精品解析：上海市上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年高一下学期期中考试考数学试题

2026年上师宝分高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1. 设角终边上一点，，则的值为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】由三角函数的定义即可得解. 【详解】当时，，； 当时，，. 故答案为：或. 2. 若是函数两个相邻的零点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据周期的计算公式即可求解. 【详解】由题意得函数的最小正周期 ，解得． 故答案为： 3. 函数的值域为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据角所在的象限讨论，即可去掉绝对值，得出值域. 【详解】当在第一象限时，， 当在第二象限时，， 当在第三象限时，， 当在第四象限时，， 当在坐标轴上时，函数无意义， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 4. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解. 【详解】依题意，，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 5. 已知函数，则函数在上的单调递增区间为：________________. 【答案】 【解析】 【分析】化简得，再根据正弦函数性质即可求出其增区间. 【详解】 ， 由，， 可得，，令，则， 又因为，则其在上单调增区间为. 故答案为：. 6. 设，向量，．若在方向上的数量投影为1，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据数量投影的概念及数量积的坐标运算求解. 【详解】∵，， ∴在方向上的数量投影为，解得， 故答案为：3． 7. 在中，角所对的边分别为，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边求解即得. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 由正弦定理得. 故答案为： 8. 把化为的形式_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式化简计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 【点睛】本题考查三角恒等变换，注意辅助角的范围，属基础题. 9. 若，则角的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先构造函数，利用定义法证明函数恒单调递增，则将原不等式变形后可得，由单调性可得，则答案可求. 【详解】构造函数，令， 则 ， 所以在R上单调递增， 原式变形得，即 所以，又，则. 故答案为：. 10. 如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为______（精确到）. 【答案】5.8 【解析】 【分析】在中，根据余弦定理求出，然后在，先求出，然后根据正弦定理，即可求出答案. 【详解】在中，有，，， 由余弦定理可得，， 即， 整理可得， 解得或（舍去）. 在中，有，，， 所以，. 由正弦定理可得， (km). 故答案为：. 11. 已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的平方式以及函数性质，求得动点轨迹，结合题意，作图，利用图形的组成，可得答案. 【详解】由，则，即，， 由，则如图： 点在劣弧上，即线段扫过的部分为图中的阴影部分，设其面积为， 易知，，在四边形中对角线， 则四边形的面积， 在中，，解得， 扇形的面积， 故. 故答案为：. 12. 已知函数，有以下命题： ①函数的最小正周期为； ②函数在上为增函数； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④函数在上有三个零点； ⑤函数的最小值为. 请写出正确命题的全部序号______. 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】①②根据周期的定义，结合三角函数的诱导公式二，利用函数在的单调性，可得答案；③根据轴对称的性质公式，结合三角函数的诱导公式，可得答案；④根据函数在上的单调性，结合零点存在性定理，可得答案；⑤根据①所得到的函数在的单调性，以及最小正周期，可得答案. 【详解】①：， 当时，，则， 根据函数在上单调递增，可得此时单调递减； 当时，，则， 根据函数在上单调递增，可得此时单调递增； 故①正确； ②：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增，故②不正确； ③：， ， 由，则直线是函数的对称轴，故③正确； ④：当时，， 则，根据函数在上单调递增，可得此时单调递增， 由，则函数在存在唯一零点； 当时，， 则，根据函数在上单调递减，可得此时单调递减， 由，则函数在存在唯一零点； 易知，，， 综上：函数在上有两个零点，故④不正确； ⑤：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，函数的最小值为， 因为由①可知，函数的最小正周期为，所以，故⑤正确. 故答案为：①③⑤. 二、选择题 13. 如果是第一象限角，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据的象限确定的象限，即可排除B、D，再确定的象限，即可排除A. 【详解】因为是第一象限角，则，， 所以，， 所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D； 又，， 所以的终边在第一、第二象限或在轴的非负半轴上，则， 当的终边在轴的非负半轴上时，无意义，故排除A. 故选：C 14. 在平行四边形中，，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算求出即可. 【详解】由题意可得 ， 所以，， 所以， 故选：D 15. 函数的图像向左平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数图像平移规则和三角函数诱导公式即可取得的最小值 【详解】函数的图像向左平移个单位长度后为 又因为， 则的最小值为， 故选：． 16. 已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可． 【详解】因为是内一点，且 所以O为的重心 在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即 当M与C重合时，最大，此时 所以，即 因为在内且不含边界 所以取开区间，即 所以选B 【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题． 三、解答题 17. 已知，，． （1）求； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用平面向量的模长及数量积运算即可求解. （2）用公式，展开即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，即， 即，又，所以 【小问2详解】 18. 已知. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求的值域. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，解不等式，可求得函数的单调递增区间； （2）由可求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域. 【详解】（1） ， 令，，解得，， 因此，函数的单调递增区间为，； （2），，则， 所以，， 因此，当时，的值域为. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 19. 如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． （1）根据条件具体写出关于的函数表达式： （2）在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 【答案】（1）； （2）4分钟． 【解析】 【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式； （2）解不等式后可得． 【小问1详解】 中心点距地面40m，则，摩天轮的半径为30m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； 【小问2详解】 ，， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有4分钟的时间距离地面超过55m． 20. 已知为等边三角形，点是的重心.过点的直线与线段交于点，与线段交于点.设，， （1）求的值； （2）设的周长为，的周长为，设，记的表达式为，求； （3）在（2）的条件下，设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再利用，，三点共线求解即可； （2）根据题意得，即可求解； （3）根据题意得，求出的范围代入求值域即可. 【小问1详解】 连接并延长，交于点，则为中点， 所以，又为重心， 所以 又，，三点共线，所以，即 【小问2详解】 设的边长为1，则,， 在中，， 所以，所以， 因为，， 所以，因为， 所以 【小问3详解】 ，因为，，所以，， 又，因为，所以， 因为，所以的最小值：，最大值为：， 所以，所以， 所以. 21. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. （1）计算的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； （3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） . 证明如下： 左边， 右边. 所以，左边=右边， 所以，. （3） 【解析】 【分析】（1）求出，代入化简即可求出答案； （2）类比推理可得出展开式中含有两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可得出； （3）代入整理可得有解.令，，，根据的单调性以及基本不等式得出，.然后即可得出关于的不等式，求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，，， 所以，， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 原题可转化为方程有解，即有解. 令，，， 因为在上单调递增，，， 所以，. 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，即有最大值， 又当， 则要使有解，应有， 即，所以. 【点睛】思路点睛：小问3，由已知得出有解，构造函数，，，，然后分别求出的值域，即可得出关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上师宝分高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1. 设角终边上一点，，则的值为_____. 2. 若是函数两个相邻的零点，则的值为_______． 3. 函数的值域为_________ 4. 已知，，则________． 5. 已知函数，则函数在上的单调递增区间为：________________. 6. 设，向量，．若在方向上的数量投影为1，则______． 7. 在中，角所对的边分别为，且，则__________． 8. 把化为的形式_____________________. 9. 若，则角的取值范围是______． 10. 如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为______（精确到）. 11. 已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______. 12. 已知函数，有以下命题： ①函数的最小正周期为； ②函数在上为增函数； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④函数在上有三个零点； ⑤函数的最小值为. 请写出正确命题的全部序号______. 二、选择题 13. 如果是第一象限角，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 14. 在平行四边形中，，．若，则（ ） A. B. C. D. 15. 函数的图像向左平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知，，． （1）求； （2）求的值． 18. 已知. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求的值域. 19. 如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． （1）根据条件具体写出关于的函数表达式： （2）在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 20. 已知为等边三角形，点是的重心.过点的直线与线段交于点，与线段交于点.设，， （1）求的值； （2）设的周长为，的周长为，设，记的表达式为，求； （3）在（2）的条件下，设，求的取值范围. 21. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. （1）计算的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； （3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $