福建莆田第二十四中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

**基本信息** 以传统文化（走马灯）和社会热点（全运会）为情境，覆盖集合、不等式、命题等高一核心知识，通过基础题与应用大题结合，体现数学建模与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算、命题否定、不等式性质|基础概念辨析，如集合关系判断| |多选题|3|基本不等式、不等式解集|多选项设计考查逻辑推理，如含参不等式参数判断| |填空题|3|集合元素关系、取值范围|简洁考查计算能力，如已知集合包含关系求参数| |解答题|5|集合运算、不等式应用、数学建模|结合文化（走马灯体积优化）和热点（全运会商品销售），如用基本不等式解决框架用料最少问题，体现数学应用意识|

2025-2026学年高一上莆田二十四中第一次月考 参考答案 一、单选题 1．A 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以，故A正确. 故选：A 2．C 【分析】根据命题的否定概念判断即可. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题，可知命题的否定为. 故选：C． 3．B 【分析】当时可得A错误；由不等式的性质可得B正确；举反例可得C、D错误； 【详解】对于A，若，当时，则；故A为假命题； 对于B，由于，故，则，进而可得；故B为真命题； 对于C，若，，则，此时满足，，但是无法得到，故C为假命题； 对于D，若，不妨取，则无意义，故无法得到，故D为假命题； 故选：B. 4．C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 5．B 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可. 【详解】不等式等价为，解得，即，所以原不等式的解集为. 故选：B. 6．B 【分析】首先解不等式得到，根据题意找到的一个真子集即可. 【详解】由得， 对于A，因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，故A错误； 对于B，因为是的真子集，所以是的充分不必要条件，故B正确； 对于C，因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，故C错误； 对于D，因为与不是包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：B. 7．C 【分析】利用“”的代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】， 当且仅当时取等号． 故选:C． 8．B 【分析】先将集合结构化为一致，然后根据集合关系即可判断. 【详解】， ， ， . 故选：B. 二、多选题 9．BC 【分析】对于A，举反例即可判断A错误； 对于B，利用基本不等式可得B正确； 对于C，利用基本不等式可得C正确； 对于D，不满足基本不等式取等号的条件，判断D错误. 【详解】若，则，显然不满足，A错误； 若，则，当且仅当时取等号，最小值是，B正确； 若，则，当且仅当时取等号，最小值是，C正确； 若，则，当且仅当即时取等号，显然无解，故取不到最小值，D错误. 故选：BC. 10．BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 11．CD 【分析】先分类讨论，，求解命题p成立的等价条件，再结合充分条件、必要条件的定义即得解 【详解】由题意， （1）当时， 若，不等式为，恒成立； 若，不等式为，对不恒成立. （2）当时 解得： 综上命题p成立的等价条件为 若选项A、B、C、D为命题p成立的必要不充分条件，则为A、B、C、D中对应范围的真子集，满足条件的有C、D 故选：CD 三、填空题 12．0 【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，， 而集合的元素具有互异性，故，所以， 故答案为：0 13． 【分析】计算出，进而求出. 【详解】因为，所以，故， 即. 故答案为： 14． 【分析】根据题意讨论：时显然满足题意；时，结合二次函数图象求解即可. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．(1) (2) (3) 【分析】根据交集、并集和补集的定义计算即可. 【详解】（1）因为集合，集合，所以. （2）因为集合，集合，所以. （3）因为全集，集合，所以. 16．(1)长宽均为； (2)长为，宽为 【分析】（1）由，然后利用基本不等式求出的最大值，从而求解； （2）由体积一定得然后利用基本不等式求出的最小值，从而求解. 【详解】（1）由题意得底面大矩形周长为，且大矩形的长设为，宽设为， 所以，得，所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以底面面积最大为. （2）由题意知走马灯的体积为，高为，所以底面积为， 框架用料最少等价于底面用料为最小即可， ，当，即取等号， 故当长为、宽为时，用料最少. 17．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用集合的并集运算求解； （2）利用集合的包含关系求解. 【详解】（1）解：当时，, 所以； （2）由，得， 当时，，解得成立； 当时，，且，解得， 此时， 所以实数的取值范围是. 18．(1)7；(2)36；(3)当时，解集为；当时，无解；当时，解集为 【详解】（1）因为，由题. 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为7. （2）由结合基本不等式可得：， 又x，y为正数，则，当且仅当，即，时取等号； 所以的最小值为36. （3）由，可得 当时，，开口向上，解集为两根之间：； 当时，原不等式变为，无解； 当时，，开口向下，解集为两根之间：； 19．(1)40元； (2)至少应达到10.2万件，每件定价30元. 【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值； （2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论. 【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上莆田二十四中第一次月考 一、单选题 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 3．以下命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．使成立的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．3 D． 8．已知集合，，，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中正确的是（ ） A．当时， B．若，则的最小值是 C．当时， D．的最小值是 10．已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．已知命题对，不等式恒成立，则命题p成立的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知集合，且，则的值为_________. 13．若实数满足，则的取值范围是__________. 14．已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______． 四、解答题 15．已知全集，集合，集合.求： (1)求； (2)求； (3)求. 16．如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． (1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） (2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 17．已知集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 18．解答下列各题. (1)若，求的最小值； (2)若正数x，y满足，求的最小值； (3)解关于的不等式:． 19．第15届全国运动会将于2025年11月9日至21日在广州、香港、澳门举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $