第10章第5节《分式方程》分层讲义 2025--2026学年苏科版八年级数学下册

分式方程——复杂世界的“解码器” ——苏科版数学八年级下册 第10章第5节《分式方程》分层讲义 讲解目录 章节 内容 一 知识导航（分式方程定义、解法步骤、增根与无解、列方程解应用题步骤） 二 新知讲授 题型一 分式方程的识别——练就“火眼金睛”（基础） 题型二 解分式方程——四步走，稳扎稳打（基础） 题型三 列分式方程——从文字到等式的翻译（中等） 题型四 分式方程的增根问题——验根决不可省略（中等） 题型五 分式方程的应用——工程与行程问题（提优） 题型六 含参分式方程——参数讨论专项突破（提优） 三 分层达标检测（基础巩固/能力进阶/思维拓展） 四 解题方法口诀大全 五 答案解析 一、知识导航 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 【核心要点】 要点 说明 必须满足的条件 （1）是方程（含等号）；（2）含有分母；（3）分母中含有未知数 与整式方程的区别 整式方程的分母不含未知数，分式方程的分母含未知数 与分式的区别 分式是代数式（无等号），分式方程是等式（有等号） 【特别提醒】 三者缺一不可！例如 + 2 = 3 是分式方程； + 1 = 3 是整式方程（分母2不含未知数）； + 不是方程（没有等号）。 2. 解分式方程的基本思路与步骤 基本思路：将分式方程转化为整式方程来解——体现“化归”的数学思想。 解分式方程的一般步骤： 步骤 内容 方法口诀 第一步：化 去分母，将分式方程化为整式方程 两边同乘最简公分母 第二步：解 解这个整式方程 按整式方程解法来 第三步：验 检验所得的解是否为原方程的解 代入最简公分母检验 第四步：结 写出原分式方程的解 增根舍去，真根保留 【特别提醒】 第三步“检验”绝不可省略！这是分式方程与整式方程解法的最大区别。 3. 增根与无解 增根：将分式方程变形为整式方程，若整式方程的解使得原分式方程的分母为 0，则这个解称为原分式方程的增根。 增根产生的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有未知数的整式，当这个整式的值为 0 时，所得的整式方程的解会使原分式方程出现分母为 0 的现象。 增根的两个性质： (1)增根是去分母后所得整式方程的根 (2)增根使最简公分母的值为零 分式方程无解的两种情况： (1)转化后的整式方程的解都是增根（均被舍去） (2)转化后的整式方程本身无解 易错点辨析：增根 ≠ 无解！有增根不一定无解（若还有其他非增根的解，则方程仍有解）；无解也不一定因为有增根（整式方程本身无解也会导致原方程无解）。 4. 列分式方程解应用题的一般步骤 步骤 内容 审 审清题意，找出相等关系，分清已知量和未知量 设 设出恰当的未知数（注意单位和语言完整性） 列 根据相等关系列出分式方程 解 解所列的分式方程 验 既要检验是否为所列分式方程的解，还要检验是否符合实际意义 答 写出答案 二、新知讲授 题型一：分式方程的识别——练就“火眼金睛” 解法口诀：判断分式方程三要素：有等号、有分母、分母中含未知数。三者缺一都不是！ ◆ 例题 1（基础）——分式方程的判断 题目：（2025苏州吴中期中改编）下列方程中，是分式方程的有（ ） ① + 1 = 3x　　② + 2 = 3　　③ = 5　　④ 2x - 3 = 0 A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 答案：B 【方法总结】 判断分式方程的关键是看分母中是否有未知数。不要看形式是否“像”分式，而是严格按三要素来判断。 变式训练 1-1 下列关于x的方程：① 5x = 2，② = x，③ x - 1 = ，④ + = 5 中，是分式方程的有（ ） A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 【答案】B 变式训练 1-2 （2025南京玄武期中）下列属于分式方程的是（ ） A. = 3　　B. = 1　　C. x² - 4 = 0　　D. + = z 【答案】B 变式训练 1-3 （2025常州期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ） A. + = 1　　B. = 3　　C. = x　　D. + x = 0 【答案】C 题型二：解分式方程——四步走，稳扎稳打 解法口诀：一化二解三检验，四步缺一都危险。最简公分母找准确，去分母时项项乘。检验必做不能省，增根舍去才是真！ ◆ 例题 2（基础）——解分式方程 题目：（2025浙江中考）解分式方程： = 【答案】x = -5 【解析】最简公分母为 (x-1)(x+1)。 两边同乘：3(x+1) = 2(x-1) 3x + 3 = 2x - 2 x = -5 检验：x = -5 时，(x-1)(x+1) = (-6)(-4) = 24 ≠ 0，是原方程的解。 变式训练2-1 解分式方程： - = 1。 【答案】x = 3 【解析】最简公分母为 (x-1)(x+1)。两边同乘： x(x+1) - 2(x-1) = (x-1)(x+1) x² + x - 2x + 2 = x² - 1 x² - x + 2 = x² - 1 -x + 2 = -1 x = 3 检验：x = 3 时，(x-1)(x+1) = 8 ≠ 0，是原方程的解。 题型三：列分式方程——从文字到等式的翻译 解法口诀：审题找等量，设元要恰当。时间路程和工作，相除列出分式来。两个量比找相等，方程自然现眼前！ 例题 3（中等）——由实际问题抽象出分式方程 题目：（2025深圳中考）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵。若设原计划人数为 x 人，则下列方程正确的是（ ） A. 　　B. - = 3 C. + = 3　　D. = - 3 【解析】 分析数量关系： 原计划：人数 x 人，平均每人种植棵。 实际：人数 2x 人，平均每人种植棵。 已知“实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵”，即： 原计划每人种棵数 - 实际每人种棵数 = 3 答案：A 变式训练 3-1 （2025绥化中考）用A、B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等。若设B货车每小时运输化工原料 x 吨，则可列方程为（ ） A. = 　　B. = C. - 15 = 　　D. = 　 【答案】A 变式训练3-2 某校八年级学生去距学校30千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了半小时后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑自行车学生速度的3倍，求骑自行车学生的速度。设骑自行车学生的速度为 x 千米/时，则可列方程___。 【答案】 变式训练3-3 （2025江西中考）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费。设纯电汽车每百公里的耗电费为 x 元，可列分式方程为__________。 【答案】 题型四：分式方程的增根问题——验根决不可省略 解法口诀：增根出自去分母，整式解令分母零。已知增根求参数，把增根代入整式方程中。无解要分两类想，整式无解或全是增！ 例题 4（中等）——分式方程的增根 题目：（2025黑龙江齐齐哈尔中考）如果关于x的分式方程 = 1 无解，那么实数 m 的值是（ ） A. -6　　B. 3　　C. -6或3　　D. -6且m≠3 【解析】 分式方程无解有两种情况：①整式方程的解是增根；②整式方程本身无解。 先化分式方程为整式方程： 两边同乘 (x-3)：2x + m = x - 3 解得：x = -m - 3 情况①：若此解是增根，则增根为 x = 3（使分母为零）。 令 -m - 3 = 3，得 m = -6。 情况②：整式方程无解。但这里 x = -m - 3 对任意 m 都有唯一解，故情况②不成立。（注：当整式方程为 0x = k（k ≠ 0）时无解，此题去分母后为一次方程，必有解。） 综合得 m = -6。 答案：A 【易错警示】 本题极易只考虑增根情况得出 m = -6，或遗漏对无解的完整分析。注意“无解”与“有增根”不完全相同：有增根且整式方程的每个解均为增根才无解；若整式方程有其他非增根的解，则有增根但不一定无解。 变式训练 4-1 （2025四川凉山中考）若关于x的分式方程 =有增根，则 k = ___。 【答案】 k = 2 变式训练4-2 （2025四川遂宁中考改编）若关于x的分式方程 + = 3 无解，则 a 的值为__________。 【答案】a = -1 变式训练4-3 若关于x的分式方程 + 有增根 x = 2，求 m 的值。 【答案】m = -4 【解析】最简公分母为 (x-2)(x+2)。两边同乘： (x+2) + m = 0 x + 2 + m = 0 x = -m - 2 增根 x = 2（使最简公分母为0），令 -m - 2 = 2，解得 m = -4。 （同时注意增根 x = -2 也可能，此时 -m - 2 = -2，m = 0。题目明确增根为 x = 2，所以 m = -4。） 题型五：分式方程的应用——工程与行程问题 解法口诀：工程问题三量明：总量效率与时间。总量当“1”设效率，相除即得工作时间。行程问题画线段，路程速度时间清。方程列出求解验，实际意义要判明！ 例题 5（提优）——分式方程解决工程问题 题目：某工程由甲、乙两个工程队合作完成。原计划甲队单独做12天完成，乙队单独做18天完成。实际施工时，甲队先单独做4天，然后甲、乙两队合作若干天后，再由乙队单独做完剩余的工程。已知整个工程共用了10天完成。问甲、乙两队合作了多少天？ 【解析】 设甲、乙两队合作了 x 天。 工程总量为 1（单位“1”）： 甲队效率：（每天完成总工程的） 乙队效率：（每天完成总工程的） 各阶段工作量：甲队单独做 4 天：4 × = 甲、乙合作 x 天：x × (+ ) = x × 乙队单独做剩余天数：(10 - 4 - x) = (6 - x) 天，工作量：(6-x) × 总工作量 = + x × + (6-x) × = 1 乘以36：12 + 5x + 2(6-x) = 36 12 + 5x + 12 - 2x = 36 3x + 24 = 36 3x = 12 x = 4 检验：合作天数为4天，符合实际（4天在10天之内）。乙单独做的天数为 6-4 = 2天，合理。 答案：甲、乙两队合作了 4 天。 变式训练5-1 （2025吉林长春中考）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点。求小林跑步的平均速度。 【答案】 小林的速度为 4 米/秒 【解析】设小林速度为 v 米/秒，则小吉速度为 1.25v 米/秒。 小林用时：秒，小吉用时：秒。 小吉比小林少用40秒： - = 40 - = 40 = 40 v = 4 检验：小林用时 800/4 = 200秒，小吉用时 800/5 = 160秒，差40秒，符合。v > 0，合理。 变式训练5-2 （改编）A、B两地相距240千米。一辆汽车从A地出发开往B地，出发1小时后发生故障，停车修理半小时后继续行驶，速度比原计划每小时快10千米，结果准时到达B地。求原计划的速度。 【解析】设原计划速度为 x 千米/时。 计划用时： 小时。 实际：前1小时走了 x 千米，停车0.5小时，剩余路程 (240-x) 千米用速度 (x+10) 千米/时行驶。 总实际用时：1 + 0.5 + = 1.5 + 准时到达：1.5 + = 乘以 x(x+10)： 1.5x(x+10) + x(240-x) = 240(x+10) 1.5x² + 15x + 240x - x² = 240x + 2400 0.5x² + 255x = 240x + 2400 0.5x² + 15x - 2400 = 0 x² + 30x - 4800 = 0 (x + 80)(x - 60) = 0 x = 60（取正） 题型六：含参分式方程——参数讨论专项突破 解法口诀：含参分式方程怎么办？参数当常数照样解。解用参数来表示，再按条件列等式。有增根、有正解，参数范围仔细判。增根无解要分清，两步讨论保周全！ 例题 6（提优）——含参分式方程求参数范围 题目： 已知关于x的分式方程的解是非负数，求 a 的取值范围。 【解析】去分母：a + 1 = 2(x+1) = 2x + 2 2x = a - 1 x = 解为非负数：x ≥ 0 ≥ 0 a ≥ 1 分母 x ≠ -1： ≠ -1 a - 1 ≠ -2 a ≠ -1 答案：a ≥ 1 变式训练6-1 关于x的分式方程 = 0 有增根 x = 2，求 m 的值。 【解析】最简公分母为 (x-2)(x+2) = x² - 4。 两边同乘 (x-2)(x+2)： 2(x+2) + m = 0 2x + 4 + m = 0 2x = -m - 4 x = 增根 x = 2： = 2 -m - 4 = 4 m = -8 答案：m = -8 三、分层达标检测 ★ 基础巩固 1. （2025苏州期中）下列方程中，是分式方程的是（ ） A. + 5 = 0　　B. = 2　　C. x² - 4x + 3 = 0　　D. = 3x 2. （2025扬州月考改编）若解分式方程 = 时产生了增根，则 k 的值为___。 3. 解分式方程： = 4. 分式方程 = 0 的解为__________。 ★★ 能力进阶（每题15分，共45分） 5. （2025镇江模拟）解分式方程： - = 6. （2025四川眉山中考改编）若关于x的分式方程的解为正整数，求整数a最小值。 四、解题方法口诀大全 题型 口诀 识别分式方程 三要素不能少：是方程、有分母、分母里面藏未知 解分式方程 一化二解三检验，增根必须无情删！最简公分母找准，去分母时每项乘 找最简公分母 分母因式先分解，各取最高次幂再相乘 增根判断 令分母为零的未知数值，就是可疑增根；代入检验层，分母零则为增 分式方程无解 无解两种看仔细：整式无解或因全是增根；莫把增根当无解，两者区别要分清 列分式方程 审题→设元→找等量→列方程，时间路程多相除，效率时间常凑“1” 含参分式方程 参数当成常数用，解出 x 再套条件；增根限制别忘了，讨论全面才得分 行程问题 路程 ÷ 速度 = 时间，两个不同时间比相等或相差 工程问题 设总量为单位“1”，效率就是 1/天数；各阶段工作量加起来，等于“1”就搞定 检验实际意义 数学解出还不够，实际意义要审查；负数零日不可能，增根歪解全淘汰 教师寄语： 如果说分式的概念和基本性质是分式世界的“宪法”和“民法”，那么分式方程就是这个世界中破解实际难题的“利器”。从识别到求解，从验根到应用，每一步都考验着同学们的综合能力。分式方程之所以特殊，在于它要求我们比解整式方程多一分谨慎——检验，决不是多余的步骤，而是通往正确答案的必经之路。愿同学们在分式方程的征途中，不丢步骤、不忘检验、不畏难题，最终成为解题高手！ 五、答案 基础巩固 1. B 2. k = 2 3. x = 4 4. x = -1 能力进阶 5. x = 2 【解析】最简公分母为 (x+1)(x-1) = x²-1。 两边同乘 (x+1)(x-1)： x(x+1) - 2(x-1) = 4 x² + x - 2x + 2 = 4 x² - x + 2 = 4 → x² - x - 2 = 0 (x-2)(x+1) = 0 → x = 2 或 x = -1 检验：x = 2 时，分母 x-1=1≠0，x+1=3≠0，是原方程的解； x = -1 时，x+1=0，分母为零，是增根，舍去。 ∴ 原方程的解为 x = 2。 6. 去分母：a-1 = 2(x+1) a-1 = 2x+2 2x = a-3 x = 解为正整数即 为正整数，且 x ≠ -1 ≠ -1 a ≠ 1。 设= n（n 为正整数），则 a = 2n+3。 检验：n ≥ 1 时 a ≥ 5，且 a ≠ 1 自动满足。 答案：a = 2n+3（n 为正整数），即 a = 5, 7, 9, …则最小的为 a = 5。 学科网（北京）股份有限公司 $