精品解析：2026年河南商丘市柘城县乡镇三校初中学业水平模拟数学试题

2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值为（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．根据绝对值的定义即可解答． 【详解】解：的绝对值为． 故选：C． 2. 如图，将直角梯形绕直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点线面体之间的关系解答即可． 【详解】解：根据题意，将直角梯形绕直线旋转一周后形成的几何体是． 3. 2025年10月，第四批690亿元消费品以旧换新资金下达的数据“690亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是掌握科学记数法的一般形式． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵690亿， 又∵， ∴． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方、合并同类项、乘法公式的法则逐一判断选项正误即可． 【详解】解：选项A： 是三个相乘，根据同底数幂乘法法则，可得， ，该项错误． 选项B：根据积的乘方法则，，等式成立，该项正确． 选项C：与不是同类项，不能合并，则，该项错误． 选项D：根据完全平方公式展开，，，该项错误． 5. 正方形的中心角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 6. 已知关于的方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程类型分类讨论，一元一次方程必有实数根，因此无实根的原方程为一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式小于0求解的取值范围即可． 【详解】解：若，原方程化为，是一元一次方程，有实数根，不符合题意，因此，原方程为一元二次方程． ∵一元二次方程没有实数根时，根的判别式， 本题中，，， ∴ ， 解不等式得， ∴的取值范围是． 7. 定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据新定义代入式子，再根据异分母分式进行加减运算即可． 【详解】解：∵ ∴ 8. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色）．A转盘被分成面积相等的4个扇形，B转盘红色扇形区域的圆心角为，同时转动两个转盘．转盘停止后指针指向区域的颜色（当指针指在边界线上时视为无效，重转）能配成紫色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列表得到所有等可能的情况数，然后找出配成紫色的情况数，最后用概率公式求解即可． 【详解】解：B转盘红色扇形区域的圆心角为，则白色扇形区域的圆心角为，是红色扇形区域的两倍， 依据题意列表如下： 红 蓝 黄 蓝 红 红红 蓝红 黄红 蓝红 白 红白 蓝白 黄白 蓝白 白 红白 蓝白 黄白 蓝白 由表可知一共有12种等可能的情况，其中能配成紫色的有2种， ∴配成紫色的概率． 9. 如图，在菱形中，，为对角线上一点，过点分别作于点．于点．若，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，连接与交于点，由菱形中，，设，则，，再根据，整理得，结合，解得，即可得菱形的边长为． 【详解】解：如图，连接，连接与交于点， ∵菱形中，， ∴，，，，， ∴中，，， 设，，， ∵，，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得， 即菱形的边长为． 10. 如图1，在中，动点P从点B出发沿折线匀速运动，回到点B后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（ ） A. B. C. 若，则对应4个不同的x值 D. 当的面积为4时，或 【答案】D 【解析】 【分析】选项A，根据点P在图1中段、段运动时，对应图2中的线段、曲线，即可判断； 选项B，当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N，即知，再根据勾股定理的逆定理，即可判断； 选项C，分点P在图1中、及上三种情况，分别求出时对应的x值，即可判断； 选项D，分点P在图1中、上两种情况，根据的面积为4，分别列方程求解，即可判断． 【详解】解：由两个图形的对应关系可知，点P在图1中段运动时，对应图2中的线段， 即时，， ， 点P在图1中段运动时，对应图2中的曲线，即， 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， ， ， ， 选项A正确，不符合题意； 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， 即， ， ， 选项B正确，不符合题意； 当时， 若，则； 当时， 若，则； 当时，点P在上运动，对应图2中点N右侧的线段， 过点A作于点H， ， ， 当点P在点H的左侧时，， ， 此时； 当点P在点H的右侧时，同理可得， ， 此时； 综上所述，x值有4个， 选项C正确，不符合题意； 当时， 过点P作于点M， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 当时， 过点P作于点N， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 综上所述，当的面积为4时，或， 选项D错误，符合题意． 【点睛】此类问题在解答时应着重理解两个图形之间的对应关系，包括对图形中转折点的含义的理解． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据分式有意义的条件确定a的取值范围，进而完成解答． 【详解】解：要使分式有意义，则分母， 解得， ∴a的值可以是0（答案不唯一）． 12. 如图是加工零件的直径的尺寸要求，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，化简即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 13. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．图1有4个氢原子，图2有6个氢原子，图3有8个氢原子……按照这一规律，图100中氢原子的个数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 图1中氢原子的个数为：； 图2中氢原子的个数为：； 图3中氢原子的个数为：； 图4中氢原子的个数为：； …， 所以图n中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即图100中氢原子的个数为202个． 14. 如图，在扇形中，分别与该扇形相切于点，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接、，根据切线的性质得，，，在中，由勾股定理求出，得，则，同理可得，则，再根据图中阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵在扇形中，分别与该扇形相切于点， ∴，，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ， ∴， 同理可得， ∴， 图中阴影部分的面积 ． 15. 在矩形中，为上一点，将沿翻折得到，点恰好落在对角线上，再将沿射线平移得到．若落在边的三等分点上．则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】①当点落在边的第一个三等分点上，利用矩形的性质得到，结合翻折变换得到和，则，再结合平移得到，那么；②当点落在边的第二个三等分点上，同理可得，，，，结合求解即可． 【详解】解：①当点落在边的第一个三等分点上，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折得到，点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∵将沿射线平移得到．若落在边的三等分点上 ∴， 则； ②当点落在边的第二个三等分点上，如图， 同理可得，，，， 则． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和解方程组 （1）计算：； （2）解方程组 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 17. “感受数学魅力，提升数学素养”．某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为分，分及以上为优秀．小西根据所在班随机抽取的甲、乙两组同学（每组人）的成绩（单位：分）绘制并分析得出以下统计图表： 甲、乙两组同学成绩分析表 平均数 中位数 众数 甲组 乙组 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：_____，_____； （2）根据以上数据．你认为甲、乙两组中哪个小组的成绩较好，并说明理由； （3）若该班名学生参赛，估计该班成绩为优秀的学生有多少名？ 【答案】（1）； （2） 解：乙组成绩较好，理由是： 甲、乙两组成绩的平均数相同，但是甲组成绩优秀的人数为人，乙组成绩优秀的为人，且乙组的中位数大于甲组的中位数， ∴乙组成绩较好； （3）该班成绩为优秀的学生约有名 【解析】 【分析】本题考查分析统计图中的数据，中位数，众数，平均数等数值的概念，利用平均数、中位数、众数，对两组数据进行比较与评价，根据样本数据估算总体的数据． （1）根据中位数，众数的概念，分析统计图中的数据，得出甲组中位数，乙组众数． （2）根据甲组成绩的众数大于乙组数据，可得甲组成绩较好． （3）根据调查数据中优秀的学生占比，用得到的占比值乘该班学生总人数，即可估算该班优秀的学生的人数． 【小问1详解】 解：根据中位数的定义，可得甲组中位数：，根据众数的定义，可得乙组众数：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：甲、乙两组同学的成绩为分及以上的分别有人和人， 调查数据中优秀的学生约占：， 该班成绩为优秀的学生约有：（名）， 答：该班成绩为优秀的学生约有名． 18. 如图，在中，． （1）现有下面两个语句：①是的角平分线；②是的高线．请从这两个语句中，任选一个进行尺规作图操作；（保留作图痕迹，不写作法） （2）把上面两个语句当作已知条件，且与交于点，求证：． 【答案】（1） 解：选择①进行尺规作图： 选择②进行尺规作图： （2） 证明：是的角平分线， ， ∵， ． ∵， ， ， ， ∵， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线和垂线的作图方法，作图即可； （2）根据角平分线定义得出，根据余角的性质证明，根据对顶角相等得出，从而得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． （1）求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 （2）在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示． ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 【答案】（1） （2）①（）； ②画出图象如图所示． 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，再将，代入求解即可； （2）①设F与x之间的解析式为，将图2中的点代入求解，得到，结合，可得，再根据及，即可求得x的取值范围； ②结合x的取值范围，用描点法画图即可． 【小问1详解】 解：弹簧测力计的拉力F与其到中点O的距离L满足反比例关系 可设， 根据题意，得时，， ， ， 与L之间的函数解析式是． 【小问2详解】 解：①设F与x之间的解析式为， 由题图2得图象经过， ， ， 与x之间的解析式为， ， ， ， ， ， ， 又， ； ②略 20. 学校准备让美术兴趣小组的同学雕刻励志的文字和图案，需要给小组同学购买雕刻刀．已知型雕刻刀的单价比型雕刻刀多5元，用元购买型雕刻刀和用元购买型雕刻刀的数量相同． （1）分别求型、型雕刻刀的单价； （2）学校准备购买型和型雕刻刀共50把，购买型雕刻刀的数量不超过型雕刻刀的．问购买多少把型雕刻刀时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）型雕刻刀的单价是25元，型雕刻刀的单价是20元 （2）购买A型雕刻刀30把时花费最少．最少花费是1150元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设B型雕刻刀的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设花费为元，购买型雕刻刀把，则购买B型雕刻刀把，列出关于花费的一次函数，再根据一次函数的图象与性质即可求解． 【小问1详解】 解：设B型雕刻刀的单价是元， 则型雕刻刀的单价为元， 根据题意，得，解得， 经检验：是分式方程的解，且符合题意． （元）． 答：型雕刻刀的单价是25元，型雕刻刀的单价是20元． 【小问2详解】 解：设花费为元，购买型雕刻刀把， 则购买B型雕刻刀把， 根据题意，得， 解得， 由（1）可知， ， 随的增大而增大， 当取最小整数30时，有最小值， 最少花费为（元）． 答：购买A型雕刻刀30把时花费最少．最少花费是1150元． 21. 筒车（图1）又称“天车”“水车”，是古代水力灌溉工具．最早的记载见于唐代，宋以后逐渐推广．如图2为其工作模型，筒车近似为圆，点为圆心，筒车支柱与垂直，且与交于点，点到水底的距离米．筒车与水面接触点为两点，在点测得处的俯角为，测得处的俯角为． （1）的度数为_____； （2）求两点间的距离； （3）求筒车最高点到水底的距离．（参考数据： ） 【答案】（1） （2）米 （3）筒车最高点到水底的距离为米 【解析】 【分析】（1）先推导出，得到，，再根据三角形的内角和求解即可； （2）设，推导出，，根据得到，求出，再根据垂径定理求解即可； （3）连接，得到，，根据勾股定理，得到，即，求出，则，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，得 ， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：设， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得， ， ． 即两点间的距离是米． 【小问3详解】 解：如图，连接， 由题意，得，， ， ， ， ． 筒车最高点到水底的距离为米． 22. 某兴趣小组利用二次函数的知识设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入的值分别为1、3时，输出的值均为1． （1）求和的值； （2）图2是在平面直角坐标系中画出的关于的函数图象． ①若恰有三个不同的值输出的值相同，求的值； ②若在函数图象上有点，点的横坐标为，点的横坐标为．对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值之差为4时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①若恰有三个不同的值输出的值相同，的值是3或1；② 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）①根据函数图象可直接进行求解； ②由题意易得，然后可得点的横坐标的范围为，进而结合函数图象及题意可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意可把代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：①由（1）可知：， ∴当时，函数有最大值，最大值为3， 则由函数图象可知：若恰有三个不同的值输出的值相同，的值是3或1； ②由可知：当时，函数有最大值，最大值为5， ∴由点的横坐标为可知：， 由点的横坐标为及可知：， 当时，即，此时点N在函数上，当，即，此时点N在函数上， 要使在之间（含两点）的最大值和最小值的差为4，则需满足最大值为5，最小值为1， ∴由函数图象可知：当时，即，满足题意； 综上所述：的取值范围为． 23. 综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：在中，，，为的或边上一点，为直线右侧一点，且，将绕点逆时针旋转得到，、对应点分别为、，直线经过点． （1）初步探究 如图1，当时， ①若点在边上，则的度数为_____； ②若点为边的中点，点为下方一点，过点作交于点，则线段与线段的数量关系是_____； （2）类比探究 如图2，当，为边的中点，为内部一点时，过点作交直线于点，写出线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 当，，在三角形内部时，将绕点在平面内自由旋转．若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②； （2） 解：，理由如下： 如图，过点C作于点G， 根据旋转性质有：，，，， 即：， ∴， ∵， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等腰中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）①点在边上，根据旋转的性质有：，即可作答；②结合旋转的性质证明，得出，再证明，即可作答； （2）过点C作于点G，结合旋转的性质，利用“”先证明，再求出，根据的角度，利用三角形函数，即可作答； （3）分情况讨论，第一种情况：此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，连接交于点L，连接交于点T，、交于点J，过点A作于点S，过点D作于点H，先证明平行四边形是菱形，再根据对应边成比例且其夹角相等证明，即可求出，；利用两个对应角相等证明，即可求出、，再利用相似可得，此时问题可结；第二种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，过点O作于点K，先证明是等边三角形，根据，可求出角的度数，结合直角三角形中的特殊角即可求解． 【小问1详解】 解：①点在边上，如图， ∵中，，， ∴， 根据旋转性质有：， ∴， ②根据旋转性质有：，，， 即：， ∵， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴在等腰中，； ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 第一种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，即，，连接交于点L，连接交于点T，、交于点J，过点A作于点S，过点D作于点H， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， 即：，， ∵在中，，， ∴是等边三角形，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，即， ∴、互相垂直平分，即，， ∴，即， 根据旋转的性质有：， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∴， ∴在中，， 即， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 第二种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，过点O作于点K， 同第一种情况可得：是等边三角形，平行四边形是菱形， ∴， ∵根据旋转的性质有：， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：的长为：或． 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识，问题难点集中在第三问，合理构造辅助线，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值为（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图，将直角梯形绕直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年10月，第四批690亿元消费品以旧换新资金下达的数据“690亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 正方形的中心角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色）．A转盘被分成面积相等的4个扇形，B转盘红色扇形区域的圆心角为，同时转动两个转盘．转盘停止后指针指向区域的颜色（当指针指在边界线上时视为无效，重转）能配成紫色的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，为对角线上一点，过点分别作于点．于点．若，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 10. 如图1，在中，动点P从点B出发沿折线匀速运动，回到点B后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（ ） A. B. C. 若，则对应4个不同的x值 D. 当的面积为4时，或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的值可以是_____．（写出一个即可） 12. 如图是加工零件的直径的尺寸要求，则的取值范围是_____． 13. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．图1有4个氢原子，图2有6个氢原子，图3有8个氢原子……按照这一规律，图100中氢原子的个数为_____． 14. 如图，在扇形中，分别与该扇形相切于点，若，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 在矩形中，为上一点，将沿翻折得到，点恰好落在对角线上，再将沿射线平移得到．若落在边的三等分点上．则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和解方程组 （1）计算：； （2）解方程组 17. “感受数学魅力，提升数学素养”．某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为分，分及以上为优秀．小西根据所在班随机抽取的甲、乙两组同学（每组人）的成绩（单位：分）绘制并分析得出以下统计图表： 甲、乙两组同学成绩分析表 平均数 中位数 众数 甲组 乙组 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：_____，_____； （2）根据以上数据．你认为甲、乙两组中哪个小组的成绩较好，并说明理由； （3）若该班名学生参赛，估计该班成绩为优秀的学生有多少名？ 18. 如图，在中，． （1）现有下面两个语句：①是的角平分线；②是的高线．请从这两个语句中，任选一个进行尺规作图操作；（保留作图痕迹，不写作法） （2）把上面两个语句当作已知条件，且与交于点，求证：． 19. 如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． （1）求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 （2）在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示． ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 20. 学校准备让美术兴趣小组的同学雕刻励志的文字和图案，需要给小组同学购买雕刻刀．已知型雕刻刀的单价比型雕刻刀多5元，用元购买型雕刻刀和用元购买型雕刻刀的数量相同． （1）分别求型、型雕刻刀的单价； （2）学校准备购买型和型雕刻刀共50把，购买型雕刻刀的数量不超过型雕刻刀的．问购买多少把型雕刻刀时花费最少？最少花费是多少元？ 21. 筒车（图1）又称“天车”“水车”，是古代水力灌溉工具．最早的记载见于唐代，宋以后逐渐推广．如图2为其工作模型，筒车近似为圆，点为圆心，筒车支柱与垂直，且与交于点，点到水底的距离米．筒车与水面接触点为两点，在点测得处的俯角为，测得处的俯角为． （1）的度数为_____； （2）求两点间的距离； （3）求筒车最高点到水底的距离．（参考数据： ） 22. 某兴趣小组利用二次函数的知识设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入的值分别为1、3时，输出的值均为1． （1）求和的值； （2）图2是在平面直角坐标系中画出的关于的函数图象． ①若恰有三个不同的值输出的值相同，求的值； ②若在函数图象上有点，点的横坐标为，点的横坐标为．对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值之差为4时，直接写出的取值范围． 23. 综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：在中，，，为的或边上一点，为直线右侧一点，且，将绕点逆时针旋转得到，、对应点分别为、，直线经过点． （1）初步探究 如图1，当时， ①若点在边上，则的度数为_____； ②若点为边的中点，点为下方一点，过点作交于点，则线段与线段的数量关系是_____； （2）类比探究 如图2，当，为边的中点，为内部一点时，过点作交直线于点，写出线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 当，，在三角形内部时，将绕点在平面内自由旋转．若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $