精品解析：江西省赣州市南康区第十中学2025—2026学年度第二学期八年级期中考试数学试卷

2025—2026学年度第二学期八年级期中考试数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共 18分） 1. 下列二次根式中，化简后能与合并的是　　 A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 5. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 6. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点到直线的距离是2 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 7. 计算：__________． 8. 若为实数，且，则_____． 9. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行________海里． 10. 如图,为的中位线，点F在上，且，若，则的长为__________． 11. 如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的两直角边为a和b，则的值是__________． 12. 在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 已知有理数x，y满足，求的算术平方根． 15. 已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多． （1）求这个多边形的边数； （2）若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？ 16. 《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深多少尺． 17. 如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 四、（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．平行四边形四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作的中点； （2）在图②中，点为线段上一点，在线段上作点，使； （3）直接写出四边形的面积 ． 19. 如图，在中，，，，且，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求线段的长． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 22. （1）课本再现 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 定理证明 证明：如图1，延长至点F，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）知识应用 如图2，在四边形中，，，，，点E，F，M分别是，，的中点，求的长． 六、（本大题共12分） 23. 如图，在四边形中，，，，，，点从点A出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点的运动时间为； （1）边的长度为________，的最大值为________； （2）当为何值时，四边形是矩形； （3）当时，判断此时四边形的形状，并说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期八年级期中考试数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共 18分） 1. 下列二次根式中，化简后能与合并的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】、，不能与合并，故本选项错误； 、，能与合并，故本选项正确； 、，不能与合并，故本选项错误； 、，不能与合并，故本选项错误． 故选． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，根据不等式的解集判断即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ， 解得， 解集表示在数轴上，如图， ． 3. 下列几组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意． 4. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、添加，可以运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加，无法证明四边形是平行四边形，符合题意； C、添加，可运用对角线相互平分的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加，可以运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B ． 5. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 6. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点到直线的距离是2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 7. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式乘法的运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 8. 若为实数，且，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 9. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行________海里． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 10. 如图,为的中位线，点F在上，且，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）和直角三角形的性质（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），解题的关键是先利用中位线定理求出的长度，再结合直角三角形性质求出的长度，进而计算的长度． 由是的中位线且，根据中位线定理得；因D是中点（中位线连接、中点），为直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质得；最后用减去即可求出的长． 【详解】解：∵为的中位线，， ∴（三角形中位线定理）， ∵D是边上的中点是中位线，连接、中点），， ∴是直角三角形，为斜边的中线， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， 又∵点F在上， ∴． 故答案为：1． 11. 如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的两直角边为a和b，则的值是__________． 【答案】25 【解析】 【分析】由题意可得，，，进而可得，再根据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，， 由可得，， ∴， ∴， ∴． 12. 在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：； 14. 已知有理数x，y满足，求的算术平方根． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据算术平方根和偶次方的非负性求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为2． 15. 已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多． （1）求这个多边形的边数； （2）若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？ 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，正多边形内角问题，熟知多边形内角和计算公式是解题的关键． （1）设这个多边形的边数是n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为360度且这个多边形的内角和比外角和的3倍还多建立方程求解即可； （2）用这个正多边形的内角和除以其内角个数即可得到答案． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数是n， 由题意得， 解得， 答：这个多边形的边数是9； 【小问2详解】 解：正九边形的每一个内角为． 16. 《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深多少尺． 【答案】12 【解析】 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深． 【详解】依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，， 解得：， 即水深12尺，故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程式解题的关键． 17. 如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】证明，得到，再根据，，得到，即可得证． 【详解】略 四、（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．平行四边形四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作的中点； （2）在图②中，点为线段上一点，在线段上作点，使； （3）直接写出四边形的面积 ． 【答案】（1） 如图，点即为所求． （2） 如图，点即为所求． （3）6 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． （1）结合平行四边形的性质，连接，相交于点，则点即为所求． （2）连接，相交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求． （3）由题意得，四边形的面积为平行四边形的面积的一半，进而可得答案． 【小问1详解】 解：如图①，连接，相交于点，则点即为所求． ∵，，相交于点， ∴，即点O为的中点． 【小问2详解】 解：如图②，连接，相交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求． ∵，，相交于点， ∴， ∴，， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：∵经过对角线的交点O， ∴四边形的面积． 故答案为：6． 19. 如图，在中，，，，且，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理： （1）先由勾股定理得到，再证明，即可利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且； （2）根据计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得 ． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，对角线，交于点， ，， 点，分别为，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，再根据点，分别为，的中点，得到四边形的对角线互相平分，从而得证； （2）运用勾股定理求出，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， 点为的中点，， ． 【点睛】掌握平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵长为，宽为， ∴周长为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 22. （1）课本再现 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 定理证明 证明：如图1，延长至点F，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）知识应用 如图2，在四边形中，，，，，点E，F，M分别是，，的中点，求的长． 【答案】 （1）证明：如图1，延长至点，使得，连接， ， 点是的边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 又点是的边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，，即，； （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理的证明，勾股定理，平行线的性质，正确理解题意通过构造中位线进行求解是解题的关键． （1）如图1，延长至点，使得，连接，利用证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证； （2）由（1）可得，，， ，再根据，，由平行线的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：点，，分别是，，的中点，，，，， ，，，， ，， ， ， 在中，． 的长为5． 六、（本大题共12分） 23. 如图，在四边形中，，，，，，点从点A出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点的运动时间为； （1）边的长度为________，的最大值为________； （2）当为何值时，四边形是矩形； （3）当时，判断此时四边形的形状，并说明理由； 【答案】（1），； （2）； （3）四边形是菱形，理由： 由题意可得， 当时， ，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴, ∴四边形是菱形； 【解析】 【分析】（1）过点作于，证明四边形是平行四边形，根据勾股定理即可求得，根据路程与速度关系分别求出两动点的时间，即可得到答案； （2）根据四边形是矩形可得，列方程求解即可得到答案； （3）将时的，表示出来即可判断； 【小问1详解】 解：如图1，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴（cm）， 根据勾股定理得， （cm）， ∵点在上运动， ， ∴， ∵点在上运动， ， ∴， ∴， 故答案为，； 【小问2详解】 解：∵，，且四边形要是矩形， ∴， 即， 解得：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查四边形上动点问题，矩形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据性质列方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $