是，请写出关系式；若不是，请说明理由. 思考： (1)潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度(简称潮高)在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h.这两个变量之间有什么关系? (2)某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x 和y.这两个变量之间有什么关系? 四、小结： （1）什么是函数？函数要满足的条件有哪些？（自变量、因变量、对应关系） （2）函数的表示方法：①列表法 ②图像法 ③解析式法 作业 设计 必做 1.某商店进一批货，每件5元，售出时，每件加利润元，如售出x件，应收货款y元，那么y与x的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 2.函数中，自变量x的取值范围是____； 选做 1.游泳池内有清水12m3,现以每分钟2 m3的流量往池里注水,2小时可将池灌满. (1) 求池内水量y(m3)与注水时间t(分)之间的函数关系式,并指出自变量t的取值范围; (2) 当游泳池水注满后,以每分钟4 m3的流量放出废水,求池内剩余量w(m3)与放水时间x(分)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围. 板书 设计 第2课时 函数 1．函数的概念 2．自变量的取值范围 3．函数值 教学反思 学校： ####中学 年级： 八年级 主备教师： ### 课题 22.1 第3课时用函数解析式表示函数关系 课型 新授课 教 学 目 标 1.能根据实际问题确定函数解析式和自变量的取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制，增强数学建模意识. 2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法. 教学重点 列函数解析式，确定自变量的取值范围. 教学难点 较复杂问题中函数解析式的确定及代值求解. 教学准备 教师 多媒体课件，教师用书 学生 课本，练习本，练习册 课堂教学过程 设计意图 一、情境导入 已知一个正方形，其边长为5cm，若边长增加 xcm，设相应的周长增加 ycm，则y是x的函数吗?如果是，它们之间的函数关系应该怎么表示呢? 答：y是x的函数.理由：y随x的变化而变化，每当x 取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数. 正方形边长增加前，其周长为5×4=20(cm)；边长增加后，其周长为4(5+x)=(20+4x) cm,所以y=(20+4x)-20=4x,即它们之间的关系可以用等式y=4x表示. 根据题意，我们不难得到y=4x这一相等关系，用到的则是上一节课求函数关系式的方法.可以发现，变量x与y集中在一个用等号连接的式子中，且对于每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，这样就用函数把变量之间的关系表示出来了.这节课我们将进一步学习用这种方法表示函数关系. 二、 探究新知 用函数表示数量之间的关系 例1 (教材P94例2)汽车油箱中有汽油50 L.如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L/ km. (1)写出表示 y与x 的函数关系的式子； (2)指出自变量x的取值范围； (3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油? 概念引入：像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 例2 写出下列函数中自变量x 的取值范围. (1)y=2x-3; 【对应训练】 1.写出下列函数中自变量x的取值范围. 2. 教材P95 练习. 例3 如图，在一个长为15cm、宽为10cm的矩形纸板的四个角上，都剪去大小相同的小正方形，剩余部分为一个十字形纸板(图中阴影部分).当小正方形的边长x(单位：cm)由小到大变化时，剩余部分的面积S(单位：cm²)也随之发生变化. (1)哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出题中存在的函数解析式及自变量的取值范围. (2)当小正方形的边长为3cm时，求阴影部分的面积. 三、小结 1.你能根据实际问题列函数解析式吗?举例说明. 2.确定函数中自变量的取值范围时应注意哪些问题?你会求函数的值吗? 【知识结构】 作业 设计 必做 1.布置作业：从教材“习题19.1”中选取. 选做 2.完成练习册中本课时练习. 板书 设计 第1课时 函数的图像 一、函数的图象 练习3： 1.概念 2.掌握要领 教学反思 学校： ####中学 年级： 八年级 主备教师： ### 课题 22.2 第1课时函数的图象 课型 新授课 教 学 目 标 1.联系实际，理解函数图象的意义，以及函数图象的作用. 2.掌握用列表、描点、连线的方法画出简单函数的图象1.联系实际，理解函数图象的意义，以及函数图象的作用. 2.掌握用列表、描点、连线的方法画出简单函数的图象 教学重点 函数图象的意义的理解和简单函数图象的画法. 教学难点 画稍复杂函数的图象. 教学准备 教师 多媒体课件，教师用书 学生 课本、练习册 课堂教学过程 设计意图 第2课时 函数的表示方法 一、情境导入 你坐过摩天轮吗?你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的?如图反映了摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间的对应关系. 我们这节课就来学习函数的图象以及如何画函数的图象 二、合作探究 探究点1 函数的图象 1.写出正方形的面积S关于边长x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围. 2.请用表格的形式列举S 与x 之间的对应值. 把x的值作为横坐标，对应的S 的值作为纵坐标，在平面直角坐标系中将上面表格中各对数值所对应的点画出来(即描点)，按照横坐标从小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来(即连线)，这样就得到了函数S=x²的图象(如图). 3.表示x 与S的对应关系的点有多少个?能全部画出来吗? 概念引入：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.通过图象可以数形结合地研究函数. 例 2 画出函数y=-2x+3和 的图象，并回答问题. (1)这两个函数的图象分别是什么图形?当x由小变大时，函数值有何变化? (2)对于函数 自变量x 的取值能否为0?为什么?这一点在函数图象上是如何表现的? (3)点A(0.5,2),B(-2.5,3.2)是否在函数y=-2x+3的图象上? 点C(-3.2,2.5),D(-3,3)是否在函数 的图象上? 根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点(如图①). 对于函数 。 (1)函数y=-2x+3的图象是一条直线，直线从左向右下降，即当x 由小变大时，函数值 y随之减小. (2) 对于函数 自变量x 的取值不能为0，因为若自变量 x 为0，则分母为0，函数没有意义，所以自变量 x 不能为0.在函数图象上表现为当x<0时，曲线在 y轴的左边但不与y轴相交，随着 x 的增大无限接近y 轴. 四、小结师生一起回顾本节课所学主要内容。 作业 设计 必做1.布置作业：习题22.2第1,2题 选做2.完成练习册中本课时练习. 板书 设计 22.2 函数的表示 第1课时 函数的图象 教学反思 学校： ####中学 年级： 八年级 主备教师： ### 课题 22.2第2课时利用函数图象解决实际问题 课型 新授课 素养目标 能从函数图象中提取信息，从而解决实际问题，进一步理解函数图象的意义，感悟数形结合思想的应用. 教学重点 利用函数图象解决实际问题. 教学难点 函数图象与几何问题的综合. 教学准备 教师 多媒体课件，教师用书 学生 课本，练习本，三角尺，铅笔 课堂教学过程 设计意图 一、情境创设 思考 (教材P103思考)如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T 如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息? 问题1 观察“活动一”中的图象，回答下列问题： (1)气温 T 是时间t 的函数吗? (2)这一天什么时刻气温最低?什么时刻气温最高? (3)哪个时间段气温呈下降状态?哪个时间段气温呈上升状态? (4)你能看出这一天中任一时刻的气温大约是多少吗? 例1 (教材 P103例2)如图，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上.李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家.如图反映了这个过程中，李明离家的距离y 与时间x 之间的对应关系. 根据图象回答下列问题： (1)食堂离李明家多远?李明从家到食堂用了多长时间? (2)李明吃早餐用了多长时间? (3)食堂离图书馆多远?李明从食堂到图书馆用了多长时间? (4)李明查资料用了多长时间? (5)图书馆离李明家多远?李明从图书馆回家的平均速度是多少? 问题2 (教材P104探究)构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图①和图②中的图象来表示. 例2 星期天小红从家出发，骑自行车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家(小红家、商店、舅舅家在同一直线上).如图反映了这个过程中，小红离家的距离y与时间x 之间的对应关系. 根据图象回答下列问题： (1)小红家到舅舅家的路程是 2500 m，小红在商店停留了 10 min. (2)在去舅舅家的过程中，哪个时间段小红骑行的速度最快?最快是多少? (3)本次行程中小红一共骑行了多少米?用时多少分钟? 作业 设计 必做 1.若y=(m-2)xm2-3是正比例函数，则m= 2.若y=(k-2)x+k2-4是正比例函数，则k= ，此时的函数解析式为 。 选做 已知y-3与x成正比例，且x=4时，y=7. (1)写出y与x之间的函数解析式 （2）计算x=9时，y的值 （3）计算y=8时，x的值 板书 设计 22.2 函数的表示 第2课时 利用函数图象解决实际问题 1.利用函数图象解决实际问题. 2.写出符合函数图象的实际背景. 教学反思 学校： ####中学 年级： 八年级 主备教师： ### 课题 22.2 第3课时 函数的三种表示方法 课型 新授课 教 学 目 标 1.运用丰富的实例帮助学生理解函数的三种表示方法. 2.通过观察、作图、交流等活动，加深对函数的三种表示方法的优缺点的理解，提高把实际问题转化为数学问题的能力.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换. 3.通过数形结合利用函数图象预测实际问题变化趋势. 教学重点 函数的三种表示方法的理解及应用. 教学难点 根据实际问题灵活选择适当的方法来表示函数. 教学准备 教师 多媒体课件，教师用书 学生 课本，练习本，三角尺，铅笔 课堂教学过程 设计意图 一、创设情境,导入新课 问题1：在标准大气压下，声音在空气中传播的速度(简称音速)y与气温x之间的关系如下表所示： y是x的函数吗? 问题2：已知某市出租车的收费标准为：3km内的起步价为8元，超过3km后，每超出1km收费2元.有一位乘客乘坐出租车去 xkm(x>3，且x 为整数)外的某地，付费y元.能否用含x的式子表示y?如果能，y是x的函数吗? 问题3：如图是用弹簧做实验时，在弹性限度内，弹簧长度y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：g)的关系图象，y是x的函数吗? 探究点 函数的三种表示方法 结合活动一中的几个问题，我们总结如下：①用函数解析式表示函数的方法叫作解析法；②用表格表示函数的方法叫作列表法；③用图象表示函数的方法叫作图象法. 例 1 阅读教材P106例3，回答给出的问题. 思考：①在例1中，自变量 t的取值范围0≤t≤5是如何确定的? ②为什么t=7时，仍可以应用(2)中的函数解析式求函数值? ③2h后的水位高度用(3)中的哪种方法更好? 追问：结合例1，函数的不同表示法之间能否转化?函数的三种表示方法各有什么优缺点? 函数的三种表示法各有优缺点，有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法. 【对应训练】 例 2 用一根长为20的细绳围成一个等腰三角形. (1)写出底边长 y关于腰长x的函数解析式(x为自变量)； (2)写出自变量x 的取值范围； (3)在平面直角坐标系中画出函数图象. 【对应训练】 一根水管以固定的速度向容积为100m³的水池中注水，注水时间 t 与水池中的水量Q 存在如表所示的关系： (1)请从表中找出t 与Q 之间的函数关系式； (2)确定自变量 t 的取值范围，并画出函数的图象； (3)当水池中的水量Q为50m³时，求注水时间 t 的值. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容。 作业 设计 必做1.教材P96习题22.1第3,4,7题. 选做2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书 设计 22.2 函数的表示 第3课时 函数的三种表示方法 函数的三种表示方法： 1.解析法； 2.列表法； 3.图象法. 教学反思 1 学科网（北京）股份有限公司 $