陕西榆林市靖边县靖边中学2025-2026学年高三第一学期第一次月考数学试卷

**基本信息** 2023级高三第一学期第一次月考数学试卷，覆盖集合、三角函数、数列等核心知识，解答题注重综合应用（如数列与等差结合、导数与函数单调性），多选题引入“二阶不动点”新定义，考查数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8题40分|集合运算、充要条件、复数、数列等|基础知识点全面，如第4题数列递推求项，考查运算能力| |选择题（多选）|3题18分|不等式性质、函数性质、新定义|第11题“二阶不动点”新定义，考查创新应用与逻辑推理| |填空题|3题15分|不等式解集、三角函数求值、函数性质|第14题结合奇偶性与周期性，考查知识综合运用| |解答题|5题77分|解三角形、数列综合、导数应用|第16题数列与等差综合，第19题导数研究单调性，体现数学思维与综合能力|

· 2023级高三第一学期第一次月考 · 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|≤2x≤8}，则A∩B＝( ) A．[－1，4) B．(1，3] C．(1，4) D．[－1，3] 2．在△ABC中，“A＜C”是“sinA＜sinC”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知复数z＝－2i，则z的共轭复数为( ) A．3－i B．3＋i C．3－3i D．3＋3i 4．在数列{an}中，an＋1－an＝3，a2＝4，则a2025＝( ) A．6072 B．6073 C．6074 D．6075 5．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝，D是BC的中点，则AD＝( ) A． B． C． D．2 6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　) A． B． C．8 D．24 7．已知函数f(x)＝ex－2＋e2－x＋2026，则关于x的不等式f(m＋1)＜f(2m－1)的解集为( ) A．(－∞，－2)∪(，＋∞) B．(－2，) C．(，2) D．(－∞，)∪(2，＋∞) 8．已知定义域为R的函数f(x)满足：任意x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是(　　) A．f(0)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数 D．f(2)＝－1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知a，b，c∈R，则下列命题错误的是(　　) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若＞，则a＞b D．若＜，则a＞b 10．已知函数f(x)＝ln，则下列说法正确的是( ) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．f(x)在定义域上是增函数 D．f(x)在定义域上是减函数 11．设函数f(x)的定义域为I，若存在x0∈I，使得f(f(x0))＝x0，则称x0是函数f(x)的二阶不动点．下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的是(　　) A．f(x)＝x2－x＋1　　 B．f(x)＝log2(x＋1) C．f(x)＝　　　　 D．f(x)＝|2sinx－1| 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式≤1的解集为 ． 13．已知tanα＝2，则＝ ． 14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x＜0时，f(x)＝log2(－6x＋2)，则f()＝ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 在△ABC中，AB＝12，AC＝3，BC＝5，点D在边BC上，且∠ADC＝60°． (1)求cosC的值； (2)求线段AD的长． 16．(本小题满分15分) 在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn． 17．(本小题满分15分) 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0． (1)求A； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值． 18．(本小题满分17分) 已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(cosωx，1)，其中ω＞0，x∈R．若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π． (1)求ω的值； (2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝，sin B＝sin A，求·的值． 19．(本小题满分17分) 已知函数 f(x)＝ex＋x3＋acosx－x． (1)当a＝0时，求f(x)的最小值； (2)设a＞0，若f(x)在定义域R上是增函数，求实数a的取值集合． 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学参考答案 1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D． 8．C． 9．ABD 10．AC 11．AC 部分题目详解： 8．解析　因为任意x，y∈R， f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)， 取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)， 又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A正确； 取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)， 因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，C错误，B正确； 取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)， 又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，D正确． 11．AC　若f(x0)＝x0，则f(f(x0))＝x0，此时二阶不动点x0为y＝f(x)的图象与直线y＝x交点的横坐标， 若f(x0)＝y0，则f(y0)＝x0，即(x0，y0)，(y0，x0)都在函数y＝f(x)的图象上，即y＝f(x)的图象上存在两点关于直线y＝x对称，此时这两点的横坐标均为二阶不动点． 由题意得，只需y＝f(x)的图象与直线y＝x的交点个数为1，且y＝f(x)的图象上不存在两点关于直线y＝x对称． 对于A，令x2－x＋1＝x，所以x＝1， 画出y＝x2－x＋1与y＝x的图象，如图1： 显然，y＝x2－x＋1的图象上不存在两点关于直线y＝x对称，所以f(x)＝x2－x＋1满足要求，故A正确． 对于B，令h(x)＝log2(x＋1)－x，其定义域为(－1，＋∞)，显然h(0)＝0，h(1)＝0，则0，1均为f(x)＝log2(x＋1)的二阶不动点，不满足要求，故B错误． 对于C， f(x)＝＝1－的定义域为R，且f(x)单调递增，由2x＞0得2x＋1＞1，因此0＜＜1，0＜f(x)＜1，在同一平面直角坐标系中画出两函数y＝x与y＝的图象，如图2： 两函数图象只有1个交点，且f(x)＝的图象上不存在两点关于直线y＝x对称，所以f(x)＝满足要求，故C正确． 对于D，作出函数y＝|2sinx－1|，y＝x的图象，如图3： 由图可知，点(0，1)与点(1，0)关于直线y＝x对称，函数有两个不同的二阶不动点，不满足要求，故D错误． 故选AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．[－，2) 13． 14．－2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝3，BC＝5，点D在边BC上，且∠ADC＝60°． (1)求cosC的值； (2)求线段AD的长． 解：在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝＝. ……6分 (2)由题意知，0＜C＜π，所以sinC＞0，所以sinC＝＝，在△ADC中，根据正弦定理得＝，所以AD＝＝8. ……13分 16．(本小题满分15分) 在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn． 解　(1)设数列{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3，解得q＝2，…………3分 所以an＝2×2n－1＝2n，n∈N*． …………6分 (2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32． 设数列{bn}的公差为d， 则有 解得…………9分 ∴bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*．……12分 ∴数列{bn}的前n项和 Sn＝＝6n2－22n，n∈N*．……15分 17．(本小题满分15分) 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0． (1)求A； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值． 解　(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得 sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0． 因为B＝π－A－C， 所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0． 易知sin C≠0，所以sin A－cos A＝1， 所以sin＝． 又0＜A＜π，所以A＝．………………7分 (2)法一　由(1)得B＋C＝⇒C＝－B，由正弦定理得＝＝＝＝， 所以b＝sin B，c＝sin C． 所以S△ABC＝bcsin A＝×sin B×sin C·sin ＝sin B·sin C＝sin B·sin ＝ ＝sin 2B－cos 2B＋ ＝sin＋． 易知－＜2B－＜， 故当2B－＝，即B＝时，S△ABC取得最大值，最大值为＋＝．…………………………15分 法二　由(1)知A＝，又a＝2，由余弦定理得22＝b2＋c2－2bccos ，即b2＋c2－bc＝4⇒bc＋4＝b2＋c2≥2bc⇒bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立． 所以S△ABC＝bcsin A＝×bc≤×4＝，即当b＝c＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为． 18．(本小题满分17分) 已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(cosωx，1)，其中ω＞0，x∈R．若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π． (1)求ω的值； (2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝，sin B＝sin A，求·的值． 解　(1)f(x)＝m·n＝2sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin．…………5分 ∵f(x)的最小正周期为π，∴T＝＝π． ∵ω＞0，∴ω＝1．……8分 (2)设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c． ∵f(B)＝－2，∴2sin＝－2， 即sin＝－1， 解得B＝(B∈(0，π))．………………11分 ∵BC＝，∴a＝，∵sin B＝sin A， ∴b＝a，∴b＝3． 由正弦定理，有＝， 解得sin A＝．…………………………14分 ∵0＜A＜，∴A＝． ∴C＝，∴c＝a＝． ∴·＝cacos B＝××cos ＝－．……17分 19．(本小题满分17分) 已知函数 f(x)＝ex＋x3＋acosx－x. (1)当a＝0时，求f(x)的最小值； (2)设a＞0，若f(x)在定义域R上是增函数，求实数a的取值集合． 解析：(1)当a＝0时，f(x)＝ex－x， 所以f ′(x)＝ex－1，……2分 由f ′(x)＞0得x＞0；由f ′(x)＜0得x＜0. ……4分 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，……6分 所以f(x)min＝f(0)＝1， 即f(x)的最小值为1. ……………………8分 (2)f ′(x)＝ex＋ax2－asinx－1. 因为f(x)在定义域R上是增函数， 所以f ′(x)≥0在R上恒成立且不恒为零. ……10分 令g(x)＝f ′(x)，则g′(x)＝ex＋2ax－acosx， g′′(x)＝ex＋2a＋asinx＝ex＋a(2＋sinx)＞0， 所以g′(x)在R上递增. 又因为当x→＋∞时，g′(x) →＋∞； 当x→－∞时，g′(x) →－∞， 所以存在唯一一个实数x0使g′(x0)＝0. …………13分 所以当x∈(－∞，x0)时，g(x)单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，g(x)单调递增. 又因为g(0)＝0，所以当x0＜0时，在区间(x0，0)上，g(x)＜g(0)＝0，即f ′(x)＜0，不合题意，舍去； 同理当x0＞0时，也不合题意，舍去. 所以x0＝0，即g′(0)＝1－a＝0，解得a＝1. 综上所述，a的取值集合是{a|a＝1}.……17分 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $